Waagerechter Wurf

Grundidee und Voraussetzungen

Beim waagerechten oder horizontalen Wurf wird ein Körper parallel zum Horizont mit der Anfangsgeschwindigkeit v₀ geworfen oder geschossen. Danach bewegt er sich nur unter dem Einfluss seiner Gewichtskraft. Unter idealisierten Bedingungen, insbesondere ohne Luftwiderstand, ist seine Bahn eine Wurfparabel, deren Scheitel im Abwurfort liegt.

Nach dem Superpositionsprinzip oder Unabhängigkeitsprinzip lässt sich die Bewegung in zwei voneinander unabhängige Teilbewegungen zerlegen: eine gleichförmige Bewegung in waagerechter x-Richtung und einen freien Fall in senkrechter y-Richtung. Typische Beispiele sind eine vom Tisch gestoßene Kugel, ein Wasserstrahl aus einem waagerecht gehaltenen Schlauch und ein aus einem horizontal fliegenden Flugzeug abgeworfener Körper. Entsprechend kann sich auch ein geladenes Teilchen in einem homogenen elektrischen Feld bewegen, etwa ein Elektron im Plattenkondensator einer Kathodenstrahlröhre.

Waagerechte und senkrechte Bewegung

In x-Richtung verlässt der Körper den Abwurfort mit der konstanten Geschwindigkeit v₀. Es gelten die Gleichungen der gleichförmigen Bewegung:

sₓ = x = v₀t, vₓ = v₀, aₓ = 0.

Dabei sind sₓ beziehungsweise x die waagerechte Ortskoordinate, vₓ die waagerechte Geschwindigkeit und aₓ die waagerechte Beschleunigung.

Gleichzeitig fällt der Körper aus der Anfangs- oder Starthöhe h₀ nach unten. Diese Teilbewegung ist ein freier Fall mit der konstanten Erdbeschleunigung g. Bei einer nach oben positiven y-Richtung gilt:

sᵧ = y = −gt²/2 + h₀, vᵧ = −gt, aᵧ = −g.

Die negative senkrechte Geschwindigkeit und Beschleunigung zeigen, dass die Bewegung nach unten gerichtet ist. Die waagerechte Bewegung wird dadurch nicht verändert.

Wurfparabel

Um die Bahnkurve oder Trajektorie zu bestimmen, wird die Zeit t aus der Gleichung sₓ = v₀t berechnet und in die Gleichung der senkrechten Bewegung eingesetzt. Daraus folgt:

sᵧ = −(g/2)(sₓ/v₀)² + h₀ = −gsₓ²/(2v₀²) + h₀.

Mit x und y geschrieben lautet die Gleichung:

y = −(g/2)(x/v₀)² + h₀ = −gx²/(2v₀²) + h₀.

Allgemein hat sie die Form sᵧ = const · sₓ² + h₀. Damit ist die Ortskurve eine nach unten geöffnete Parabel. Die Anfangshöhe h₀ gibt den y-Wert am Abwurfort x = 0 an.

Flugdauer, Wurfweite und Wurfhöhe

Die Wurfdauer erhält man, indem man für den Aufprall auf dem Boden sᵧ = 0 setzt und nach t auflöst:

t_w = t_f = t_h = t_max = T = √(2h₀/g).

Die Flugdauer hängt damit von der Anfangshöhe h₀ und der Erdbeschleunigung g ab. Setzt man diese Zeit in die Gleichung der waagerechten Bewegung ein, ergibt sich die Wurfweite:

s_w = s_xw = x_w = s_xmax = x_max = w = W = v₀√(2h₀/g).

Die Wurfweite wächst somit in der Formel proportional zur horizontalen Anfangsgeschwindigkeit v₀. Umgekehrt lässt sich aus Wurfweite und Anfangsgeschwindigkeit die Wurfhöhe beziehungsweise Anfangshöhe bestimmen:

h₀ = h_max = s_h = s_yh = s_ymax = y_max = H = gs_w²/(2v₀²).

Geschwindigkeit, Aufprall und realer Fall

Der Winkel β der Bahnkurve zur Horizontalen wird aus den beiden Geschwindigkeitskomponenten bestimmt:

tan β = vᵧ/vₓ.

Da vₓ = v₀ konstant bleibt und vᵧ = −gt mit der Zeit betragsmäßig zunimmt, verändert sich die Bewegungsrichtung während des Flugs. Der Betrag der Bahngeschwindigkeit folgt aus dem Satz des Pythagoras:

v(t) = √(vₓ² + vᵧ²) = √(v₀² + (gt)²).

Für die Aufprall- oder Endgeschwindigkeit am Ende der Wurfzeit gilt:

v_max = v_a = v_e = √(v₀² + (gt_w)²).

Diese Gleichungen gelten für den idealisierten Fall ohne Reibung. Muss der Luftwiderstand berücksichtigt werden, beeinflusst er die Bahn. Eine näherungsweise Berechnung ist auf Schulniveau beispielsweise mit der Methode der kleinen Schritte möglich.