Elektrisches Feld

Grundidee und Bedeutung

Das elektrische Feld ist ein physikalisches Feld, das durch die Coulombkraft auf elektrische Ladungen wirkt. Als Vektorfeld beschreibt es für jeden Raumpunkt die Stärke und Richtung dieser Kraft. Hervorgerufen wird es durch elektrische Ladungen sowie durch zeitliche Änderungen magnetischer Felder. Gemeinsam mit dem magnetischen Feld wird es durch die Maxwell-Gleichungen beschrieben.

Elektrische Felder erklären unter anderem die Übertragung elektrischer Energie und die Funktion elektronischer Schaltungen. Sie bewirken außerdem die Bindung von Elektronen an den Atomkern und beeinflussen dadurch die Gestalt der Materie. Zusammen mit dem Magnetismus bilden sie das elektromagnetische Feld, das die Ausbreitung von Licht- und Funkwellen erklärt. Eine nirgends angeschlossene Leuchtstofflampe kann in der Nähe einer Hochspannungsleitung aufgrund des sich ständig ändernden elektrischen Feldes leuchten.

Feldstärke, Flussdichte und Energie

Die elektrische Feldstärke wird durch das Vektorfeld E beschrieben. Es ordnet jedem Punkt im Raum den orts- und zeitabhängigen Vektor E zu. Wirkt an einem Ort x auf eine elektrische Probeladung q bei fehlendem magnetischen Feld die Kraft F(x), so ist die elektrische Feldstärke definiert als

E(x) = F(x) / q.

Das von der Probeladung selbst erzeugte Feld und andere Kräfte, etwa die Gravitation, werden dabei vernachlässigt. Die elektrische Feldstärke beschreibt somit die Kraftwirkung auf Ladungen und kann über diese Kraftwirkung experimentell bestimmt werden.

Die elektrische Flussdichte D ist ebenfalls ein orts- und zeitabhängiges Vektorfeld. Sie kann nur indirekt gemessen werden. Nach dem gaußschen Gesetz ist das Flächenintegral der Flussdichte über eine geschlossene Fläche gleich der im eingeschlossenen Volumen enthaltenen Ladung:

∯∂V D · dA = ∭V ρ dV = Q(V).

Das gaußsche Gesetz gilt unabhängig von der Zeit. Eine zeitliche Änderung der elektrischen Flussdichte wirkt außerdem wie ein elektrischer Strom und erscheint als Verschiebungsstrom im erweiterten ampèreschen Gesetz:

∮∂A H · ds = ∬A jₗ · dA + ∬A (∂D/∂t) · dA.

Die Energiedichte des elektrischen Feldes beträgt

w_el = ½(E · D).

Der Zusammenhang zwischen E und D hängt vom Medium ab. Wegen der elektrischen Polarisation ist er im Allgemeinen nichtlinear und zudem frequenzabhängig. Für viele Medien gilt näherungsweise der lineare Zusammenhang D = ε₀ εᵣ E. Dabei ist ε₀ die elektrische Feldkonstante und εᵣ die Permittivitätszahl. Im Vakuum gilt εᵣ = 1 und damit streng linear D = ε₀ E.

Feldlinien und Feldtypen

Feldlinienbilder veranschaulichen elektrische Felder durch orientierte, also mit Pfeilen versehene Feldlinien. Feldlinien eines von Ladungen erzeugten elektrischen Feldes beginnen an positiven Ladungen oder im Unendlichen und enden an negativen Ladungen oder im Unendlichen. Ein solches Feld heißt Quellenfeld.

Zeitliche Änderungen des durch eine Fläche tretenden magnetischen Flusses erzeugen dagegen ein elektrisches Wirbelfeld. Bei einem Wirbelfeld verlaufen die elektrischen Feldlinien in sich geschlossen. Die Tangente an eine Feldlinie gibt an jedem Punkt die Richtung des Feldstärkevektors E und damit die Richtung der Kraft auf eine positive Probeladung an. Der Querabstand beziehungsweise die Dichte der Feldlinien ist proportional zum Betrag der Feldstärke.

Für eine Punktladung Q im Ursprung ergibt sich nach dem coulombschen Gesetz:

E(r) = [Q / (4π ε₀ εᵣ)] · [eᵣ / r²] = [Q / (4π ε₀ εᵣ)] · [r / r³].

Dabei ist r der Ortsvektor des betrachteten Punktes, r sein Betrag und eᵣ = r/r der zugehörige Einheitsvektor. ε₀ bezeichnet die elektrische Feldkonstante, εᵣ die relative Permittivität. Das Feld zeigt bei positiver Ladung radial von der Ladung weg und bei negativer Ladung radial zu ihr hin.

Ladungsverteilungen und Überlagerung

Das elektrische Feld mehrerer Punktladungen ergibt sich nach dem Superpositionsprinzip durch Addition der einzelnen Feldstärkevektoren. Für Ladungen Q₁ bis Qₙ an den Positionen r₁ bis rₙ lautet das Gesamtfeld am Ort r:

E(r) = [1 / (4π ε₀ εᵣ)] · Σᵢ₌₁ⁿ Qᵢ (r − rᵢ) / |r − rᵢ|³.

Bei einer kontinuierlichen Ladungsverteilung mit der räumlichen Ladungsdichte ρ(x) wird die Summe durch ein Integral ersetzt:

E(r) = [1 / (4π ε₀ εᵣ)] · ∫ ρ(r′) [(r − r′) / |r − r′|³] dx′ dy′ dz′.

Für einen unendlich langen geladenen Draht mit der linearen Ladungsdichte λ = Q/a gilt:

E = [λ / (2π ε₀ εᵣ r)] · eᵣ.

Der Einheitsvektor eᵣ ist dabei radial vom Draht zum Bezugspunkt gerichtet.

Eine gleichmäßig geladene, unendlich ausgedehnte, dünne Platte erzeugt auf beiden Seiten ein homogenes elektrisches Feld. Der Feldstärkevektor steht senkrecht auf der Platte. Bei positiver Ladung zeigt er von der Platte weg, bei negativer Ladung zu ihr hin. Für die Flächenladungsdichte σ = Q/A beträgt der Betrag der Feldstärke

E = σ / (2 ε₀ εᵣ).

Plattenkondensator und Dipol

Zwischen zwei großen, planparallelen Kondensatorplatten mit gleich großen, entgegengesetzten Ladungen ist das elektrische Feld annähernd homogen; bei unendlich großen Platten wäre es streng homogen. Für den Betrag der Feldstärke gilt

E = U/d = Q/(ε₀ εᵣ A).

Dabei bezeichnet d den Plattenabstand, A die Fläche einer Kondensatorplatte, U die Spannung zwischen den Platten und Q den Betrag der Ladung auf einer Platte. Das Potential verändert sich von einer Platte zur anderen linear um den Betrag U. Außerhalb des Kondensators ist die Feldstärke im Idealfall gleich 0.

Werden die Platten auseinander bewegt, bleibt die Feldstärke konstant, während die Spannung steigt. Die gegen die elektrostatische Anziehung verrichtete Arbeit befindet sich anschließend in der Energie des Feldes. Die Ladungen verteilen sich gleichmäßig auf den einander zugewandten Plattenflächen. Für die Flächenladungsdichte gilt σ = Q/A. Ihr Betrag stimmt mit dem Betrag der elektrischen Flussdichte D überein; σ ist jedoch eine skalare Größe, D ein Vektor.

Ist der Kondensator nicht mit einer äußeren Ladungsquelle verbunden, bleibt σ beim Einfügen oder Entfernen eines Dielektrikums unverändert. Die elektrische Feldstärke wird beim Hinzufügen des Dielektrikums um den Faktor 1/εᵣ kleiner und beim Entfernen um den Faktor εᵣ größer.

Ein elektrischer Dipol besteht aus zwei Punktladungen +Q und −Q mit dem Abstand d. Er erzeugt ein rotationssymmetrisches Feld. In großer Entfernung r gelten für die Feldstärkekomponenten parallel und senkrecht zur Dipolachse in Richtung ϑ:

E∥ = [Qd/(4π ε₀ εᵣ)] · [(3 cos²ϑ − 1)/r³],

E⊥ = [Qd/(4π ε₀ εᵣ)] · [3 cosϑ sinϑ/r³].

Dabei zeigt ϑ = 0 von der Mitte des Dipols in Richtung der positiven Ladung. Die Formeln gelten exakt im Grenzübergang für verschwindendes d bei konstantem Betrag des Dipolmoments Qd.

Elektrostatik, Elektrodynamik und Nahwirkung

Die Elektrostatik betrachtet ausschließlich ruhende Ladungen. Ohne Ströme existiert kein Magnetfeld. Ein elektrostatisches Feld ist daher stationär, also zeitlich unveränderlich, und außerdem rotationsfrei beziehungsweise wirbelfrei. Es kann durch ein Potential beschrieben werden.

Die Elektrodynamik berücksichtigt zusätzlich elektrische Felder, die durch zeitlich veränderliche Magnetfelder entstehen. Dieses Phänomen heißt elektromagnetische Induktion. Elektromagnetische Wellen wie Licht bestehen aus miteinander verknüpften elektrischen und magnetischen Feldern. Wegen dieser engen Beziehung werden beide Felder in der Elektrodynamik zum elektromagnetischen Feld zusammengefasst.

Historisch wurde zwischen Fernwirkung und Nahwirkung unterschieden. In einer Fernwirkungstheorie wirken Ladungen an verschiedenen Orten unmittelbar aufeinander; das elektrische Feld ist dort nur eine nachgeordnete Rechengröße. In einer Nahwirkungstheorie bestehen Zusammenhänge nur zwischen Größen, die gleichzeitig am gleichen Ort vorhanden sind. Die Maxwell-Gleichungen sind ein Beispiel für eine solche Theorie. Danach befindet sich die elektrische Energie nicht an den Ladungen und Leitern, sondern in Isolatoren und im Vakuum und kann durch den Raum transportiert werden.

Nach heutiger Auffassung wird die Wechselwirkung zwischen Ladungen durch das elektrische Feld vermittelt. Ändert sich die Position einer Ladung, breitet sich die Änderung des Feldes mit Lichtgeschwindigkeit im Raum aus. Das elektromagnetische Feld kann Impuls und Energie aufnehmen und transportieren und ist daher ebenso als real anzusehen wie ein Teilchen.

In der Quantenmechanik werden Felder häufig weiterhin klassisch behandelt, während die Zustände der wechselwirkenden Teilchen quantisiert sind. Quantenfeldtheorien beschreiben Teilchen und Felder dagegen einheitlich. Dabei werden nicht nur beobachtbare Größen wie Energie und Impuls quantisiert, sondern auch die wechselwirkenden Teilchenfelder selbst. Diese Quantisierung der Felder wird auch als Zweite Quantisierung bezeichnet.