Volumenformel des allgemeinen Tetraeders

Grundidee und allgemeine Volumenformel

Die Volumenformel des allgemeinen Tetraeders bestimmt das Volumen einer dreiseitigen Pyramide allein aus den Längen ihrer sechs Kanten. Sie löst damit für Tetraeder eine ähnliche Aufgabe wie die Formel von Heron für Dreiecke.

Sei \mathcal T\subset\mathbb R^3 ein Tetraeder. Die drei Kanten seiner dreieckigen Grundfläche werden mit a,b,c bezeichnet. Die jeweils gegenüberliegenden Kanten heißen a',b',c'. Dabei bezeichnet |x| die Länge einer Kante x.

Für das Volumen V=V(\mathcal T) gilt:

V=\frac1{12}\sqrt{|a|^2|a'|^2f_a+|b|^2|b'|^2f_b+|c|^2|c'|^2f_c-\delta}.

Die Hilfsgrößen sind

f_a=|b|^2+|b'|^2+|c|^2+|c'|^2-|a|^2-|a'|^2, f_b=|a|^2+|a'|^2+|c|^2+|c'|^2-|b|^2-|b'|^2, f_c=|a|^2+|a'|^2+|b|^2+|b'|^2-|c|^2-|c'|^2

und

\delta=|a|^2|b|^2|c|^2+|a|^2|b'|^2|c'|^2+|a'|^2|b|^2|c'|^2+|a'|^2|b'|^2|c|^2.

Damit lässt sich das Volumen ohne Angaben zu Höhen, Winkeln oder Koordinaten berechnen.

Spezialfälle

Bei besonderen Tetraederformen vereinfacht sich die allgemeine Formel erheblich.

Für ein gleichschenkliges Tetraeder haben jeweils zwei gegenüberliegende Kanten dieselbe Länge, also |x|=|x'|. Dann gilt:

V=\frac{\sqrt2}{12}\sqrt{(|b|^2+|c|^2-|a|^2)(|a|^2+|c|^2-|b|^2)(|a|^2+|b|^2-|c|^2)}.

Ein reguläres Tetraeder ist der Spezialfall, in dem alle Kanten gleich lang sind. Seine bekannte Volumenformel lautet unmittelbar:

V=\frac{\sqrt2}{12}|a|^3.

Bei einem rechtwinkligen Tetraeder erfüllen die drei Grundkanten entsprechende Beziehungen des Satzes von Pythagoras, zum Beispiel

|a|^2=|b'|^2+|c'|^2.

Entsprechende Gleichungen gelten auch für b und c. Mithilfe des Spatprodukts der drei gegenüberliegenden Kanten ergibt sich:

V=\frac16|(a',b',c')|=\frac16|a'||b'||c'|.

Das Spatprodukt beschreibt hier das orientierte Volumen des von den drei Kantenvektoren aufgespannten Körpers; durch den Betrag wird das Volumen positiv. Das Tetraedervolumen ist ein Sechstel des Produkts der drei zueinander rechtwinkligen Kantenlängen.

Darstellung durch Determinanten

Das Volumen kann auch über Determinanten symmetrischer Matrizen dargestellt werden. Eine Determinante ist eine aus den Einträgen einer quadratischen Matrix berechnete Zahl. Für das Tetraeder gilt zunächst:

288V^2=\det\begin{pmatrix}0&|c|^2&|b|^2&|a'|^2&1\\|c|^2&0&|a|^2&|b'|^2&1\\|b|^2&|a|^2&0&|c'|^2&1\\|a'|^2&|b'|^2&|c'|^2&0&1\\1&1&1&1&0\end{pmatrix}.

Diese erste Determinante heißt nach Arthur Cayley und Karl Menger Cayley–Menger-Determinante. Dieselbe Größe kann durch eine kleinere, ebenfalls symmetrische Matrix ausgedrückt werden:

288V^2=\det\begin{pmatrix}2|c|^2&|c|^2+|b|^2-|a|^2&|c|^2+|a'|^2-|b'|^2\\|c|^2+|b|^2-|a|^2&2|b|^2&|b|^2+|a'|^2-|c'|^2\\|c|^2+|a'|^2-|b'|^2&|b|^2+|a'|^2-|c'|^2&2|a'|^2\end{pmatrix}.

Beide Identitäten enthalten ausschließlich die Quadrate der sechs Kantenlängen. Nach der Berechnung der Determinante erhält man das Volumen aus V^2.

Vierpunktesatz als Anwendung

Die Cayley–Menger-Determinante liefert auch ein Kriterium dafür, ob vier Raumpunkte in derselben Ebene liegen. Dieses Ergebnis heißt Vierpunktesatz von Euler.

Seien P_1,P_2,P_3,P_4 vier Raumpunkte, die nicht notwendig voneinander verschieden sind. Mit a_{ij}=a_{ji} wird der euklidische Abstand zwischen P_i und P_j bezeichnet. Die vier Punkte liegen genau dann in einer Ebene, wenn

\det\begin{pmatrix}0&a_{12}^2&a_{13}^2&a_{14}^2&1\\a_{12}^2&0&a_{23}^2&a_{24}^2&1\\a_{13}^2&a_{23}^2&0&a_{34}^2&1\\a_{14}^2&a_{24}^2&a_{34}^2&0&1\\1&1&1&1&0\end{pmatrix}=0.

Der Zusammenhang mit der Volumenformel ist direkt: Die vier Punkte bilden ein Tetraeder \mathcal T(P_1,P_2,P_3,P_4). Liegen sie in einer Ebene, ist dieses Tetraeder ausgeartet und besitzt keine räumliche Höhe, also V(\mathcal T)=0. Umgekehrt zeigt eine verschwindende Cayley–Menger-Determinante, dass das Tetraedervolumen null ist und die vier Punkte daher in einer Ebene liegen.