Wellengleichung

Grundidee und Gleichungsformen

Die Wellengleichung, auch D’Alembert-Gleichung, ist eine partielle Differentialgleichung zur Beschreibung von Wellen und stehenden Wellenfeldern. Sie wird in der klassischen Physik etwa für Wasser-, Schall- und seismische Wellen sowie für elektromagnetische Wellen einschließlich Licht verwendet.

Wenn ein Medium oder das Vakuum eine Welle nur weiterleitet und keine Wellen selbst erzeugt, gilt die homogene Wellengleichung für eine reelle Funktion u(t,x_1,\dots ,x_n):

\displaystyle \frac{\partial ^2u}{\partial t^2}=c^2\left(\frac{\partial ^2u}{\partial x_1^2}+\frac{\partial ^2u}{\partial x_2^2}+\cdots+\frac{\partial ^2u}{\partial x_n^2}\right).

Dabei ist n die Raumdimension und c die Ausbreitungsgeschwindigkeit, zum Beispiel die Schallgeschwindigkeit in einem homogenen und isotropen Medium oder die Lichtgeschwindigkeit. Mit \ddot u=\partial ^2u/\partial t^2 und dem Nabla-Operator lautet sie \ddot u=c^2\nabla ^2u. Mit dem D’Alembert-Operator \displaystyle \Box=\frac{1}{c^2}\frac{\partial ^2}{\partial t^2}-\sum_{i=1}^n\frac{\partial ^2}{\partial x_i^2} schreibt man kurz \Box u=0.

Die Gleichung ist linear: Lösungen können überlagert werden, ohne sich gegenseitig zu beeinflussen. Weil ihre Koeffizienten nicht von Ort und Zeit abhängen, bleiben verschobene, verspätete oder gedrehte Wellen ebenfalls Lösungen. Bei einer Quelle v gilt die inhomogene Wellengleichung \Box u=v; v beschreibt ein Medium, das selbst Wellen erzeugt.

Wellen in einer Raumdimension

In einer Raumdimension lässt sich der D’Alembert-Operator zerlegen:

\displaystyle \Box=\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}-\frac{\partial}{\partial x}\right)\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}\right).

Die allgemeine Lösung ist

\displaystyle u(t,x)=f(x+ct)+g(x-ct),

wobei f und g beliebige zweifach differenzierbare Funktionen sind. f(x+ct) ist eine formtreu nach links laufende Welle, g(x-ct) eine nach rechts laufende. Deshalb heißt die Gleichung auch Zweiweg-Wellengleichung. Wenn f und g unter bestimmten Voraussetzungen mit gleicher Form und Periode um null schwingen, kann ihre Summe eine stehende Welle bilden. Die Geraden x\pm ct=\text{konstant} heißen Charakteristiken.

Die Anfangswerte sind \phi(x)=u(0,x)=f(x)+g(x) und \displaystyle \psi(x)=\frac1c\frac{\partial u}{\partial t}(0,x)=f'(x)-g'(x). Daraus folgt die D’Alembert-Lösung:

\displaystyle u(t,x)=\frac12\left(\phi(x+ct)+\phi(x-ct)+\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(\xi)\,\mathrm d\xi\right).

Sie bestimmt die Welle zu späteren Zeiten aus ihrer anfänglichen Form und ihrer anfänglichen Zeitableitung.

Lösungen im dreidimensionalen Raum

Eine allgemeine Lösung kann als Überlagerung ebener Wellen geschrieben werden. Dabei sorgt die Delta-Distribution dafür, dass die Dispersionsrelation \omega=c|\vec k| eingehalten wird; eine ebene Welle läuft in Richtung von \vec k.

Für Anfangswerte u(0,\vec x)=\phi(\vec x) und \displaystyle \frac1c\frac{\partial u}{\partial t}(0,\vec x)=\psi(\vec x) lautet die Lösung der homogenen Gleichung:

\displaystyle u(t,\vec x)=ct\,M_{t,\vec x}[\psi]+\frac1c\frac{\partial}{\partial t}\bigl(ct\,M_{t,\vec x}[\phi]\bigr).

M_{t,\vec x}[\chi] ist der Mittelwert von \chi über eine Kugelschale um \vec x mit Radius c|t|; insbesondere gilt M_{0,\vec x}[\chi]=\chi(\vec x). Die Lösung hängt daher zum Zeitpunkt t am Ort \vec x nur von Anfangswerten auf dieser erreichbaren Kugelschale ab. Dies erfüllt das Huygenssche Prinzip. In eindimensionalen Systemen und in geraden Raumdimensionen gilt es nicht: Dann beeinflussen auch näher gelegene Anfangspunkte die Lösung.

Bei der inhomogenen Gleichung kommen zu den Anteilen aus \phi und \psi Integrale über die Quelle v hinzu. Für t>0 hängt die Lösung nur von v auf dem Rückwärtslichtkegel von \vec x ab, für negative Zeiten vom Vorwärtslichtkegel. Quelle und Anfangswerte breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit aus.

Retardiertes Potential und Symmetrien

Das retardierte Potential ist

\displaystyle u_{\text{retardiert}}(t,\vec x)=\frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb R^3}\mathrm d^3\vec z\,\frac{v(ct-|\vec z|,\vec x+\vec z)}{|\vec z|}.

Es löst die inhomogene Wellengleichung, sofern die Quelle v auf allen Rückwärtslichtkegeln schneller als 1/r^2 abfällt. Es beschreibt eine Welle, die vollständig durch das Medium erzeugt wird und keine durchlaufende Welle enthält. In der Elektrodynamik kann die Kontinuitätsgleichung die Quelle einschränken; bei räumlich nicht ausreichend schnell abfallenden Quellen kann das retardierte Integral divergieren. Dies heißt Infrarotdivergenz. Die Darstellung durch Anfangswerte zu endlicher Zeit und Integrale über endliche Lichtkegelabschnitte ist davon frei.

Der D’Alembert-Operator ist unter Translationen und Lorentztransformationen invariant: \displaystyle (\Box f)\circ\Lambda^{-1}=\Box(f\circ\Lambda^{-1}). Entsprechend ist der Laplace-Operator unter Translationen und Drehungen invariant. Die homogene Wellengleichung ist außerdem unter konformen Transformationen, insbesondere unter Streckungen, invariant.