Weg (Physik)

Begriff und Darstellung

In der Physik ist der Weg eines als punktförmig angenommenen Objekts der Verlauf seines Ortes während der Zeit, ausgelöst durch seine Bewegung. Er heißt auch Bahn und verläuft entlang einer Bahnkurve. Die jeweilige Position wird mit dem Ortsvektor \vec r relativ zu einem beliebig wählbaren, als ruhend angenommenen Bezugspunkt angegeben. Das bevorzugte Formelzeichen für den Weg ist s.

„Weg“ kann außerdem die Länge entlang der Bahnkurve meinen. Diese skalare Größe wird zur Unterscheidung zurückgelegter Weg, Wegstrecke oder Bogenlänge genannt. Sie ist nicht dasselbe wie der Verschiebungsvektor zwischen Start- und Endpunkt.

Bahnkurve bestimmen

Die Bahn eines punktförmigen Objekts kann als Lösung einer Bewegungsgleichung berechnet werden. Eine geschlossene Formel ist jedoch nur in einfachen Fällen möglich. Sie kann auch gemessen werden, etwa bei Teilchen in einer Drahtkammer.

Für den Verlauf der Bahn kann man die Zeit t oder die Wegstrecke s als Parameter wählen. Die Bahn wird dann durch \vec r(t) beziehungsweise \vec r(s) beschrieben.

Weglänge und Geschwindigkeit

Die Weglänge von Punkt A zu Punkt B ist die Summe aller kleinen Wegstücke \Delta s_i entlang der Bahn:

s_{A\to B}=\sum_i \Delta s_i.

Bewegt sich ein Körper kontinuierlich, heißt die entstehende Kurve Trajektorie oder Bahnkurve. Für ein infinitesimal kleines Stück ist das skalare Wegelement \mathrm ds der Betrag der infinitesimalen Ortsänderung \mathrm d\vec r:

\mathrm ds=|\mathrm d\vec r|=|\vec v(t)|\,\mathrm dt.

Dabei ist \vec v(t) die Geschwindigkeit. Die Weglänge zwischen den Zeiten t_A und t_B erhält man durch Integration:

s_{A\to B}=\int_{A,\,{\cal C}}^B \mathrm ds=\int_{t_A}^{t_B}|\vec v(t)|\,\mathrm dt,

wobei \vec r(t_A)=A und \vec r(t_B)=B. Im Allgemeinen ist die Weglänge größer als die Entfernung zwischen Anfangs- und Endpunkt, weil sie den gesamten Verlauf der Bahn berücksichtigt.

Beispiel: senkrechter Wurf

Bei einem senkrechten Wurf nach oben gelten für v_0>0, t_0=0, h_0=0 und die Fallbeschleunigung g:

v(t)=v_0-g\cdot t

und

h(t)=v_0\cdot t-\frac{g}{2}\cdot t^2.

Nach t=v_0/g erreicht das Objekt die maximale Höhe h_{\mathrm{max}}=v_0^2/(2g); dort ist v=0. Anschließend kehrt die Geschwindigkeit ihr Vorzeichen um und das Objekt fällt zurück. Es erreicht den Boden wieder bei t=2v_0/g. Die gesamte Wegstrecke nach oben und wieder zurück beträgt

s=\int_0^{2v_0/g}|v_0-g\cdot t|\,\mathrm dt=\frac{v_0^2}{g}.

Ohne Integration folgt dasselbe: Die Strecke bis zur maximalen Höhe ist v_0^2/(2g) und wird beim Rückweg ein zweites Mal zurückgelegt.

Weg und Arbeit in Feldern

Wird ein Objekt in einem physikalischen Feld längs eines Weges von A nach B verschoben und wirkt die Feldkraft \vec F, verrichtet das Feld die Arbeit

W_{A\to B}=\int_A^B\vec F\cdot\mathrm d\vec r.

In einem homogenen Feld ist \vec F ortsunabhängig und konstant. Dann ist die Arbeit das Skalarprodukt aus Kraft und Verschiebungsvektor \vec r_{AB}:

W_{A\to B}=\vec F\cdot\vec r_{AB}.

Für ein konstantes homogenes elektrisches Feld der Feldstärke \vec E und eine Ladung q gilt entsprechend:

W_{A\to B}=q\int_A^B\vec E\cdot\mathrm d\vec r=q\vec E\cdot\vec r_{AB}.

Ist ein Feld ein Quellen- oder Potentialfeld, so ist seine Kraft konservativ. Die Arbeit hängt dann nur von Anfangs- und Endort ab, nicht vom Verlauf des Weges; sie ist wegunabhängig.

Für eine zeitunabhängige Masse m folgt mit \vec F=m\,\mathrm d\vec v/\mathrm dt:

W_{A\to B}=\frac{m}{2}v_B^2-\frac{m}{2}v_A^2.

Die Arbeit entspricht somit der Änderung der kinetischen Energie und hängt nur von deren Wert am Anfangs- und Endpunkt ab, nicht von der kinetischen Energie während des Weges.