Symmetrie (Physik)

Grundidee

In der Physik bedeutet Symmetrie, dass wesentliche Groessen eines physikalischen Systems nach einer bestimmten Aenderung unveraendert bleiben. Solche unveraenderten Groessen heissen Erhaltungsgroessen. Die Aenderung selbst wird in der Theorie als Symmetrietransformation eines passenden mathematischen Modells beschrieben; die unveraenderten Groessen sind darin Invarianten. Die Symmetrietransformationen eines Modells bilden bei Hintereinanderausfuehrung gewoehnlich eine Gruppe.

Man unterscheidet diskrete Symmetrien und kontinuierliche Symmetrien. Diskrete Symmetrien besitzen nur eine endliche Anzahl an Symmetrietransformationen, zum Beispiel Spiegelsymmetrie. Kontinuierliche Symmetrien besitzen eine unendliche Anzahl an Symmetrietransformationen, zum Beispiel Rotationssymmetrie.

Bedeutung in der Physik

Symmetrien sind fuer moderne physikalische Forschung wichtig, weil eine Theorie zu einem Experiment die beobachtete Symmetrie wiedergeben muss. Wird in einem Experiment eine Symmetrie festgestellt, muss die zugehoerige Theorie, beschrieben etwa durch eine Lagrangefunktion oder ein Wirkungsfunktional, unter der entsprechenden Symmetrietransformation invariant sein.

Symmetrien koennen Ausgangspunkte neuer Theorien sein. Die Invarianz der Maxwell-Gleichungen unter Lorentz-Transformationen war ein Ausgangspunkt fuer Albert Einstein bei der Entwicklung der speziellen Relativitaetstheorie. Muster im Spektrum der Elementarteilchen fuehrten zur Entwicklung des Quark-Modells fuer Atomkerne, zum Beispiel fuer das Proton.

Symmetrien haengen eng mit Erhaltungssaetzen zusammen. Das Noether-Theorem besagt, dass jeder kontinuierlichen Symmetrie eine Erhaltungsgroesse zugeordnet werden kann. Aus der Zeittranslationsinvarianz folgt zum Beispiel die Energieerhaltung eines Systems. In der Hamiltonschen Mechanik gilt auch die Umkehrung: Hat ein System Energieerhaltung, dann gehoert dazu die Zeittranslationsinvarianz als Symmetrie.

Nicht nur Symmetrien selbst sind wichtig, sondern auch Symmetriebrechungen. In der Theorie der elektroschwachen Wechselwirkung wird eine Symmetrie durch den Higgs-Mechanismus gebrochen; dazu wird das Higgs-Boson benoetigt. Symmetriebrechungen koennen auch mit Phasenuebergaengen zusammenhaengen, aehnlich wie beim ferromagnetischen Phasenuebergang. Manche Symmetrien werden theoretisch untersucht, obwohl noch nicht nachgewiesen ist, dass sie in der Natur vorkommen. Ein Beispiel ist die hypothetische Supersymmetrie, die eine gleiche Anzahl von Fermionen und Bosonen vorhersagt.

Transformationen und Eichtheorien

Transformationen koennen wie Symmetrien stetig oder diskret sein. Eine stetige Transformation ist zum Beispiel die Drehung eines Kreises um einen beliebigen Winkel. Diskrete Transformationen sind zum Beispiel die Spiegelung einer zweiseitig symmetrischen Figur, die Drehung eines regelmaessigen Vielecks oder Verschiebungen um ganzzahlige Vielfache von Gitterabstaenden. Welche Transformationen moeglich sind, bestimmt den Symmetrietyp.

Diskrete Symmetrien werden durch Symmetriegruppen beschrieben, zum Beispiel Punktgruppen und Raumgruppen. Stetige Symmetrien beschreibt man mit Lie-Gruppen.

Eine Transformation, die nicht vom Ort abhaengt, heisst globale Transformation. Wenn der Transformationsparameter an jedem Ort frei gewaehlt werden kann, abgesehen von Stetigkeitsbedingungen, spricht man von einer lokalen Transformation oder Eichtransformation. Physikalische Theorien, deren Wirkung unter Eichtransformationen invariant ist, heissen Eichtheorien.

In den in der Teilchenphysik haeufig verwendeten Eichtheorien legen Eichsymmetrien weitgehend Art und relative Staerke der Kopplungen zwischen Teilchen fest. Nach heutigem Wissen werden alle fundamentalen Wechselwirkungen durch Eichtheorien beschrieben: Gravitation, elektromagnetische Wechselwirkung, schwache Wechselwirkung und starke Wechselwirkung.

Wichtige Symmetrien und Erhaltungsgroessen

Kontinuierliche, also fliessende, Symmetrien sind oft direkt mit Erhaltungsgroessen verbunden. Zeitinvarianz bedeutet, dass die Gesamtenergie eines abgeschlossenen Systems konstant ist; sie wird auch Homogenitaet der Zeit genannt. Translationsinvarianz bedeutet, dass der Gesamtimpuls eines abgeschlossenen Systems konstant ist; sie wird auch Homogenitaet des Raumes genannt. Rotationsinvarianz bedeutet, dass der Gesamtdrehimpuls eines abgeschlossenen Systems konstant ist; sie wird auch Isotropie des Raumes genannt.

Auch Eichinvarianzen gehoeren zu den wichtigen kontinuierlichen Symmetrien. Die Eichinvarianz der Quantenelektrodynamik fuehrt zur Erhaltung der elektrischen Ladung: Die elektrische Gesamtladung in einem abgeschlossenen System ist konstant. Die Eichinvarianz der Quantenchromodynamik fuehrt zur Erhaltung der Farbladung: Die Gesamtfarbladung in einem abgeschlossenen System ist konstant. Im Artikel wird dies als gleichbedeutend mit der Erhaltung der Baryonenzahl angegeben.

Zu den diskreten, also abzaehlbaren, Symmetrien gehoeren C, P, T und CPT. C steht fuer Ladungskonjugation: Werden die Vorzeichen aller Ladungen eines Systems umgedreht, aendert sich dessen Verhalten nicht. P steht fuer raeumliche Spiegelung: Wird ein System raeumlich gespiegelt, aendert sich sein physikalisches Verhalten nicht; die schwache Wechselwirkung verletzt diese Symmetrie jedoch. T steht fuer Zeitumkehr: Ein System verhielte sich genauso, wenn die Zeit rueckwaerts abliefe. CPT bedeutet, dass ein vollkommen inverses System, also raeumlich, zeitlich und ladungsgespiegelt, sich genauso verhielte wie das nichtgespiegelte.

Symmetriebrechung

Symmetriebrechung bedeutet, dass eine erwartete oder in einer Theorie betrachtete Symmetrie in einem konkreten Fall nicht gilt. Ein Beispiel ist die Thermodynamik: Sie ist nicht zeitinvariant, weil umgekehrte Waermestroeme von kalt zu heiss nicht existieren und die Zunahme der Entropie eine Zeitrichtung auszeichnet.

Die schwache Wechselwirkung ist nicht invariant unter Raumspiegelung. Das wurde 1956 im Wu-Experiment gezeigt. Ausserdem ist das Verhalten von K-Mesonen und B-Mesonen nicht invariant unter gleichzeitiger Spiegelung und Ladungsaustausch. Diese Verletzung heisst CP-Verletzung. Ohne CP-Verletzung waere beim Urknall gleich viel Materie wie Antimaterie entstanden und heute noch in gleichem Ausmass vorhanden. Durch CP-Symmetriebrechung kann die Baryonenasymmetrie erklaert werden, also das heutige Ueberwiegen von Materie.

Beim Uebergang von klassischen zu Quantentheorien koennen weitere Symmetriebrechungen auftreten. Beispiele sind der Higgs-Mechanismus als dynamischer Symmetriebruch und die chirale Anomalie. Auch in der Chemie gibt es ein Beispiel: Spiegelbildisomere haben gleiche Energieniveaus und Uebergangszustaende und entstehen aus einem prochiralen Molekuel mit gleicher Wahrscheinlichkeit beziehungsweise Reaktionskinetik. Durch autokatalytische Reaktionsmechanismen, spaetestens mit der Entstehung des Lebens, ist diese Spiegelbildsymmetrie jedoch spontan gebrochen.

Beispiel: symmetrisches Potential

Ein wichtiges Beispiel ist ein kugelsymmetrisches oder rotationssymmetrisches Potential. Dazu gehoeren das elektrische Potential einer Punktladung, zum Beispiel eines Elektrons, und das Gravitationspotential einer Masse, zum Beispiel eines Sterns.

Ein solches Potential haengt nur vom Abstand zur Ladung oder Masse ab, nicht vom Winkel zu einer gewaehlten Achse. Deshalb spielt es keine Rolle, welches Bezugssystem zur Beschreibung gewaehlt wird, solange sich Ladung oder Masse in dessen Ursprung befindet.

Aus dieser Symmetrie folgt fuer ein Teilchen in einem kugelsymmetrischen Potential die Erhaltung des Drehimpulses. Weil in diesem Beispiel keine Translationssymmetrie vorhanden ist, ist der Impuls des Teilchens keine Erhaltungsgroesse.