Dispersion (Physik)

Grundidee

Dispersion bedeutet in der Physik, dass eine physikalische Größe von der Frequenz einer Welle abhängt. In der Optik ist damit besonders gemeint, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts von seiner Frequenz beziehungsweise Wellenlänge abhängt. Dadurch werden verschiedene Farben unterschiedlich stark gebrochen. Ein Prisma kann weißes Licht deshalb in ein farbiges Spektrum zerlegen.

Der Zusammenhang zwischen Kreisfrequenz, also der Frequenzgröße einer harmonischen Welle, und dem Wellenvektor heißt Dispersionsrelation. In der Quantentheorie entspricht dies dem Energie-Impuls-Zusammenhang eines Teilchens.

Phasen- und Gruppengeschwindigkeit

Bei einem Wellenpaket unterscheidet man zwischen Phasengeschwindigkeit und Gruppengeschwindigkeit. Die Phasengeschwindigkeit v_p beschreibt die Ausbreitung einzelner Wellenphasen, die Gruppengeschwindigkeit v_g die Ausbreitung des gesamten Wellenpakets.

Der Zusammenhang wird durch die Rayleighsche Beziehung beschrieben:

v_g = v_p − λ · ∂v_p/∂λ

Dabei ist λ die Wellenlänge. Diese Beziehung gilt unabhängig von der Art der Welle: für optische beziehungsweise elektromagnetische Wellen, elastische Wellen wie Schallwellen und auch für Materiewellen.

Bei dispersionsfreier Wellenausbreitung sind Gruppengeschwindigkeit und Phasengeschwindigkeit gleich. In einem dispergierenden Medium dagegen zerlegt sich ein Wellenpaket, das aus überlagerten monofrequenten Wellen besteht, in Komponenten, die sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ausbreiten. Eine monochromatische Welle, also eine Welle mit nur einer Frequenz, zeigt daher keine Dispersion.

Normale und anomale Dispersion

Bei den meisten transparenten Stoffen steigt im sichtbaren Bereich der Brechungsindex n mit der Frequenz f. Glas bricht deshalb blaues Licht stärker als rotes Licht. Dies nennt man normale Dispersion. Mathematisch bedeutet das: dn/df > 0. Da Frequenz und Wellenlänge gegenläufig zusammenhängen, entspricht dies dn/dλ < 0.

Für den Brechungsindex gilt n = c / v(λ). Dabei ist c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und v(λ) die Phasengeschwindigkeit bei der Wellenlänge λ.

Von anomaler Dispersion spricht man, wenn der Brechungsindex mit steigender Frequenz fällt. Sie wurde 1870 von Christian Christiansen bei einer alkoholischen Fuchsin-Lösung entdeckt. Der Effekt ist aber keine besondere Eigenschaft dieses Farbstoffs. Anomale Dispersion tritt allgemein in Wellenlängenbereichen nahe einer starken Absorption auf. Die Kramers-Kronig-Relation verknüpft grundsätzlich den Verlauf des Brechungsindex mit dem Verlauf der Absorption.

Quantitative Beschreibung

Zur quantitativen Beschreibung der Dispersion gibt es verschiedene Kennzahlen und Formeln. Eine einfache Kennzahl für die Dispersion eines isotropen, transparenten Mediums ist die Abbe-Zahl. Isotrop bedeutet, dass die Eigenschaften des Mediums richtungsunabhängig sind.

Die Sellmeier-Gleichung beschreibt den empirisch gemessenen Verlauf des Brechungsindex n über die Wellenlänge λ möglichst genau. Eine einfachere Beschreibung bietet die Cauchy-Gleichung.

Weitere Dispersionsformeln sind unter anderem die Helmholtz-Ketteler-Drude-Dispersionsformel, Schottsche Dispersionsformeln, die Geffckensche Dispersionsformel, die Buchdahlsche Dispersionsformel, die Kettlersche Dispersionsformel, die Kramers-Heisenbergsche Dispersionsformel, die Breit-Wignersche Dispersionsformel, die Hartmannsche Dispersionsformel und die Herzbergsche Dispersionsformel für den visuellen Bereich. Als Polynomformel wird außerdem angegeben:

n²(λ) = Σ(i=1 bis 6) A_i λ^(4−2i)

Wichtige Auswirkungen

Die Dispersion der Phasengeschwindigkeit bestimmt die Dispersion der Gruppengeschwindigkeit. Beide Arten haben praktische Folgen.

Bei der Dispersion der Phasengeschwindigkeit zerlegt ein Prisma Licht in sein Farbspektrum. Linsen können dadurch unerwünschte Farbränder in Abbildungen erzeugen. Solche Farbfehler lassen sich durch Kombination von Linsen aus optischen Gläsern unterschiedlicher Dispersion korrigieren, etwa bei Achromaten und Apochromaten. Auch magnetische Linsen, zum Beispiel in einem Elektronenmikroskop, zeigen Dispersion abhängig von der Geschwindigkeit der Elektronen. Gegenmaßnahmen sind eine schmale Energieverteilung der Elektronen, Feldemission statt Glühemission, eine hohe Beschleunigungsspannung und eine kleine Apertur.

Bei der Dispersion der Gruppengeschwindigkeit verbreitern sich Lichtimpulse in Glasfasern während der Übertragung. Das ist zum Beispiel in der optischen Datenübertragung wichtig. Je kürzer ein Lichtimpuls ist, desto breiter ist sein Frequenzspektrum und desto stärker kann sich seine Form ändern, besonders auf langen Strecken.

Auch elektrische Kabel zeigen frequenzabhängige Ausbreitungsgeschwindigkeiten, weil ihre Isolierstoffe mitwirken. Bei der Zeitbereichsreflektometrie zeigt sich dies an verbreiterten reflektierten Impulsen. Der Effekt verursacht Laufzeitverzerrungen bei breitbandigen Signalen, zum Beispiel flachere Impulsflanken, und kann durch geeignete Isolierstoffe vermieden werden.

Weitere Beispiele

Als Beispiele für Dispersion nennt der Artikel die Dispersion von Wasserwellen, die Dispersionsrelation von Phononen und die Polarisationsmodendispersion in Lichtwellenleitern. Diese Beispiele zeigen, dass Dispersion nicht nur bei sichtbarem Licht auftritt, sondern ein allgemeines Wellenphänomen ist.