Superposition (Mathematik)

Kernidee und Bedeutung

Die Superpositionseigenschaft oder das Superpositionsprinzip ist eine Grundeigenschaft homogener linearer Gleichungen. Sie besagt: Sind mehrere Vektoren, Zahlen oder Funktionen Lösungen derselben homogenen linearen Gleichung, dann ist auch jede Linearkombination dieser Lösungen wieder eine Lösung. Eine Linearkombination hat die Form c₁x₁ + c₂x₂ + … mit beliebigen Skalaren cᵢ.

Das Prinzip ermöglicht außerdem, die Lösungen einer lösbaren inhomogenen linearen Gleichung als Summe aus der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung und einer Partikulärlösung darzustellen. Eine Partikulärlösung ist dabei irgendeine konkrete Lösung der inhomogenen Gleichung.

Besonders nützlich ist das Superpositionsprinzip bei schwer zu lösenden linearen Gleichungen, etwa linearen Differentialgleichungen. Das Ausgangsproblem wird in mehrere einfachere Teilprobleme zerlegt. Die jeweiligen Teillösungen werden anschließend addiert. Das Prinzip hat vielfältige Anwendungen, insbesondere in der Physik.

Lineare Gleichungen und homogene Lösungen

Die Grundlagen gelten allgemein für Vektoren aus einem Vektorraum über einem beliebigen Körper, beispielsweise über den reellen oder komplexen Zahlen. Eine Bestimmungsgleichung in der Unbekannten x heißt linear, wenn sie in die Form T(x) = b gebracht werden kann. Dabei ist T eine lineare Abbildung und b unabhängig von x.

Eine Abbildung T ist linear, wenn für Konstanten λ und μ gilt: T(λx + μy) = λT(x) + μT(y).

Eine lineare Gleichung heißt homogen, wenn die rechte Seite gleich Null ist, also T(x) = 0 gilt. Andernfalls heißt sie inhomogen. Jede homogene lineare Gleichung besitzt mindestens die triviale Lösung x = 0.

Beispiel: Die Gleichung 3·x₁ + 4·x₂ = 0 ist homogen und wird insbesondere durch x = (0, 0) erfüllt. Die Gleichung 3·x₁ + 4·x₂ = 12 ist inhomogen und wird nicht durch die triviale Lösung erfüllt.

Superposition und Partikulärlösungen

Sind x̂ und x̄ zwei Lösungen einer homogenen linearen Gleichung, dann ist auch c x̂ + d x̄ für beliebige Konstanten c und d eine Lösung. Der Grund ist: T(c x̂ + d x̄) = T(c x̂) + T(d x̄) = cT(x̂) + dT(x̄) = 0 + 0 = 0. Dies gilt ebenso für Linearkombinationen von mehr als zwei Lösungen.

Beispiel: Für 2·x₁ − 3·x₂ = 0 sind (3, 2) und (6, 4) Lösungen. Daher sind auch (9, 6) sowie 4(3, 2) + 3(6, 4) = (30, 20) Lösungen.

Eine inhomogene lineare Gleichung muss im Gegensatz zu einer homogenen Gleichung nicht lösbar sein; ihre Lösungsmenge kann leer sein. Ist sie lösbar und ist x̄ eine konkrete Lösung von T(x) = b, dann erhält man mit jeder Lösung y des homogenen Problems T(y) = 0 eine Lösung x = y + x̄ der inhomogenen Gleichung. Es gilt: T(y + x̄) = T(y) + T(x̄) = 0 + b = b. Damit ist die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung die Summe aus der allgemeinen homogenen Lösung und einer Partikulärlösung.

Beispiel: Für x₁ − 2x₂ = 10 ist x̄ = (4, −3) eine Partikulärlösung. Die homogenen Lösungen erfüllen y₁ − 2y₂ = 0, also y₁ = 2y₂. Mit y₂ = t und t ∈ ℝ ergibt sich: x = y + x̄ = (2t + 4, t − 3), t ∈ ℝ.

Überlagerung von Teilproblemen

Eine zentrale Anwendung besteht darin, eine rechte Seite in mehrere Anteile zu zerlegen. Wenn T(x) = b₁ + b₂ gilt und x₁ beziehungsweise x₂ die Einzelprobleme T(x₁) = b₁ und T(x₂) = b₂ lösen, dann ist x = x₁ + x₂ eine Lösung des Ausgangsproblems.

Dieses Verfahren ist vorteilhaft, wenn die Einzelprobleme leichter zu lösen sind als das ursprüngliche Problem. Sofern die entsprechenden Summen konvergieren, kann die Konstruktion auch auf unendlich viele Einzellösungen erweitert werden. Joseph Fourier verwendete solche Reihen zur Lösung der Wärmeleitungsgleichung und begründete damit die Fourier-Analysis.

Bei linearen Gleichungen wird das Prinzip in verschiedenen mathematischen Gebieten ähnlich angewendet: Zuerst wird das homogene Problem gelöst, anschließend wird eine Partikulärlösung für die rechte Seite bestimmt, und zuletzt werden beide Beiträge addiert.

Typische mathematische Anwendungen

Bei linearen diophantischen Gleichungen ist x ein ganzzahliger Vektor. Für ganzzahlige Koeffizienten a₁, …, aₙ und b soll gelten: a₁x₁ + a₂x₂ + … + aₙxₙ = b. Die ganzzahligen Lösungen entstehen aus den Lösungen der homogenen Gleichung und einer Partikulärlösung. Letztere kann mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus gefunden werden. Für 2x₁ + 3x₂ = 26 lauten die homogenen Lösungen y = (3t, −2t) mit t ∈ ℤ. Mit der Partikulärlösung (4, 6) erhält man x = (3t + 4, −2t + 6), t ∈ ℤ.

Bei linearen Differenzengleichungen ist die Unbekannte eine Folge (xₙ)ₙ. Allgemein gilt: a₀(n)xₙ + a₁(n)xₙ₋₁ + … + aₖ(n)xₙ₋ₖ = b(n), n ∈ ℕ, n ≥ k. Die Lösung hängt von den Startwerten x₀, …, xₖ₋₁ ab. Für xₙ − 2xₙ₋₁ = 3 und x₀ = c ist die homogene Lösung yₙ = c2ⁿ. Eine Partikulärlösung mit x̄₀ = 0 ist x̄ₙ = 3(2ⁿ − 1). Daher lautet die Gesamtlösung xₙ = c2ⁿ + 3(2ⁿ − 1) = (c + 3)2ⁿ − 3.

Bei linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen ist die Unbekannte eine Funktion f. Die allgemeine Form lautet: aₙ(x)f⁽ⁿ⁾(x) + … + a₁(x)f′(x) + a₀(x)f(x) = g(x). Die homogene Lösung kann über ein Fundamentalsystem bestimmt werden; eine Partikulärlösung lässt sich beispielsweise mit der Variation der Konstanten finden. Für f′(x) + xf(x) = (1 + x)eˣ ist die homogene Lösung h(x) = ke⁻ˣ²ᐟ². Eine Partikulärlösung ist eˣ, sodass f(x) = ke⁻ˣ²ᐟ² + eˣ gilt. Eine Anfangsbedingung, beispielsweise f(0) = k + 1, bestimmt die Lösung eindeutig.

Bei linearen partiellen Differentialgleichungen hängt die unbekannte Funktion f von mehreren Veränderlichen ab. Homogene und inhomogene Gleichungen können beispielsweise mit Fundamentallösungen oder einem Separationsansatz gelöst werden. Im Beispiel der Wärmeleitungsgleichung fₜ − fₓₓ = π²sin(πx) mit f(0,t) = f(1,t) = 0 und f(x,0) = 2sin(πx) ergibt sich für den homogenen Anteil h(x,t) = 2sin(πx)e⁻π²ᵗ. Die Partikulärlösung mit Null-Anfangsbedingung ist f̄(x,t) = sin(πx)(1 − e⁻π²ᵗ). Die Gesamtlösung lautet daher f(x,t) = sin(πx)(e⁻π²ᵗ + 1).

In der Physik wird Superposition unter anderem bei der Überlagerung von Kräften, der Interferenz von Wellen, der Überlagerung quantenmechanischer Zustände, bei Erwärmungsvorgängen in der Thermodynamik und bei der Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik verwendet.