Raumzeit

Grundidee der Raumzeit

Raumzeit oder Raum-Zeit-Kontinuum bezeichnet die gemeinsame Darstellung des dreidimensionalen Raums und der eindimensionalen Zeit in einer vierdimensionalen mathematischen Struktur. Sie wird in der Speziellen Relativitätstheorie und in der Allgemeinen Relativitätstheorie verwendet.

Im Alltag erscheinen Ort und Zeit als getrennte Größen. In der klassischen Physik und in großen Teilen der Technik werden sie ebenfalls meist unabhängig voneinander behandelt. Bei Geschwindigkeiten in der Größenordnung der Lichtgeschwindigkeit zeigt sich jedoch, dass räumliche und zeitliche Abstände zusammenhängen: Der zeitliche Abstand zweier Ereignisse, den ein bewegter Beobachter misst, hängt auch von ihrem räumlichen Abstand ab. Deshalb beschreibt die Relativitätstheorie Raum und Zeit in mathematischen Formen, in denen die Zeitkoordinate dieselbe Rolle spielt wie die drei Raumkoordinaten. Dieses vierdimensionale Kontinuum wird kurz Minkowski-Raum genannt.

Abstand, Kausalität und Lichtkegel

Kausalität bedeutet: Wenn ein Ereignis A ein Ereignis B hervorruft, darf kein Wechsel des Koordinatensystems diese Ursache-Wirkung-Beziehung umkehren. Eine Wirkung kann also nicht früher als ihre Ursache eintreten. In der Relativitätstheorie wird diese Forderung mathematisch über einen Abstandsbegriff zwischen Ereignissen formuliert.

Ein Ereignis ist ein Raumzeitpunkt mit drei Ortskoordinaten x, y, z und einer Zeitkoordinate t. Der Abstand zweier Ereignisse muss so definiert sein, dass er unter zulässigen Koordinatenwechseln invariant bleibt. Im Minkowski-Raum werden daher nicht nur die räumlichen Differenzen Δx, Δy, Δz, sondern auch cΔt berücksichtigt, wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist. Statt des euklidischen Abstandsquadrats (Δx)^2 + (Δy)^2 + (Δz)^2 gilt für den quadrierten verallgemeinerten Abstand:

(Δs)^2 = (cΔt)^2 - (Δx)^2 - (Δy)^2 - (Δz)^2.

Dieser Ausdruck heißt Raumzeit-Metrik oder Raumzeit-Intervall. Die verwendete Signatur ist hier (+,−,−,−). Andere gleichwertige Vorzeichenkonventionen wie (−,+,+,+) sind möglich.

Je nach Wert von ds^2 unterscheidet man drei Arten von Raumzeit-Abständen. Zeitartig bedeutet ds^2 > 0; solche Ereignisse liegen innerhalb des Lichtkegels und können kausal verbunden sein. Raumartig bedeutet ds^2 < 0; ein Lichtstrahl könnte dann nicht rechtzeitig von einem Ereignis zum anderen gelangen, daher können solche Ereignisse nicht in einer Ursache-Wirkung-Beziehung stehen. Lichtartig bedeutet ds^2 = 0; dies gilt für Licht, das sich in allen Bezugssystemen mit der Geschwindigkeit c bewegt. Diese Einteilung bleibt unter Lorentztransformationen erhalten.

Minkowski-Raum und Vierervektoren

In der Speziellen Relativitätstheorie werden die drei Raumkoordinaten (x,y,z) durch die Zeitkomponente ct zu einem Vierervektor erweitert: (ct,x,y,z). Der zugehörige Raum heißt Minkowski-Raum M^4 = R^(1,3). Ein Punkt darin ist ein Ereignis oder Weltpunkt.

Im klassischen euklidischen Raum bleibt das differentielle räumliche Abstandsquadrat ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 unter Galilei-Transformationen konstant. In der Speziellen Relativitätstheorie wird stattdessen ein Abstand verwendet, der unter Lorentz-Transformationen invariant bleibt:

ds^2 := η_{μν} dx^μ dx^ν = c^2 dt^2 − dx^2 − dy^2 − dz^2.

Dies ist die quadrierte Minkowski-Norm. Sie entsteht aus dem invarianten Skalarprodukt im Minkowski-Raum. Der pseudo-metrische Tensor lautet bei der hier verwendeten Konvention η_{μν} = diag(+1,−1,−1,−1). Mit Einsteinscher Summenkonvention schreibt man das Skalarprodukt als x · y = η_{μν} x^μ y^ν.

Das Linienelement ds hängt mit der Eigenzeit dτ zusammen, also der Zeit, die eine mitbewegte Uhr misst:

dτ = ds/c = dt · sqrt(1 − v^2/c^2).

Das Rechnen mit Raumzeitvektoren wird praktisch in der Kinematik schneller Teilchen verwendet.

Warum die Minkowski-Metrik diese Form hat

Die Form der Minkowski-Metrik lässt sich mathematisch unter anderem mit dem D’Alembert-Operator motivieren. Dieser verbindet die zweite partielle Ableitung nach der Zeit mit dem Laplace-Operator:

□ = (1/c^2) ∂^2/∂t^2 − ∇^2.

Mit geeigneten Vierervektoren kann man kurz schreiben: □ = ∂μ ∂^μ. Damit tritt die Zeit als vierte Dimension auf, und die Metrik η{μν} muss durch eine 4×4-Matrix beschrieben werden.

Da die vier Dimensionen linear unabhängig sind, lässt sich η_{μν} auf Diagonalform bringen. Weil es keine ausgezeichneten Raumzeit-Koordinaten geben soll, können die Diagonalelemente nur die Werte ±1 haben. Für die Raumkoordinaten wird in der dargestellten Konvention −1 gewählt.

Die Zeitkomponente darf nicht dasselbe Vorzeichen wie die Raumkomponenten haben. Würde sie dasselbe Vorzeichen haben, ergäbe sich für eine Welle ψ eine Gleichung, bei der der Ansatz einer ebenen Welle ψ(r,t)=A e^{i(k·r−ωt)} zu einer komplexen Frequenz führen würde. Dann wäre ψ exponentiell gedämpft, und dauerhafte ebene Wellen gäbe es nicht, was der Beobachtung widerspricht. Daher erhält die Zeitkomponente das entgegengesetzte Vorzeichen, also η_{μν} = diag(1,−1,−1,−1), und daraus folgt die korrekte homogene Wellengleichung:

(∇^2 − (1/c^2) ∂^2/∂t^2) ψ = 0.

Gekrümmte Raumzeit in der Allgemeinen Relativitätstheorie

In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird die Raumzeit mit pseudo-riemannscher Geometrie beschrieben. Die Koordinatenachsen sind dabei nichtlinear; das wird als Raumkrümmung beziehungsweise genauer als Krümmung der vierdimensionalen Raumzeit verstanden. Als mathematische Vergleichsbilder dienen gekrümmte Flächen wie Kugeloberflächen oder Sattelflächen. In solchen nichteuklidischen Geometrien gelten einige Regeln der euklidischen Geometrie nicht mehr allgemein: Die kürzeste Verbindung ist keine gewöhnliche Gerade, sondern eine Geodäte. Auf einer Kugeloberfläche sind Geodäten Großkreise. Auch die Winkelsumme eines Dreiecks aus Geodätenabschnitten ist nicht immer 180 Grad; auf Kugeloberflächen ist sie größer, auf Sattelflächen kleiner.

Die Krümmung der Raumzeit wird durch Energie und Impuls verursacht, zum Beispiel durch Masse, Strahlung oder Druck. Diese Größen bilden den Energie-Impuls-Tensor und treten in den Einsteingleichungen als Quelle des Gravitationsfeldes auf. Kräftefreie Körper bewegen sich dann entlang von Geodäten. In einem infinitesimal kleinen Raumabschnitt gilt stets die flache Metrik der Speziellen Relativitätstheorie.

Im Modell der gekrümmten Raumzeit gibt es keine Gravitationskraft im klassischen Sinn. Stattdessen erscheinen die Weltlinien kräftefreier Körper gekrümmt. Wichtig ist, dass die beobachteten Wirkungen nicht nur durch die Krümmung des dreidimensionalen Raums entstehen, sondern durch die Krümmung der vierdimensionalen Raumzeit. Wäre nur der Raum gekrümmt, hätte ein geworfener Stein unabhängig von seiner Anfangsgeschwindigkeit dieselbe Trajektorie. Erst die Krümmung der Zeit erklärt, warum verschiedene Geschwindigkeiten zu verschiedenen Bahnen führen.

Beispiele und Symmetrien

Für kleine Geschwindigkeiten v≪c ergibt sich bei der Bahnkrümmung der klassische Wert g/v^2, passend zur klassischen Zentrifugalbeschleunigung. Für Lichtstrahlen mit v=c wird der Faktor (1 + v^2/c^2) gleich 2. Die Krümmung beträgt dann 2g/c^2, also das Doppelte des klassischen Werts g/c^2. Daher sollte Sternenlicht in Sonnennähe doppelt so stark abgelenkt werden wie nach klassischer Rechnung. Arthur Eddington verifizierte dies erstmals bei einer Afrikaexpedition zur Sonnenfinsternis von 1919. Seine Beobachtungen wurden später zwar als ungenau bewertet, nachfolgende Sonnenfinsternis-Beobachtungen bestätigten jedoch die Vorhersage der Allgemeinen Relativitätstheorie.

Eine weitere Folge der kleinen Abweichung vom klassischen Wert ist, dass ungestörte Planetenbahnen keine exakten Ellipsen sind, sondern eine Apsidendrehung zeigen. Eine solche zuvor in der Himmelsmechanik nicht erklärte Apsidendrehung war beim Merkur beobachtet worden und wurde durch die Allgemeine Relativitätstheorie erklärt.

Die Raumzeit besitzt wichtige Symmetrien. Dazu gehören die Symmetrien des Raumes, also Translation und Rotation, sowie Symmetrien unter Lorentztransformationen. Lorentztransformationen beschreiben den Wechsel zwischen Bezugssystemen unterschiedlicher Geschwindigkeit und sichern das Relativitätsprinzip.