Wellenpaket

Grundidee und Aufbau

Ein Wellenpaket, auch Wellengruppe oder Wellenzug genannt, ist eine räumlich oder zeitlich begrenzte Welle. Es lässt sich als Überlagerung, also als Summe, mehrerer einfacherer ebener Wellen auffassen. Die Zerlegung in einzelne Frequenzkomponenten beruht auf der Fouriertransformation und kann experimentell mit einem Spektrometer bestimmt werden.

Die Hüllkurve beschreibt den äußeren Verlauf der Amplitude des Wellenpakets. Die Geschwindigkeit, mit der sich diese Hüllkurve bewegt, heißt Gruppengeschwindigkeit. Die einzelnen Wellen besitzen dagegen eine Phasengeschwindigkeit. Ob das Paket seine Form behält oder mit der Zeit auseinanderläuft, hängt davon ab, ob diese Phasengeschwindigkeit von der Frequenz abhängt.

Mathematische Beschreibung

Ein Wellenpaket ψ(x,t) kann als Summe ebener Wellen dargestellt werden:

ψ(x,t) = Σ_j C_j · e^{i(ω_j·t−k_j·x)}.

Dabei bestimmt die Amplitude C_j den Beitrag der jeweiligen ebenen Welle und damit die besondere Form sowie die räumliche Begrenzung des Pakets. Jede Teilwelle ist monochromatisch, besitzt also genau eine Kreisfrequenz ω_j. Das gesamte Wellenpaket hat dagegen keine einzelne Frequenz, sondern eine Frequenzverteilung.

Die Wellenzahl lautet k_j = ω_j/c(ω_j). Die Größe c(ω) ist die Phasengeschwindigkeit. Ist sie frequenzabhängig, tritt Dispersion auf und das Wellenpaket kann mit der Zeit zerlaufen. Ist c dagegen unabhängig von der Frequenz, ist das Medium dispersionsfrei und das Paket behält seine Form.

Zwischen Phasengeschwindigkeit und Brechungsindex n gilt n = c₀/c(ω). Damit kann das Wellenpaket auch geschrieben werden als

ψ(x,t) = Σ_j C_j · exp(i(ω_j·t − (ω_j·n(ω_j)/c₀)·x)).

Hat ein Medium einen konstanten Brechungsindex n(ω_j) = const., so zerläuft das Wellenpaket nicht. Physikalisch sinnvoll sind nur das Absolutquadrat, der Realteil oder der Imaginärteil von ψ.

Wie eine einzelne ebene Welle erfüllt auch ein Wellenpaket die allgemeine Wellengleichung

∂²ψ/∂x² = (1/c²) · ∂²ψ/∂t².

Weil diese Gleichung linear ist, gilt das Superpositionsprinzip: Mehrere Lösungen dürfen addiert werden und ergeben wieder eine Lösung. Bei einer kontinuierlichen Frequenzverteilung wird die Summe durch ein Integral ersetzt:

ψ(x,t) = ∫_{−∞}^{∞} C(k) · e^{i(ωt−k·x)} dk.

Hier legt C(k) die von der Wellenzahl k abhängige Amplitudenverteilung fest.

Gaußsches Wellenpaket

Ein häufig verwendetes Beispiel ist das Gaußsche Wellenpaket. Bei ihm ist die Amplitudenverteilung C(k) eine Gaußverteilung. Da die Fouriertransformation einer Gaußfunktion wieder eine Gaußfunktion ergibt, führt eine gaußförmige Amplitudenverteilung im Wellenzahlraum zu einer gaußförmigen Welle im Ortsraum. Umgekehrt besitzt ein im Ortsraum gaußförmiges Wellenpaket automatisch eine gaußförmige Frequenzverteilung.

Das Gaußsche Wellenpaket besitzt die geringste Unschärfe: Bei keinem anderen Wellenpaket ist das Produkt aus der Breite im Ortsraum und der Breite im Frequenzraum kleiner.

Für die Amplitudenverteilung

C(k) = exp(−(k−k₀)²/(2/a)²)

ergibt die Integration zum Zeitpunkt t = 0:

ψ(x,0) = (2/(πa²))^{1/4} · e^{−x²/a²} · e^{i·k₀·x}.

Die Amplitude ist dann nur innerhalb eines begrenzten Bereichs merklich von null verschieden.

Dispersion und Versuch am Koaxialkabel

Dispersion bedeutet, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit von der Wellenlänge beziehungsweise der Frequenz abhängt, beispielsweise bei Licht in Materie. Dadurch kann ein Wellenpaket „zerlaufen“: Seine Breite wird mit der Zeit größer oder kleiner und seine räumliche Bestimmtheit nimmt ab. Wellenpakete, die keine Dispersion zeigen und daher Form und Breite beibehalten, werden auch Solitonen genannt.

Die im Artikel beschriebene Untersuchung eines Koaxialkabels zeigt dagegen eine Ausbreitung ohne erkennbare Dispersion. Ein Impulsgenerator erzeugt etwa 10 ns lange Spannungsimpulse mit einer Folgefrequenz von ungefähr 20 kHz. Die Impulse laufen durch ein etwa 20 m langes Koaxialkabel, werden am offenen Ende reflektiert und kehren zurück. Abhängig von der Kabeldämpfung lassen sich ungefähr hundert Impulse beobachten, ohne dass sich ihre Form verändert. Ohmsche Verluste im Kabel und am Verbindungswiderstand verringern zwar die Amplitude, verändern aber nicht die Form der Einhüllenden.

Die Fourieranalyse ergibt als tiefste Frequenz die Wiederholfrequenz von 20 kHz. Die höchste Frequenz liegt ungefähr beim 100-fachen Kehrwert der Impulsbreite und damit im genannten Fall bei 10 GHz. Würden die Frequenzanteile wegen Dispersion merklich unterschiedliche Laufzeiten haben, müsste sich nach den Gesetzen der Fouriersynthese die Impulsform ändern. Weil dies nicht beobachtet wird, folgt daraus im beschriebenen Frequenzbereich die Konstanz der Ausbreitungsgeschwindigkeit im Kabel.

Anwendungen und weitere Formen

Bei Wasserwellen werden Wellenpakete eingesetzt, um in Modellversuchen die Übertragungsfunktionen, englisch RAO für Response Amplitude Operator, von Schiffen und Offshore-Konstruktionen zu messen. Dabei nutzt man die Dispersionsrelation: Kurze, hochfrequente Wellen breiten sich auf der Wasseroberfläche langsamer aus als lange, niederfrequente Wellen. So kann erreicht werden, dass die von einer Wellenmaschine erzeugten Wellen gleichzeitig am gleichen Ort eintreffen.

In der Quantenmechanik dienen Wellenpakete dazu, Teilchen im Wellenbild darzustellen. Ihre Breiten im Orts- und Impulsraum sind durch die heisenbergsche Unschärferelation miteinander verbunden: Ein räumlich gut bestimmtes Teilchen hat eine sehr breite Impulsverteilung und umgekehrt. Entsprechend besteht auch eine Verknüpfung zwischen Energie beziehungsweise Frequenz und Zeit.

Für ein mehrdimensionales Wellenpaket wird die eindimensionale Darstellung vektoriell erweitert:

ψ⃗(x⃗,t) = ∫{−∞}^{∞}dk_x ∫{−∞}^{∞}dk_y ∫_{−∞}^{∞}dk_z C⃗(k⃗)e^{i(ωt−x⃗·k⃗)}.

Zum Zeitpunkt t = 0 kann dem Raum ein Anfangsmuster C(x⃗) = FTC aufgeprägt werden. Dieses breitet sich anschließend nach dem Huygensschen Prinzip räumlich weiter aus.

Zeitlich begrenzter Wellenzug

Ein Wellenzug ist eine zeitlich auf die Dauer Δt begrenzte Welle mit der Frequenz f. Zwar besitzen alle seine Schwingungen dieselbe Periode 1/f, sein Spektrum besteht wegen der zeitlichen Begrenzung aber nicht nur aus der Frequenzkomponente f.

Aus der Fouriertheorie folgt eine Mindestbreite Δf des Frequenzspektrums. Zeitdauer und spektrale Breite erfüllen die Küpfmüllersche Unbestimmtheitsrelation:

Δt · Δf ≥ 1.

Ein zeitlich stark begrenzter Wellenzug muss daher ein entsprechend breites Frequenzspektrum besitzen.