Lichtkegel

Grundidee des Lichtkegels

Ein Lichtkegel beschreibt in der Relativitätstheorie, welche Ereignisse der Raumzeit mit einem bestimmten Ereignis E kausal zusammenhängen können. Er enthält alle Ereignisse E', die sich höchstens mit Lichtgeschwindigkeit c auf E auswirken können oder von E höchstens mit Lichtgeschwindigkeit beeinflusst werden können.

Im flachen Minkowski-Raum der Speziellen Relativitätstheorie ist der Lichtkegel zu einem Ereignis E ein Doppelkegel im vierdimensionalen Raum-Zeit-Modell. Der Rückwärts-Lichtkegel enthält Ereignisse aus der Vergangenheit, also t'<t, die E verursacht oder beeinflusst haben könnten. Der Vorwärts-Lichtkegel enthält Ereignisse aus der Zukunft, also t'>t, die von E beeinflusst werden könnten. Der Beobachter befindet sich im Scheitelpunkt zwischen Vergangenheits- und Zukunfts-Lichtkegel.

Abstände und Kausalität in der SRT

Für ein Ereignis E mit Koordinaten (t,x,y,z) und ein Ereignis E' mit Koordinaten (t',x',y',z') betrachtet man den Differenzvektor (t'-t,x'-x,y'-y,z'-z). Das Quadrat des differentiellen Abstands in der flachen Raumzeit ist

ds² := c² dt² - dx² - dy² - dz².

Diese Größe ist für alle Beobachter identisch. Die verwendete Signatur ist (+,-,-,-); bei der Signatur (-,+,+,+) gelten entsprechende Definitionen mit umgekehrtem Vorzeichen. In der hier verwendeten Definition gehört zum Lichtkegel nicht nur sein Inneres, sondern auch sein Rand, also der Kegelmantel. In der Literatur kann der Sprachgebrauch in diesem Detail abweichen.

Ist der Differenzvektor lichtartig, gilt ds²=0 beziehungsweise v_x²+v_y²+v_z²=c². Dann liegt E' auf dem Mantel des Lichtkegels. Ereignisse auf dem Mantel des Rückwärts-Lichtkegels sind für einen Beobachter in E durch masselose Teilchen, meist Photonen, sichtbar.

Ist der Differenzvektor zeitartig, gilt ds²>0 beziehungsweise v_x²+v_y²+v_z²<c². Dann liegt E' im Inneren des Rückwärts- oder Vorwärts-Lichtkegels. Solche Ereignisse können durch massebehaftete Objekte kausal miteinander verbunden sein.

Ist der Differenzvektor raumartig, gilt ds²<0 beziehungsweise v_x²+v_y²+v_z²>c². Dann liegt E' außerhalb beider Lichtkegel im sogenannten „Anderswo“. Zwischen E und E' kann dann keine Ursache-Wirkung-Beziehung bestehen, weil dafür eine Wirkung mit Überlichtgeschwindigkeit nötig wäre. Bei lichtartigen und zeitartigen Abständen nehmen Beobachter die Reihenfolge der Ereignisse gleich wahr; bei raumartigen Abständen kann die wahrgenommene Reihenfolge je nach Beobachter unterschiedlich sein.

Bedeutung für relativistische Gleichungen

Lichtkegel bestimmen auch, welche Informationen in Lösungen relativistischer Differentialgleichungen eingehen. Für die inhomogene Klein-Gordon-Gleichung, die für Bosonen gilt, hängt die Lösung für ein Ereignis E nur von früheren Anfangsbedingungen sowie von der Inhomogenität auf dem Rückwärts-Lichtkegel von E und in seinem Inneren ab.

Bei der homogenen Klein-Gordon-Gleichung mit verschwindender Masse, also der Wellengleichung, hängt die Lösung nur von Anfangsbedingungen und Inhomogenität auf dem Rückwärts-Lichtkegel ab, nicht von der Inhomogenität in seinem Inneren. In diesem Fall wirken sich Anfangsbedingungen und Inhomogenität nur mit Lichtgeschwindigkeit aus. Für andere grundlegende relativistische Gleichungen, etwa die Dirac-Gleichung für Fermionen, gelten entsprechende Folgerungen.

Lichtkegel im ΛCDM-Modell

Im räumlich flachen Standardmodell der Kosmologie, dem ΛCDM-Modell, reicht die Lichtgeschwindigkeit allein nicht aus, um den vom Licht zurückgelegten Weg zu bestimmen, weil zusätzlich die Expansion des Universums berücksichtigt werden muss. Der Artikel betrachtet einen Beobachter, dessen heutiger Ort in der Milchstraße, etwa auf der Erde, liegt. Photonen stammen von ruhenden oder mitbewegten Objekten, meist Galaxien, die im Hubble-Flow treiben. Der Hubble-Flow bezeichnet den durch die Expansion verursachten, als isotrop und homogen angenommenen Raum. Grundlage sind die Friedmann-Gleichung und die Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker-Metrik.

Die Expansion wird durch den Skalenfaktor a(t) beschrieben. Mitbewegte Koordinaten bleiben für Objekte im Hubble-Flow trotz Expansion gleich; physikalische Koordinaten geben dagegen die anwachsende Eigendistanz an. Der Skalenfaktor wird heute auf a(t0)=1 gesetzt. Für den Parametersatz Planck18 gelten H0 = 67,4 km s−1 Mpc−1, ΩM = 0,315, ΩR=0,00009209605429 und daraus ΩΛ=0,6849079039. Die heutige Epoche ist t0=13,790687 Mrd. Jahre nach dem Urknall.

Empfängt der Beobachter zu tr Licht, das zu te<tr emittiert wurde, beträgt der mitbewegte Abstand

D_C(te,tr)=c ∫ von te bis tr dτ/a(τ)=c ∫ von a(te) bis a(tr) dα/(α² H(α)).

Dabei gilt H(a)=H0 E(a) und E(a)=(ΩR a^-4 + ΩM a^-3 + ΩΛ)^(1/2). Für Lichtkegel beschreibt d_LK(T,t) den physikalischen Abstand eines Objekts, dessen Licht zum Zeitpunkt T beim Beobachter ankommt. Jeder Lichtkegel besteht aus Rückwärts- und Vorwärts-Lichtkegel und kann als zeitabhängige Folge von Kugeloberflächen um den Beobachter verstanden werden.

Hubblesphäre, Galaxien und Ereignishorizont

Die Hubblesphäre ist die Kugeloberfläche um den Beobachter, auf der sich ruhend angenommene Objekte allein durch die Expansion genau mit Lichtgeschwindigkeit vom Beobachter entfernen. Ihr physikalischer Radius ist d_HS(t)=c/H(a(t)); der mitbewegte Abstand ist D_HS(t)=c/(a(t) H(a(t))).

Wichtig ist der Übergang von verlangsamter zu beschleunigter Expansion. Der Abbremsparameter lautet q(t)=-(a(t) a''(t))/(a'(t)²). Beim Parametersatz Planck18 liegt der Übergang bei t_u=7,6931755 Mrd. Jahren nach dem Urknall, bei a=0,61284999. Dort beträgt d_HS(t_u)=10,122295 Mrd. Lichtjahre und D_HS(t_u)=16,516757 Mrd. Lichtjahre. Solange q>0, wächst die Hubblesphäre schneller als der umgebende Raum; dadurch können Photonen, die sich zunächst vom Beobachter entfernen, später in die Hubblesphäre gelangen und den Beobachter erreichen.

Ein Beispiel ist die Galaxie SPT0418-47. Sie ist heute mit Rotverschiebung z(HEUTE)=4,2248 sichtbar. Eine Galaxie in Sichtlinie bei z(HEUTE)=0,263 wirkte als Gravitationslinse. Dadurch konnte SPT0418-47 in ihrem Zustand 1,4 Milliarden Jahre nach dem Urknall genauer untersucht werden. Die Weltlinien solcher Galaxien schneiden verschiedene Lichtkegel; der Beobachter sieht dann zu späteren Zeiten jeweils Ereignisse aus anderen Punkten ihrer Weltlinie.

Der kosmologische Ereignishorizont fragt danach, wie weit ein ruhendes Objekt zum Zeitpunkt t höchstens entfernt sein darf, damit von dort ausgesandte Photonen den Beobachter in endlicher Zukunft noch erreichen. Seine mitbewegte Entfernung ist D_EH(t)=d(a(t),∞,1), die physikalische d_EH(t)=d(a(t),∞,a(t)). Ein Photon, das vom Ereignishorizont zum Beobachter gerichtet ist, bleibt auf dem Ereignishorizont und erreicht den Beobachter auch bei T=∞ nicht.

Partikelhorizont

Der Partikelhorizont kann als Vorwärts-Teillichtkegel eines Lichtkegels interpretiert werden. Sein Bezugszeitpunkt t_min ist oft ein früher Zeitpunkt des Universums, zum Beispiel die Emission der kosmischen Mikrowellen-Hintergrundstrahlung CMB. Häufig wird t_min=CMB=371´127 Jahre=0,000´371´127 Mrd. Jahre nach dem Urknall gewählt. Wenn kein Bezugszeitpunkt genannt wird, meint „Partikelhorizont“ meist den Bezugszeitpunkt Urknall, also t_min=0 Mrd. Jahre.

Nach Variante A ist der physikalische Partikelhorizont zum Zeitpunkt t die größte Entfernung, aus der den Beobachter seit t_min Photonen oder mit Lichtgeschwindigkeit übermittelte Informationen erreicht haben können. Gemessen wird die Entfernung zum gemeinsamen Zeitpunkt t zwischen dem Beobachter und dem ruhenden Objekt, das die Photonen zum Zeitpunkt t_min in Richtung Beobachter ausgesandt hatte. Die Formel lautet d_PH(t_min,t)=d(a(t_min),a(t),a(t)).

Nach Variante B betrachtet man Photonen, die vor t_min auf dem negativen Lichtkegel -LK(t_min) emittiert wurden und den Beobachter bei t_min passiert haben, oder Photonen, die bei t_min am Ort des Beobachters erzeugt und in positive radiale Richtung ausgesandt wurden. Der Abstand dieser Photonen vom Beobachter zum späteren Zeitpunkt t ist dann der Partikelhorizont. Variante A bezieht sich auf beobachtbare Ereignisse; Variante B auf Ereignisse, die nur durch die kosmologische Theorie erschlossen werden können.

Für PH(CMB) und PH(Urknall) werden keine Galaxien im üblichen Sinn angenommen, sondern hypothetische ruhende Objekte. Beim Partikelhorizont PH(Urknall) schneiden die Weltlinien der ruhenden Objekte rOb(HEUTE,Urknall) und rOb(21,Urknall) den Partikelhorizont bei t=HEUTE beziehungsweise t=21 Mrd. Jahren nach dem Urknall in physikalischen Entfernungen von 46,132820 beziehungsweise 82,088286 Mrd. Lichtjahren.