Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Definition und Bedeutung

Eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung, auch gleichförmig beschleunigte Bewegung genannt, ist eine Bewegung, bei der die Beschleunigung sowohl ihrem Betrag als auch ihrer Richtung nach konstant bleibt. Die notwendige Bedingung lautet daher in Skalarform a = const. und in Vektorform a⃗ = const.

Sind Beschleunigung und Anfangsgeschwindigkeit kollinear, liegen sie also auf derselben Geraden, verläuft die Bewegung geradlinig und damit eindimensional. Sind sie nicht kollinear, entsteht als zweidimensionale Bahnkurve eine Parabel. Man kann jedoch stets ein Inertialsystem wählen, in dem die Anfangsgeschwindigkeit null ist; in diesem Bezugssystem ist die Bewegung geradlinig. Wird die Beschleunigung null, geht der Sonderfall in eine gleichförmige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit über.

Typische Beispiele sind der freie Fall und der schräge Wurf, sofern der Luftwiderstand nicht berücksichtigt wird. Beim freien Fall wird ein Körper durch die Erdbeschleunigung gleichmäßig nach unten beschleunigt.

Größen und Darstellungsformen

Bei einer geradlinigen Bewegung wird die Koordinatenachse zweckmäßig entlang der Bewegungsrichtung ausgerichtet. Dann genügt die Skalarform: Eine festgelegte Richtung, meist die Bewegungsrichtung, erhält ein positives Vorzeichen, die Gegenrichtung ein negatives. Auf diese Weise drücken die Vorzeichen von Geschwindigkeit und Beschleunigung ihre Orientierung aus. Bei einer nicht geradlinigen Bewegung muss die allgemeinere Vektorform verwendet werden.

Die verwendeten Größen sind:

• a beziehungsweise a⃗: konstante Beschleunigung in m/s². • t: Zeit in s. • s(t) beziehungsweise s⃗(t): Position zum Zeitpunkt t in m. • s₀ beziehungsweise s⃗₀: Anfangsposition zum Zeitpunkt t = 0 in m; s⃗₀ = s⃗(0). • v(t) beziehungsweise v⃗(t): Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t in m/s. • v₀ beziehungsweise v⃗₀: Anfangsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 0 in m/s; v⃗₀ = v⃗(0).

Die Geschwindigkeit ist die erste zeitliche Ableitung der Position: v⃗(t) = ds⃗(t)/dt = ṡ⃗(t). Die Beschleunigung ist die erste zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit und zugleich die zweite zeitliche Ableitung der Position: a⃗ = dv⃗(t)/dt = v̇⃗(t) = d²s⃗(t)/dt² = s̈⃗(t).

Bewegungsgesetze

Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz beschreibt, wie sich die Geschwindigkeit bei konstanter Beschleunigung mit der Zeit verändert. In Skalarform gilt:

v(t) = ṡ(t) = at + v₀.

In Vektorform lautet es:

v⃗(t) = ṡ⃗(t) = a⃗t + v⃗₀.

Die Geschwindigkeit verändert sich somit linear mit der Zeit. Die konstante Beschleunigung a beziehungsweise a⃗ bestimmt die Steigung des Geschwindigkeits-Zeit-Graphen; v₀ beziehungsweise v⃗₀ ist dessen Anfangswert.

Das Weg-Zeit-Gesetz gibt die Position an:

s(t) = (a/2)t² + v₀t + s₀

beziehungsweise in Vektorform:

s⃗(t) = (a⃗/2)t² + v⃗₀t + s⃗₀.

Die Position hängt quadratisch von der Zeit ab. Der Term (a/2)t² beschreibt den Anteil der konstanten Beschleunigung, v₀t den Anteil der Anfangsgeschwindigkeit und s₀ die Anfangsposition. Sind Anfangsgeschwindigkeit und Anfangsposition null, vereinfachen sich die Gesetze zu v(t) = at und s(t) = (a/2)t².

Herleitung durch Integration

Ausgangspunkt ist die allgemeine Beziehung, dass die Beschleunigung der Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit entspricht:

v̇⃗ = a⃗.

Diese Differentialgleichung wird nach der Zeit integriert. Da die Beschleunigung konstant ist, ergibt sich das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz

v⃗(t) = a⃗t + v⃗₀.

Die Integrationskonstante v⃗₀ ist die Anfangsgeschwindigkeit. Weil die Geschwindigkeit wiederum die erste Ableitung der Position nach der Zeit ist, wird ein zweites Mal nach der Zeit integriert. Daraus folgt das Weg-Zeit-Gesetz

s⃗(t) = (a⃗/2)t² + v⃗₀t + s⃗₀.

Die zweite Integrationskonstante s⃗₀ ist die Anfangsposition. Damit entstehen beide Bewegungsgesetze unmittelbar aus der konstanten Beschleunigung und den Anfangsbedingungen bei t = 0.