Ebene Welle

Begriff, Bedeutung und Einordnung

Eine ebene Welle ist eine Welle im dreidimensionalen Raum, deren Wellenfronten – also Flächen gleichen Phasenwinkels – parallele Ebenen bilden. Ihre räumlich konstante Ausbreitungsrichtung steht senkrecht auf diesen Ebenen. Ebene Wellen gehören zu den einfachsten Lösungen der Wellengleichung. Sie sind unter anderem für elastische Verformungen sowie Druck- und Dichteschwankungen in der klassischen Mechanik, für elektromagnetische Felder und für manche Materiewellen in der Quantenmechanik wichtig.

Meist bezeichnet der Begriff eine zugleich homogene und harmonische Welle: Harmonisch bedeutet, dass sie bei zeitlich konstanter Frequenz sinusförmig verläuft; homogen bedeutet hier, dass ihre Amplitude im ganzen Raum konstant ist. Die veränderliche physikalische Größe kann beispielsweise eine mechanische Auslenkung, eine Druckänderung, eine Feldstärke oder eine Wahrscheinlichkeitsamplitude sein.

Weitere Lösungen der Wellengleichung sind Kugelwellen mit Wellenfronten konzentrisch um einen Punkt und Zylinderwellen mit Wellenfronten konzentrisch um eine Gerade. In großer Entfernung vom Zentrum können beide innerhalb kleiner Bereiche gut durch ebene Wellen angenähert werden. Das zweidimensionale Gegenstück besitzt gerade Wellenfronten, die sich auf einer Ebene bewegen. Auf den Strand zulaufende Ozeanwellen sind dafür ein anschauliches, aber nur näherungsweise zutreffendes Beispiel.

Homogene harmonische Welle

Wählt man die x-Achse in Ausbreitungsrichtung, hängt die Welle nur von x und der Zeit t ab; in den dazu senkrechten Richtungen findet keine Änderung statt. Für die Amplitude A₀, die Frequenz f, die Wellenlänge λ, die Phasenlage φ und die Phasengeschwindigkeit c gilt mit der Periodendauer T:

f = 1/T

c = λ/T = λ · f

Die Wellenlänge λ beschreibt die räumliche und die Frequenz f die zeitliche Periodizität. Mit der Kreisfrequenz ω und der Kreiswellenzahl k kann eine in positive x-Richtung laufende Sinuswelle geschrieben werden als:

A(x,t) = A₀ · sin[2πf(x/c − t) + φ] = A₀ · sin[ω(x/c − t) + φ] = A₀ · sin[kx − ωt + φ].

Punkte gleicher Phase erfüllen x/c − t = const. Sie bewegen sich deshalb mit der Phasengeschwindigkeit c in positive x-Richtung und bilden die ebenen Wellenfronten. Zur Umkehr der Ausbreitungsrichtung wird das Vorzeichen von x oder die Orientierung der x-Achse umgekehrt. Eine solche Umkehr kann etwa bei der Reflexion an einer Inhomogenität des Mediums auftreten, beispielsweise bei einer Änderung des Brechungsindex oder der Schallkennimpedanz.

Ist A eine vektorielle Größe, beschreibt die Richtung ihres Amplitudenvektors A⃗₀ relativ zur Ausbreitungsrichtung die Polarisation.

Allgemeine Form und Zerlegung

Die allgemeine Form einer ebenen Welle lautet:

A(x⃗,t) = f(n⃗ · x⃗/c − t),

wobei f(τ) eine beliebige skalare oder vektorwertige Funktion ist und nicht periodisch sein muss. Der Einheitsvektor n⃗ mit |n⃗| = 1 gibt die Ausbreitungsrichtung an; die Welle bewegt sich mit der Geschwindigkeit c. An einem festen Ort x⃗ ändert sich A zeitlich gemäß f. Der Ausdruck n⃗ · x⃗/c − t ist die Schwingungsphase. Alle Punkte mit derselben Phase liegen in einer Ebene, die senkrecht auf n⃗ steht.

A kann ein Skalar wie der Druck, ein Vektor wie die räumliche Auslenkung aus einer Ruhelage oder ein Kraftfeld sein. Bei vektoriellen Wellen unterscheidet man:

• longitudinale Polarisation: A⃗ liegt parallel zur Ausbreitungsrichtung n⃗;

• transversale Polarisation: A⃗ liegt senkrecht zur Ausbreitungsrichtung n⃗.

Die ebene Welle löst die Wellengleichung

∇²A − (1/c²) · ∂²A/∂t² = 0.

Dabei ist ∇ der Nabla-Operator und ∂/∂t die partielle Ableitung nach der Zeit. Aufgrund des Superpositionsprinzips und der Fourier-Analysis kann jede allgemeine ebene Welle als Summe harmonischer ebener Wellen dargestellt werden. Für τ = n⃗ · x⃗/c − t gilt:

f(τ) = Re ∫₀^∞ φ(ω)e^(iτω) dω = 1/2 [∫₀^∞ φ(ω)e^(iτω) dω + ∫₀^∞ φ*(ω)e^(−iτω) dω].

Dabei ist i die imaginäre Einheit, φ(ω) die von der Kreisfrequenz abhängige Amplitude und * die komplexe Konjugation. Verwendet wird die Identität Re(a) = 1/2(a + a*).

Komplexe Darstellung harmonischer Wellen

Wegen des Superpositionsprinzips kann jede spektrale Komponente mit einer einzelnen Kreisfrequenz ω getrennt betrachtet werden. Eine solche harmonische ebene Welle wird komplex dargestellt als:

g(ω,t,x,y,z) = φ(ω) · exp[iω(n⃗ · x⃗/c − t)].

Der Wellenvektor k⃗ zeigt in Ausbreitungsrichtung und ist definiert durch

k⃗ = (kₓ,kᵧ,k_z)ᵀ = (ω/c)n⃗.

Sein Betrag ist die Kreiswellenzahl k:

k = |k⃗| = ω/c = 2π/λ = 2πf/c.

Damit lautet die gebräuchliche Form:

g(ω,t,x,y,z) = φ(ω) · exp[i(k⃗ · x⃗ − ωt)].

Der physikalisch relevante Anteil ist der Realteil. Mit ωt = π/2 im Bogenmaß, φ(ω) = A₀ und der Eulerschen Beziehung e^(iφ) = cos(φ) + i · sin(φ) entspricht dieser Realteil der sinusförmigen ebenen Welle.

Inhomogenität und Absorption

Nach zeitlicher Fouriertransformation der Wellengleichung erhält man die Helmholtzgleichung:

∇²A + k²(ω)A = 0,

zunächst mit einer reellen Dispersionsrelation k(ω). Sie bleibt auch für einen Wellenvektor mit komplexen Komponenten lösbar:

k⃗ = β⃗ + iα⃗.

Damit k²(ω) = k⃗ · k⃗ reell bleibt, muss gelten:

Im(k²) = 0, αₓβₓ + αᵧβᵧ + α_zβ_z = 0.

Anschaulich müssen der Realteil β⃗ und der Imaginärteil α⃗ des Wellenvektors senkrecht aufeinander stehen. Eine Welle der Form

A(x,t) = ∫₀^∞ φ(ω) exp[i(β⃗ · x⃗ − ωt) − α⃗ · x⃗] dω

heißt inhomogene oder nicht uniforme ebene Welle. Sie breitet sich in Richtung β⃗ aus, während ihre Amplitude senkrecht zur Ausbreitungsrichtung abnimmt. Die Ebenen konstanter Amplitude stehen daher senkrecht zu den Ebenen konstanter Phase. Ihre Phasengeschwindigkeit ist immer kleiner als die einer homogenen ebenen Welle gleicher Frequenz.

Bei Absorption werden Real- und Imaginärteil des komplexen Wellenvektors dagegen parallel gewählt. Dann ist die Wellenzahl komplex:

k = β + iα,

wobei α der Absorptionskoeffizient oder die Dämpfungskonstante und β die Phasenkonstante ist. Liegt die x-Achse in Ausbreitungsrichtung, ergibt sich die gedämpfte harmonische Welle

g(ω,t,x⃗) = φ(ω)e^[i(βx − ωt)]e^(−αx).

Ihre Ebenen konstanter Phase und konstanter Amplitude sind identisch; die Amplitude nimmt jedoch in Ausbreitungsrichtung mit dem Faktor e^(−αx) exponentiell ab. In diesem Sinn handelt es sich um eine homogene ebene Welle.

Grenzen des Modells

Eine ebene Welle füllt einen unendlich ausgedehnten Raum und ist deshalb eine Idealisierung realer Wellen. Ein räumlich endlicher Sender kann keine vollkommen ebene Welle abstrahlen. Außerdem hätte eine ideale ebene Welle wegen ihrer unendlichen räumlichen Ausdehnung unendlich viel Energie. Beide Eigenschaften sind unphysikalisch; reale Wellen können daher nur in begrenzten Bereichen näherungsweise als ebene Wellen behandelt werden.