Viererimpuls

Grundidee und Definition

Der Viererimpuls p, auch Energie-Impuls-Vektor genannt, fasst in der relativistischen Physik die Energie und den räumlichen Impuls eines Teilchens oder Systems zu einem Vierervektor zusammen. Er besitzt vier Komponenten: Die nullte Komponente ist die durch die Lichtgeschwindigkeit c geteilte Energie E, die übrigen drei Komponenten bilden den Impulsvektor p⃗:

p = (E/c, p⃗).

Die Lichtgeschwindigkeit c dient dabei als Skalierungsfaktor. In Maßsystemen mit c = 1 entfällt dieser Faktor in den Gleichungen. Der Viererimpuls ist eine Erhaltungsgröße: Ohne äußere Einwirkungen bleibt er für ein Teilchen oder abgeschlossenes System konstant.

Geschwindigkeit, Energie und Impuls

Für ein Teilchen oder System mit der Masse m und der Geschwindigkeit v⃗ gilt:

(E/c, p⃗) = (γmc, γmv⃗),

wobei γ = 1/√(1 − (v/c)²) der Lorentz-Faktor ist. Damit lauten die einzelnen Beziehungen E = γmc² und p⃗ = γmv⃗. Der Lorentz-Faktor beschreibt die relativistische Abhängigkeit von der Geschwindigkeit und wächst, wenn sich v der Lichtgeschwindigkeit c nähert.

Der Viererimpuls hängt eng mit der Vierergeschwindigkeit u zusammen. Trennt man die Masse ab, erhält man

p = mu.

Die Vierergeschwindigkeit ist die Ableitung der Weltlinie x̃(τ) = (ct(τ), x(τ), y(τ), z(τ)) nach der Eigenzeit τ:

u = dx̃/dτ = (c/√(1 − v⃗²/c²), v⃗/√(1 − v⃗²/c²)).

Die Eigenzeit ist die Zeit, die eine mit dem Teilchen bewegte Uhr misst. Anders als die Koordinatenzeit t ist ihr Differential dτ ein Skalar. Die Vierergeschwindigkeit ist der normierte Tangentialvektor an der Weltlinie und erfüllt

(u⁰)² − u⃗² = c².

Energie-Impuls-Relation und Massenschale

Das Minkowski-Skalarprodukt des Viererimpulses mit sich selbst ist unabhängig von der Geschwindigkeit. Im Minkowski-Raum erhält das Produkt der nullten Komponenten das entgegengesetzte Vorzeichen zu den Produkten der drei räumlichen Komponenten. Deshalb gilt:

p² = E²/c² − p⃗² = m²c².

Diese Energie-Impuls-Relation ist unter Lorentz-Transformationen invariant, besitzt also für alle gleichförmig gegeneinander bewegten Beobachter denselben Wert. Aufgelöst nach der positiven Energie ergibt sie

E/c = +√(p⃗² + m²c²).

Geometrisch liegen die möglichen Viererimpulse eines Teilchens der Masse m im vierdimensionalen Energie-Impuls-Raum auf einer dreidimensionalen Hyperfläche. Die Gleichung E²/c² − p⃗² = m²c² beschreibt ein zweischaliges Hyperboloid, dessen Asymptoten den Lichtkegel des Impulsraums bilden. Weil ein physikalischer Viererimpuls zukunftsgerichtet ist und im Vorwärtslichtkegel liegt, wird nur die durch die positive Wurzel beschriebene Schale verwendet. Sie heißt Massenschale.

Für virtuelle Teilchen gilt dagegen E²/c² − p⃗² ≠ m²c², wobei m die Masse des entsprechenden reellen Teilchens bezeichnet. Solche Teilchen liegen nicht auf der Massenschale; sie heißen „off-shell“ statt „on-shell“.

Zwischen Raumzeit und Viererimpuls bestehen direkte Analogien. Dem Raumzeitintervall dx entspricht der Viererimpuls p mit p = dx·m/dτ. Das Zeitintervall dt·c entspricht E/c, das Ortsintervall dx⃗ dem Impuls p⃗ und das invariante Eigenzeitintervall dτ·c der Größe mc. Daraus folgen E = dt·(m/dτ)·c² und p⃗ = dx⃗·m/dτ. Die Masse beziehungsweise Ruheenergie spielt damit eine zur Eigenzeit analoge Rolle.

Erhaltung und relativistische Herleitung

Der gesamte Viererimpuls bleibt bei physikalischen Vorgängen erhalten. Da die Gleichheit für jede seiner vier Komponenten gilt, umfasst dieser Satz gleichzeitig Energieerhaltung und Impulserhaltung. Beim Zerfall eines negativ geladenen Pions in ein Myon und ein Antineutrino gilt beispielsweise

p_μ + p_ν̄ = p_π.

Die Masse ist dabei im Allgemeinen nicht additiv und muss nicht erhalten bleiben. Nur bei parallelen Vierervektoren addieren sich ihre Beträge entsprechend; auch bei gewöhnlichen Vektoren ist die Länge einer Summe im Allgemeinen nicht die Summe der einzelnen Längen.

Die Geschwindigkeitsabhängigkeit von Energie und Impuls lässt sich aus der Forderung herleiten, dass die Erhaltung für jeden Beobachter gelten muss. Für additive Erhaltungsgrößen muss die Transformation Summen und Zahlenfaktoren respektieren:

p′₁ + p′₂ = (p₁ + p₂)′ und (ap)′ = ap′.

Sie ist daher linear und kann als p′ = Lp geschrieben werden. Aufeinanderfolgende Beobachterwechsel müssen außerdem L(Λ₂)∘L(Λ₁) = L(Λ₂∘Λ₁) erfüllen. Im einfachsten nichttrivialen Fall ist L(Λ) = Λ. Die vier Erhaltungsgrößen transformieren dann wie die Raumzeitkoordinaten als Vierervektor:

p′ = Λp.

Bei einem ruhenden Teilchen müssen die drei räumlichen Komponenten wegen der Drehsymmetrie null sein. In Einheiten mit c = 1 lautet sein Viererimpuls daher p_Ruhe = (m, 0, 0, 0). Eine Lorentz-Transformation für eine Bewegung entlang der x-Achse mit Geschwindigkeit v ergibt

p = (m/√(1 − v²), mv/√(1 − v²), 0, 0).

Für kleine Geschwindigkeiten entwickelt sich dies zu (m + ½mv² + …, mv + …, 0, 0). Der Vergleich mit der Newtonschen Mechanik zeigt: Die erste Komponente entspricht der Energie, einschließlich des geschwindigkeitsunabhängigen Anteils, und die drei räumlichen Komponenten entsprechen dem Impuls. Der geschwindigkeitsunabhängige positive Parameter m ist die Masse.

Bewegung unter Kraft und Leistungszufuhr

Im mitbewegten Bezugssystem ist die räumliche Geschwindigkeit zunächst v⃗ = 0 und bleibt ohne Kraft gleich null. Wirken während einer Eigenzeitspanne δτ eine Kraft K⃗ und eine externe Leistung L, ändern sich Impuls und Energie. Die Bewegungsgleichung lautet

δp = δ(mu) = (L/c, K⃗)δτ.

Der Vektor (L/c, K⃗) heißt Kraft-Leistung-Vierervektor. Seine nullte Komponente beschreibt die zugeführte Leistung, seine drei räumlichen Komponenten die Kraft.

Die Leistungszufuhr erhöht unter anderem die Ruheenergie von mc² auf mc² + Lδτ. Aufgrund der Äquivalenz von Masse und Energie nimmt damit auch die Masse geringfügig zu. Zugleich erhöht der Kraftstoß den räumlichen Impuls, die Geschwindigkeit und die kinetische Energie. Diese Darstellung setzt für das betrachtete Beispiel voraus, dass die anfangs null betragende Geschwindigkeit nach der Einwirkung weiterhin klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit ist, sodass im mitbewegten System die Newtonsche Physik angewendet werden kann.