Arbeit (Physik)

Grundidee und mechanische Definition

Arbeit W beschreibt in der Physik die Energie, die durch eine Kraft entlang eines Weges von einem System aufgenommen oder abgegeben wird. Bei konstanter Kraft in Bewegungsrichtung gilt W = F·s. Die SI-Einheit ist Joule: 1 J = 1 N·m = 1 W·s; die Dimension lautet L²·M·T⁻². Arbeit, Wärme und Energie haben dieselbe Einheit.

Allgemein ist mechanische Arbeit das Skalarprodukt von Kraft und Verschiebung: W = |F⃗|·|Δs⃗|·cos α = F⃗·Δs⃗. α ist der Winkel zwischen Kraft und Weg. Nur die zum Weg parallele Kraftkomponente trägt bei. Arbeit ist positiv bei α < 90°, negativ bei α > 90° und null bei einem rechten Winkel. Negative Arbeit bedeutet: Das betrachtete System gibt Energie an das kraftausübende System ab.

Bei ortsabhängiger Kraft oder gekrümmtem Weg wird die Arbeit als Kurvenintegral berechnet: W = ∫ₚ₁,𝒞^ₚ₂ F⃗(s⃗)·ds⃗. Die Teilarbeiten entlang eines Weges addieren sich. Bei mehreren Kräften ist die Gesamtarbeit die Summe der Einzelarbeiten und entspricht der Arbeit der resultierenden Kraft: W_ges = Σᵢ Wᵢ.

Ohne Weg des Angriffspunktes ist W = 0. Deshalb verrichtet eine ruhende Unterlage an einem ruhenden Gewicht keine mechanische Arbeit. Auch beim Halten eines schweren Gegenstands ermüden zwar die Muskeln, doch die dabei verbrauchte chemische Energie ist nicht gleichbedeutend mit mechanischer Arbeit.

Arbeit, Leistung und Energieerhaltung

Der Arbeitssatz verknüpft die Arbeit einer Kraft mit der Änderung der kinetischen Energie T eines Körpers: W = ΔT = ½m(v₂² − v₁²). Wird ein Körper beschleunigt, erhöht positive Arbeit seine Bewegungsenergie; bei negativer Arbeit wird er verlangsamt.

Für eine konservative Kraft, die aus einem Potential V folgt, F⃗ = −∇V, gilt W = −ΔV. Damit bleibt für einen Massenpunkt im konservativen Kraftfeld die mechanische Energie erhalten: ΔT + ΔV = 0 beziehungsweise E = T + V = konstant. Bei elastischen Körpern kommt die Formänderungsenergie Π hinzu: T + V + Π = konstant. Wirkt zusätzlich eine äußere Kraft, die nicht durch das Potential ausgeglichen wird, lautet die Energiebilanz W = ΔT + ΔΠ + ΔV.

Die Deutung hängt von den gewählten Systemgrenzen ab. Für ein System mit konservativen inneren Kräften verändert die Arbeit äußerer Kräfte die gesamte Energie: W_ext = ΔT + ΔV = ΔE. Arbeit ist dann Energiezufuhr mittels äußerer Kräfte. Beim Fall eines Körpers kann die Schwerkraft als äußere Kraft betrachtet werden; dann leistet sie bei einem Absinken um h die Arbeit W = mgh. Gehören Körper, Schwerkraft und potenzielle Energie dagegen gemeinsam zum System, ist das Fallen ein innerer Prozess: Potenzielle Energie wird in kinetische Energie umgewandelt, ohne dass über die Systemgrenze Arbeit übertragen wird.

Eine konstante Leistung P verrichtet in der Zeit t die Arbeit |W| = P·t.

Wärme, chemische Energie und Systemgrenzen

In der Thermodynamik ist Arbeit neben Wärme Q eine Art des Energietransfers. Für ein geschlossenes thermodynamisches System gilt ΔE = W + Q. Arbeit und Wärme sind Prozessgrößen: Sie beschreiben Energieübertragungen während eines Vorgangs, nicht Energie, die ein System einfach besitzt. Negative Werte von W bedeuten nach dieser Vorzeichenregel, dass das System Arbeit verrichtet und Energie abgibt.

Ob ein Energietransfer Arbeit oder Wärme heißt, kann von der Systemgrenze abhängen. Beim Tauchsieder wird bei einer Systemgrenze an seiner ins Wasser getauchten Oberfläche Wärme an das Wasser übertragen. Liegt die Systemgrenze dagegen in der Steckdose, wird elektrische Arbeit in den Tauchsieder übertragen. In beiden Fällen erhöht sich überwiegend die innere Energie und damit die Temperatur; die Volumenarbeit durch Wärmeausdehnung ist vernachlässigbar. Ohne Festlegung der Systemgrenze ist die Frage daher nicht eindeutig beantwortbar.

Energie kann außerdem durch Stoffübertragung oder chemische Reaktionen verändert werden. Für Reaktionen gilt in heutiger Notation ΔU = W_mech + ΔE_chem + Q, mit ΔE_chem = Σᵢ μᵢΔNᵢ. μᵢ ist das chemische Potential einer Stoffart, ΔNᵢ die Änderung ihrer Menge. Dieser Beitrag heißt Reaktionsenergie und entspricht dem Unterschied der Bindungsenergien der Moleküle vor und nach der Reaktion. Er ist nicht als Wärme im physikalischen Sinn zu bezeichnen, weil Wärme von außen in das System eingebracht wird. Reaktionsenergie und die bei konstantem Druck durch Volumenänderung geleistete mechanische Arbeit ergeben die Reaktionsenthalpie.

Wichtige Formen der Arbeit

Hubarbeit zum Anheben der Masse m im homogenen Schwerefeld mit Fallbeschleunigung g über die Höhe h lautet W = mgh. Bei einer Drehbewegung gilt W = MΔφ, wobei M das Drehmoment und Δφ der Winkel im Bogenmaß ist.

Für das Dehnen einer zunächst ungespannten Feder mit Federkonstante D gilt F(x) = Dx. Weil die Kraft mit der Dehnung wächst, ergibt sich die Spannarbeit aus einem Integral: W = ∫₀ˢ Dx dx = ½Ds². Die Beschleunigungsarbeit eines Körpers der Masse m von v₀ auf v beträgt W = ΔE_kin = ½m(v² − v₀²).

Bei der Verdichtung eines Gases von V₁ auf V₂ ist die Volumen- oder Kompressionsarbeit W = −∫ᵥ₁ᵛ₂ p dV. Bei konstantem Druck folgt W = pV. Elektrische Arbeit zum Bewegen der Ladungsmenge Q zwischen Punkten mit Spannung U ist W = −Q·U. Für einen magnetischen Dipol m⃗ bei Erhöhung des Magnetfelds B⃗ gilt W = −m⃗·ΔB⃗.

Reibungsarbeit ist W = F_Reib·s. Die mechanisch zugeführte Energie verteilt sich durch Abrieb und Dissipation meist rasch und erscheint vor allem als Erhöhung der inneren Energie des Materials. Oberflächenarbeit zum Vergrößern einer Oberfläche um ΔA bei Oberflächenspannung σ ist W_A = σΔA. Zwangskräfte leisten, sofern sie nicht ausdrücklich von der Zeit abhängen, keine Arbeit, weil sie orthogonal zur Bahnkurve wirken.

Typische Beispiele: Eine U-Bahn, die über 100 m mit 60 kN beschleunigt wird, erhält W = 6000 kJ; ihre kinetische Energie steigt um diesen Betrag. Hebt ein Kran 500 kg um 10 m, beträgt die Arbeit mit G ≈ 5000 N etwa W = 50 kJ. Fällt die Palette anschließend 10 m, verrichtet die Gewichtskraft ebenfalls W = 50 kJ Beschleunigungsarbeit.

Mikroskopische Deutung

Für ein System vieler nicht wechselwirkender Teilchen mit Besetzungszahlen nᵢ auf Energieniveaus Eᵢ lautet die Gesamtenergie E_ges = Σᵢ₌₁ᴺ nᵢEᵢ. Ihre infinitesimale Änderung ist dE_ges = Σᵢ Eᵢ dnᵢ + Σᵢ nᵢ dEᵢ.

Im thermodynamischen Gleichgewicht ist E_ges = U. Die beiden Summen entsprechen im ersten Hauptsatz dU = Q + W der Wärme Q und der am System geleisteten Arbeit W. Wärme verändert die Besetzungszahlen der Energieniveaus. Arbeit ohne Wärme lässt die Besetzungszahlen unverändert, verschiebt aber die Lage der Energieniveaus; dies ist das mikroskopische Kriterium eines adiabatischen Prozesses.