Superposition (Physik)

Grundprinzip der Superposition

Superposition bezeichnet in der klassischen Physik die Addition gleicher physikalischer Größen nach den Regeln der mathematischen Superposition. Das Prinzip ist wichtig, weil sich komplizierte physikalische Vorgänge häufig aus mehreren einfachen Einzelvorgängen zusammensetzen lassen. Voraussetzung sind lineare Beziehungen zwischen den überlagerten Größen. Bei nichtlinearen Theorien, etwa der Allgemeinen Relativitätstheorie, ist das Prinzip nicht anwendbar.

In der klassischen Physik werden die physikalischen Größen selbst addiert. Beispiele sind die Amplituden mehrerer kohärenter Wellenfelder, die Einzelkräfte verschiedener Kraftfelder oder elektrische Spannungen und Ströme in linearen Schaltungen. Das Gesamtergebnis erhält man durch eine vorzeichen- beziehungsweise richtungsgerechte Addition der Einzelbeiträge.

Werden dagegen die Quadrate oder Betragsquadrate der Größen addiert, spricht man nicht von Superposition im engeren Sinn, sondern von inkohärenter Überlagerung oder Pythagoreischer Addition. Das tritt beispielsweise bei der Intensität superponierter Wellenfelder, beim Fehlerfortpflanzungsgesetz oder bei der Standardabweichung einer Messreihe auf.

Mathematischer Hintergrund

Mathematisch lässt sich eine Superposition als Linearkombination schreiben:

x(t) = ∑ᵢ₌₁ⁿ αᵢ xᵢ(t)

Dabei werden beliebige Funktionen oder Größen xᵢ(t) derselben Art zu einer neuen Größe x(t) addiert. Der Faktor αᵢ gibt die Gewichtung der jeweiligen Komponente an.

Die Gültigkeit des Prinzips bei vielen physikalischen Systemen folgt daraus, dass diese Systeme linearen Differentialgleichungen gehorchen. Besitzen eine homogene lineare Differentialgleichung die beiden Lösungen f₁ und f₂, so ist wegen der Summenregel auch f₁ + f₂ eine Lösung. Allgemein gilt: Sind f₁ bis fₙ Lösungen einer homogenen linearen Differentialgleichung, dann ist auch jede Summe dieser Lösungen eine Lösung derselben Differentialgleichung. Auf diese Weise können komplizierte Lösungen als Überlagerung einfacher Lösungen dargestellt werden.

Überlagerung von Wellen

In der Wellenlehre bedeutet Superposition die ungestörte Überlagerung, auch Interferenz genannt, mehrerer Wellen des gleichen Typs. Die entscheidende Größe ist die Amplitude, also die „Höhe“ der einzelnen Wellen. Treffen beispielsweise mehrere elektromagnetische Wellen am gleichen Ort zusammen, können sich ihre Amplituden zur gleichen Zeit verstärken oder abschwächen. Dadurch entstehen charakteristische Interferenzmuster.

Zwei Wellen durchdringen einander, ohne sich gegenseitig zu beeinflussen. Der resultierende Amplitudenverlauf wirkt – von möglichen Energieverlusten abgesehen – nicht auf die ursprünglichen Einzelverläufe zurück. Er ist lediglich das Gesamtergebnis der übereinander gelegten Wellen. Die Wellen beeinflussen nur ihr Ausbreitungsmedium.

Für die resultierende Wellenfunktion Ψ(x⃗,t) gilt:

Ψ(x⃗,t) = ∑ᵢ₌₁ⁿ Ψᵢ(x⃗,t).

Die Funktionen Ψᵢ(x⃗,t) sind die Wellenfunktionen der einzelnen ursprünglichen Wellen.

Kräfte und Lastfälle

Mechanische Kräfte lassen sich ebenfalls überlagern. Dieser Zusammenhang wird auch Prinzip der ungestörten Überlagerung der Kräfte, Prinzip der resultierenden Kraft oder Viertes newtonsches Gesetz genannt. Wirken mehrere Kräfte einzeln auf denselben Körper, haben sie zusammen dieselbe Wirkung wie ihre Summe:

F⃗ = ∑ᵢ₌₁ⁿ F⃗ᵢ.

Bei Kräften müssen insbesondere Richtung und Betrag berücksichtigt werden. Beim Schieben einer Kiste spielt es für das Endergebnis keine Rolle, ob sie zuerst nach vorne und anschließend nach links oder direkt schräg nach links-vorne geschoben wird.

Mehrere Lastfälle können grundsätzlich überlagert werden. Bei nichtlinearen Problemen, beispielsweise in der linearisierten Theorie II. Ordnung, reicht jedoch die einfache Addition der einzelnen Kräfte der jeweiligen Lastfälle nicht aus. Stattdessen müssen die Schnittgrößen unter Einwirkung sämtlicher Belastungen neu ermittelt werden. Die Kräfte können sich umlagern; außerdem kann sich das System in der verformten Lage versteifen oder verweichen. In der Theorie II. Ordnung besitzen Belastungen daher auch einen Systemcharakter, weil die Steifigkeiten insbesondere von der Normalkraft abhängen.

Superposition in der Quantenmechanik

In der Quantenmechanik kann ein Quantensystem einen gemischten Zustand annehmen, in dem mehrere andere Zustände mit bestimmten komplexen Amplitudenfaktoren kombiniert sind. Umgangssprachlich wird dies oft so beschrieben, dass eine Observable gleichzeitig mehrere Werte besitzt und erst bei einer Messung einer dieser Werte als Ergebnis erscheint. Als bekanntes Beispiel wird Schrödingers Katze genannt, die bis zu einer Messung gleichzeitig teilweise tot und lebendig ist.

Die quantenmechanische Superposition ist mit der Überlagerung von Amplituden in der klassischen Wellenlehre vergleichbar, weil Quantenzustände durch Wellenfunktionen beschrieben werden können. Allerdings haben die Werte der quantenmechanischen Wellenfunktionen selbst – anders als bei klassischen Wellen – keine unmittelbare Bedeutung in der beobachtbaren Welt.

In der Bra-Ket-Notation wird ein Überlagerungszustand als Linearkombination verschiedener Vektoren dargestellt:

|ψ⟩ = ∑ᵢ₌₁ⁿ cᵢ |φᵢ⟩.

Der Zustand |ψ⟩ ist eine Überlagerung der Zustände |φᵢ⟩ mit komplexen Koeffizienten cᵢ. Sind die Zustände |φᵢ⟩ alle orthogonal zueinander und normiert, geben die Betragsquadrate |cᵢ|² die Wahrscheinlichkeit an, das Quantensystem bei einer entsprechenden Messung im Zustand |φᵢ⟩ vorzufinden.

Für Quantencomputer ist das Konzept wichtig, weil eine Quantenrechenoperation auf einen Überlagerungszustand gleichzeitig auf alle überlagerten Teilzustände angewandt werden kann. Dadurch beeinflusst die Superposition die Verarbeitung und Speicherung von Daten, etwa bei einem Qubit.

Anwendungen in Thermodynamik und Elektrotechnik

In der Thermodynamik wird das Superpositionsprinzip zur Berechnung transienter Erwärmungsvorgänge verwendet. Dabei werden alle Prozesse überlagert, die zur Wärmeabfuhr und Wärmezufuhr beitragen. So lässt sich beispielsweise die Temperatur eines Leistungshalbleiters zu einem bestimmten Zeitpunkt t bestimmen, nachdem ein Leistungsimpuls auf das Bauteil gewirkt hat.

Im beschriebenen Beispiel wirkt von t = 0 bis t = t₁ eine Leistung und erwärmt das Bauteil. Die Temperatur steigt nach der Exponentialfunktion

ΔT = k (1 − e^(−t/t₁)).

Um die Temperatur nach dem Ende der Erwärmung zu bestimmen, lässt man den Leistungsimpuls fortwirken und setzt zum Erwärmungsende einen gleich großen negativen Leistungsimpuls an. Dieser erzeugt eine „negative“ Erwärmungskurve. Die Summe beider Erwärmungskurven ergibt die Abkühlfunktion.

In der Elektrotechnik heißt das entsprechende Verfahren Überlagerungssatz nach Helmholtz. Es dient der vereinfachten Berechnung linearer elektrischer Schaltungen mit mehreren Spannungs- und/oder Stromquellen. Für jede Quelle wird zunächst eine getrennte Berechnung durchgeführt. Alle anderen idealen Quellen werden auf null gesetzt: Spannungsquellen ersetzt man durch Kurzschlüsse mit 0 V, Stromquellen durch Unterbrechungen mit 0 A. Die Innenwiderstände der Quellen bleiben in der Schaltung. Anschließend werden die Teilergebnisse linear und vorzeichenrichtig addiert.

Ursprünglich wurde der Überlagerungssatz für Gleichstrom beziehungsweise Gleichspannung formuliert. Im Rahmen der komplexen Wechselstromrechnung gilt er auch für Wechselstrom und Wechselspannung. Mithilfe der Operatorenrechnung, beispielsweise der Laplace-Transformation, ist er sogar auf beliebige Signalformen anwendbar. Generell gilt er nur für Schaltungen mit linearen Bauelementen.