Monotone reelle Funktion

Grundbegriff und Definition

Eine monotone reelle Funktion ist eine Funktion f: D → ℝ mit D ⊆ ℝ, deren Funktionswerte bei wachsendem Argument stets in derselben Richtung verlaufen. Monotonie ist wichtig, weil sie das Änderungsverhalten einer Funktion eindeutig beschreibt und unter anderem Aussagen über Umkehrbarkeit, Grenzwerte, Stetigkeit und Integrierbarkeit ermöglicht.

• f heißt monoton steigend, wenn für alle x,y ∈ D mit x ≤ y gilt: f(x) ≤ f(y). • f heißt streng monoton steigend, wenn aus x < y stets f(x) < f(y) folgt. • f heißt monoton fallend, wenn aus x ≤ y stets f(x) ≥ f(y) folgt. • f heißt streng monoton fallend, wenn aus x < y stets f(x) > f(y) folgt. • Monoton bedeutet monoton steigend oder monoton fallend; streng monoton bedeutet streng monoton steigend oder streng monoton fallend.

Bei nicht strenger Monotonie dürfen also gleiche Funktionswerte auftreten, bei strenger Monotonie nicht. Für die nicht strengen Begriffe kann man gleichwertig nur x < y voraussetzen, weil bei x = y ohnehin f(x) = f(y) gilt.

Statt „steigend“ wird auch „wachsend“ verwendet; „strikt“ oder „echt“ sind Synonyme für „streng“. Monoton wachsend heißt auch isoton, monoton fallend auch antiton. Je nach Konvention können „wachsend“ und „fallend“ bereits die strenge Form bezeichnen; eindeutiger sind deshalb die Zusätze „streng“, „nicht-fallend“ und „nicht-wachsend“.

Typische Beispiele

Die Funktion f(x)=x² besitzt nicht auf ganz ℝ dasselbe Monotonieverhalten. Auf (−∞,0] ist sie streng monoton fallend: Für x<y≤0 gilt x−y<0 und x+y<0, also x²−y²=(x+y)(x−y)>0. Damit ist f(x)>f(y). Auf [0,∞) ist sie dagegen streng monoton steigend. Folglich ist sie beispielsweise auf [−1,1] nicht monoton.

Der Logarithmus ln(x) ist auf (0,∞) streng monoton wachsend. Für 0<x<y gilt 0<x/y<1 und daher ln(x)−ln(y)=ln(x/y)<0, also ln(x)<ln(y).

Die stückweise definierte Funktion f(x)=x² für x<0 und f(x)=0 für x≥0 ist auf [−1,1] monoton fallend, aber nicht streng monoton fallend. Auf [0,1] bleibt ihr Wert konstant null.

Auch f(x)=x³ ist streng monoton wachsend, obwohl ihre Ableitung an x=0 gleich null ist. Dieses Beispiel zeigt, dass eine überall positive Ableitung zwar genügt, aber nicht notwendig ist.

Wichtige Eigenschaften und Umkehrfunktion

Streng monotone Funktionen sind injektiv: Sie nehmen jeden Wert höchstens einmal an. Ist f: I → ℝ auf einem Intervall I streng monoton und I′=f(I), dann ist f: I → I′ bijektiv und besitzt deshalb eine Umkehrfunktion. Beispielsweise ist der Sinus auf [−π/2,π/2] streng monoton wachsend und bildet dieses Intervall bijektiv auf [−1,1] ab; seine Umkehrfunktion ist arcsin: [−1,1] → [−π/2,π/2].

Ist f auf einem Intervall I zusätzlich stetig und streng monoton steigend beziehungsweise fallend, dann ist I′=f(I) ebenfalls ein Intervall. Die Umkehrfunktion f⁻¹: I′ → I ist stetig und besitzt dieselbe Monotonierichtung wie f. Für eine wachsende Funktion gilt f⁻¹(a)<b ⇔ a<f(b), für eine fallende Funktion dagegen f⁻¹(a)<b ⇔ a>f(b).

Jede monotone reelle Funktion besitzt an jedem Häufungspunkt ihres Definitionsbereichs einen linksseitigen und einen rechtsseitigen Grenzwert. Als Unstetigkeitsstellen sind nur Sprungstellen möglich; ihre Menge ist abzählbar, muss aber nicht endlich sein. Monotone Funktionen sind fast überall differenzierbar, das heißt, ihre nicht differenzierbaren Stellen bilden eine lebesguesche Nullmenge. Eine auf [a,b] definierte monotone Funktion ist dort Riemann-integrierbar.

Konvergiert eine streng monotone Funktion für x→+∞ oder x→−∞ gegen L, dann nimmt sie den Wert L in ihrem Definitionsbereich nicht an. Andernfalls würde die strenge Monotonie spätere beziehungsweise frühere Werte in einem festen positiven Abstand von L erzwingen und damit der Konvergenz widersprechen. Für jede monoton wachsende Funktion gilt außerdem (x−y)(f(x)−f(y))≥0 für alle x,y ∈ D.

Ableitung als Monotoniekriterium

Für eine differenzierbare Funktion f: (a,b) → ℝ kann das Vorzeichen der Ableitung zur Untersuchung der Monotonie verwendet werden:

• Gilt f′(x)>0 für alle x∈(a,b), dann ist f dort streng monoton wachsend. • Gilt f′(x)<0 für alle x∈(a,b), dann ist f dort streng monoton fallend.

Diese beiden Bedingungen sind hinreichend, aber nicht notwendig. So ist f(x)=x³ streng monoton wachsend, obwohl f′(x)=3x² bei x=0 den Wert null besitzt. Genauer gilt: f ist genau dann streng monoton wachsend beziehungsweise fallend, wenn f′(x)≥0 beziehungsweise f′(x)≤0 auf dem gesamten Intervall gilt und die Ableitung auf keinem echten Teilintervall, also keinem Intervall mit mehr als einem Element, konstant null ist.

Für nicht strenge Monotonie gelten Äquivalenzen:

• f ist genau dann monoton wachsend, wenn f′(x)≥0 für alle x∈(a,b) gilt. • f ist genau dann monoton fallend, wenn f′(x)≤0 für alle x∈(a,b) gilt.

Ist f zusätzlich an den einbezogenen Randpunkten stetig, gelten die Aussagen entsprechend auch auf [a,b), (a,b] oder [a,b]. Bei der Exponentialfunktion f(x)=eˣ ist f′(x)=eˣ>0 für alle x∈ℝ; sie ist daher streng monoton wachsend.

Verallgemeinerungen in mehreren Dimensionen

Für Funktionen auf ℝⁿ kann eine verallgemeinerte Ordnung verwendet werden. Dazu wählt man einen echten Kegel K, die dadurch festgelegten Beziehungen ≼K und ≺K sowie eine konvexe Menge D⊆ℝⁿ. Eine Funktion f: D → ℝ heißt K-monoton wachsend, wenn aus x≼K y stets f(x)≤f(y) folgt; für K-monoton fallende Funktionen gilt entsprechend f(x)≥f(y). Bei strikter K-Monotonie wird aus x≺K y die strenge Ungleichung f(x)<f(y) beziehungsweise f(x)>f(y) verlangt. Im Raum Sⁿ der reellen symmetrischen Matrizen führen der semidefinite Kegel und die Loewner-Halbordnung zu matrix-monotonen Funktionen.

Für h: ℝⁿ → ℝⁿ kann Monotonie komponentenweise definiert werden: Aus xᵢ≤yᵢ für i=1,…,n folgt bei einer monoton wachsenden Funktion hᵢ(x)≤hᵢ(y). Dies verwendet die komponentenweise Halbordnung.

Eine andere Verallgemeinerung beruht auf dem Skalarprodukt. Für f: D → ℝⁿ heißt f

• monoton, wenn (x−y)ᵀ(f(x)−f(y))≥0 für alle x,y∈D gilt; • strikt monoton, wenn dieser Ausdruck für x≠y positiv ist; • gleichmäßig monoton, wenn ein μ>0 existiert, sodass (x−y)ᵀ(f(x)−f(y))≥μ‖x−y‖² für alle x≠y gilt.

Eine weitere Verallgemeinerung führt zum Begriff des monotonen Operators.

Rechtecksmonotonie

Für Funktionen F: ℝⁿ → ℝ wird mithilfe des Differenzoperators Δₐᵇ ein anderes Monotoniekonzept definiert. F heißt rechtecksmonoton, wenn für alle a,b∈ℝⁿ gilt: a≤b ⇒ ΔₐᵇF≥0. Eine solche Funktion wird auch n-steigend genannt.

Rechtecksmonotonie wird bei der Definition multivariater Verteilungsfunktionen und einer Copula verwendet. Sie ist nicht mit gewöhnlicher monotoner Steigung gleichzusetzen: Eine rechtecksmonotone Funktion muss nicht monoton steigend sein, und eine monoton steigende Funktion muss nicht rechtecksmonoton sein.