Frequenzspektrum

Grundidee und Bedeutung

Das Frequenzspektrum, meist kurz Spektrum genannt, beschreibt, aus welchen Frequenzen ein Signal zusammengesetzt ist. Allgemein ist das Frequenzspektrum X eine komplexwertige Funktion. Ihr Betrag |X| heißt Amplitudenspektrum; er gibt die Stärke der Frequenzanteile an. Der Phasenwinkel arg X heißt Phasen- oder Phasenwinkelspektrum; er beschreibt die Phasenlage der Anteile.

Der Begriff kommt in vielen Bereichen der Physik und Technik vor, zum Beispiel in Optik, Akustik, Elektrodynamik und Mechanik. Licht besteht aus Wellen verschiedener Frequenzen; mit seinem Spektrum verändert sich meist seine Farbe. Bei Schall bestimmt die Frequenz eines Tones seine Tonhöhe, und das Spektrum prägt den Klang eines Musikinstruments oder einer Stimme. Ein Rundfunksignal enthält in seinem Frequenzgemisch Bild- und Toninformation. Auch komplizierte mechanische Schwingungen, etwa die Auslenkung eines Seismographen bei einem Erdbeben, setzen sich aus Schwingungen verschiedener Frequenzen zusammen.

Berechnet wird ein Frequenzspektrum aus dem zugrunde liegenden Signal mit der Fouriertransformation oder, bei periodischen Signalen, mit der Fourierreihe. Die Darstellung im Frequenzbereich hilft in Physik und Technik, Vorgänge oft einfacher zu beschreiben als nur als Funktion der Zeit oder des Ortes.

Zeitsignale und Fourierdarstellung

Bei einem Zeitsignal hängt das Signal von der Zeit ab, also x(t). Die Grundidee ist: Ein zeitabhängiges Signal lässt sich nach den Regeln der Fourierreihe oder Fouriertransformation als Summe oder Integral von komplexen Exponentialfunktionen verschiedener Frequenzen darstellen. Diese komplexen Exponentialfunktionen heißen Aufbaufunktionen. Das Frequenzspektrum gibt an, mit welcher Wichtung, also Stärke, jede Aufbaufunktion zum Gesamtsignal beiträgt.

Für ein periodisches zeitkontinuierliches Signal mit Periodendauer T ergibt sich ein diskretes Spektrum, auch Linienspektrum genannt. Die Grundfrequenz ist f0 = 1/T. Das Signal wird als Summe von Frequenzen 0, ±f0, ±2·f0, ±3·f0, ... beschrieben. Die Exponentialschwingung e^{i2πft} kann mit e^{i2πft} = cos(2πft) + i sin(2πft), i = √−1 dargestellt werden. Das Spektrum ist nur für die diskreten Frequenzen n·f0 definiert.

Für ein nichtperiodisches zeitkontinuierliches Signal x(t) mit endlicher Signalenergie entsteht ein kontinuierliches Spektrum. Es ist für alle reellwertigen Frequenzen definiert. Die kontinuierliche Fouriertransformation kann als Grenzfall des Linienspektrums der Fourierreihe verstanden werden, wenn die Periodendauer gegen unendlich geht, also T → ∞.

Negative Frequenzen und weitere Signale

Frequenzspektren sind mathematisch sowohl für positive als auch für negative Frequenzen definiert. Für reellwertige Signale x(t) hängen die positiven und negativen Frequenzanteile aber zusammen. Es gilt X(f) = X(−f)*. Der Stern * bezeichnet die komplexe Konjugation. Deshalb zeigt man negative Frequenzen in der Regel nur bei komplexwertigen Signalen gesondert an.

Die Begriffe Frequenzspektrum, Amplitudenspektrum und Phasenspektrum werden auch für weitere Signalklassen entsprechend verwendet, zum Beispiel für zeitdiskrete, wertkontinuierliche Signale, also abgetastete Analogsignale.

Bei nichtperiodischen Leistungssignalen wie Rauschsignalen verwendet man die spektrale Leistungsdichte. Sie beschreibt ebenfalls die spektrale Zusammensetzung eines Signals. Solche Signale sind nicht direkt fouriertransformierbar, weil die zugehörigen Transformationsintegrale divergieren. In der Messtechnik kann man bei einem ergodischen Entstehungsprozess näherungsweise ein Teilsignal endlicher Dauer fouriertransformieren. Das Quadrat |X|² der Fouriertransformierten ist dann näherungsweise proportional zur spektralen Leistungsdichte.

Typische Spektren und Beispiele

Die Form eines Spektrums hängt davon ab, welche Frequenzen enthalten sind und ob sie harmonisch zusammenhängen. Bei einem eindimensionalen Audiosignal entsteht je nach Anzahl und Harmonik der Frequenzen ein Klang, ein Klanggemisch, ein Geräusch oder ein Rauschen. Ein harmonischer Klang enthält passend zusammenhängende Frequenzen. Ein Klanggemisch enthält wenige unharmonische Frequenzen. Ein Geräusch ist unharmonisch, und Rauschen enthält statistisch auftretende Frequenzanteile über viele oder alle Frequenzen.

Periodische Signale haben in der Regel ein Linienspektrum. Nichtperiodische Signale, zum Beispiel Impulse, haben meist ein kontinuierliches Frequenzspektrum.

Eine reine Sinusschwingung besitzt im Frequenzspektrum nur eine Linie, nämlich die Linie ihrer Frequenz. Ein Rechtecksignal der Frequenz f hat ein Linienspektrum mit den Frequenzen f, 3·f, 5·f, ... . Ein Impulsgenerator kann lückenlos alle Oberwellen bis zu extrem hohen Frequenzen erzeugen. Bei einem Musikinstrument erklingt ein Ton immer zusammen mit seinen Oberschwingungen; die Menge aller klingenden Frequenzen ist das Frequenzspektrum dieses Tons. Ein amplitudenmodulierter Radiosender, der Sprache und Musik bis 8 kHz auf 1 MHz überträgt, besitzt ein Frequenzspektrum von 0,992 bis 1,008 MHz. Sendet ein System elektromagnetische Strahlung aus, spricht man vom elektromagnetischen Spektrum.

Audio, Licht und Ortsfrequenzen

Beim Amplitudenspektrum eines Audiosignals zeigt sich, welche Frequenzanteile in einem Klang besonders stark sind. Im Beispiel eines Geigentons d' mit 294 Hz hängt das Spektrum davon ab, welchen Zeitabschnitt man analysiert. Während des Streichens erkennt man neben der Grundfrequenz f0 = 294 Hz deutliche Anteile bei ganzzahligen Vielfachen fn = n f0. Diese entstehen, weil die Saite nicht nur als Grundwelle schwingt, sondern zusätzlich Knotenpunkte bei 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 2/4, 3/4, ... der Saitenlänge ausbildet. Schwingungen bei Vielfachen des Grundtons heißen in der Musik Obertöne. Ihre Stärke hängt nicht nur von der Saite ab, sondern von der gesamten Anordnung des Instruments, also Saite, Resonanzkörper, Saitendruck beim Streichen beziehungsweise Auslenkung beim Zupfen. Beim Ausklingen des Tons zeigt der betrachtete Signalausschnitt keine markanten Obertonanteile.

Bei Licht ist das Frequenzspektrum besonders, weil optische Frequenzen über 100 Terahertz liegen. Im Radiobereich kann man das Spektrum noch aus dem zeitlichen Verlauf der elektrischen Feldstärke bestimmen; im Bereich des Lichts ist das nicht mehr möglich. Optische Spektren werden häufig über die Wellenlänge oder die Energie der Lichtquanten dargestellt. Nur wenn die x-Achse die Frequenz zeigt, spricht man von einem Frequenzspektrum. Wellenlängenspektren sind am roten Ende breiter; Frequenzspektren sind am blauen Ende breiter und flacher, wenn die spektrale Intensität pro Einheit der x-Achse dargestellt wird.

Ein Ortsfrequenzspektrum entsteht, wenn ein Signal nicht von der Zeit, sondern von Ortskoordinaten abhängt. Es kann ein-, zwei- oder dreidimensional sein. Beispiele sind der Grauwertverlauf entlang einer Linie, der Grauwertverlauf einer Schwarz-Weiß-Photographie oder die Intensitätsverteilung einer physikalischen Größe im Raum. Auch diskrete Strukturen sind möglich, zum Beispiel Pixel einer Pixelgraphik oder die Punktverteilung eines Kristallgitters. Wie bei Zeitsignalen wird das Signal als Summe oder Integral komplexer Exponentialfunktionen beschrieben, nun mit Ortsfrequenzen fx, fy und fz.

Messung und erweiterte Bedeutung

Das Frequenzspektrum eines elektrischen Signals kann mit einem Spektrumanalysator oder Signalanalysator gemessen werden. Das Spektrum wird dabei zum Beispiel mit Fourieranalyse oder nach dem Prinzip des Überlagerungsempfängers aus dem Zeitsignal bestimmt. Als Ergebnis erhält man die Amplituden der Frequenzanteile A(f) als Funktion der Frequenz f. Wenn sich die Amplituden zeitlich verändern, erhält man eine Verteilung A(f,t) als Funktion von Frequenz f und Zeit t.

Im erweiterten Sinn bezeichnet Frequenzspektrum auch eine Auflistung von Frequenzen, die unter einer bestimmten Betrachtungsweise zusammengehören, zum Beispiel das Frequenzspektrum der Radio- und Fernseh-Kanäle. Dafür wird auch der Begriff Frequenzband verwendet. Ein Antwortspektrum dient außerdem der Bemessung von Bauwerken gegen Belastungen durch Erdbeben.