Partielle Differentialgleichung – einfach erklärt

Begriff und Bedeutung

Eine partielle Differentialgleichung (PDG, PDGL oder PDE) beschreibt eine Beziehung zwischen einer unbekannten Funktion mit mindestens zwei unabhängigen Variablen und ihren partiellen Ableitungen. Partielle Ableitungen geben an, wie sich die Funktion bezüglich einer Variablen verändert, während die anderen Variablen festgehalten werden. Die Schreibweise u_t bedeutet beispielsweise ∂u/∂t. Mehrere gekoppelte Gleichungen bilden ein System partieller Differentialgleichungen.

PDGn sind wichtig, weil viele physikalische Größen gleichzeitig vom Ort und von der Zeit abhängen. Während gewöhnliche Differentialgleichungen nur Ableitungen nach einer Variablen enthalten, erfordern etwa Wärmeleitung, Wellen, Strömungen und Diffusion Ableitungen nach mehreren Variablen. Die Theorie linearer PDGn ist weitgehend erforscht; bei nichtlinearen Gleichungen bestehen noch viele offene Fragen. In praktischen Berechnungen werden meistens numerische Näherungsverfahren eingesetzt.

Eine PDG enthält nur die unbekannte Funktion und ihre partiellen Ableitungen, jeweils am gleichen Punkt ausgewertet. Treten zusätzlich Integrale auf, spricht man von Integro-Differentialgleichungen. Die Ordnung einer PDG ist die höchste vorkommende Ableitungsordnung. Im allgemeinen Fall auf einer offenen Menge V ⊂ ℝⁿ hat eine reelle PDG k-ter Ordnung die Form F(x,u(x),Du,D²u,…,Dᵏu)=0. Dabei umfasst Dᵏu alle partiellen Ableitungen Dᵅu mit |α|=k; α=(α₁,…,αₙ) ist ein Multiindex und |α|=α₁+⋯+αₙ.

Bei einem System aus m Gleichungen wird ein Funktionenvektor u=(u₁,…,uₘ)ᵗ gesucht. Beispiele sind die linearen Maxwell-Gleichungen sowie die nichtlinearen Euler-, Navier-Stokes- und magnetohydrodynamischen Gleichungen.

Grundlegende Beispiele

Die Wärmeleitungsgleichung lautet u_t(x⃗,t)=Δₓu(x⃗,t), kurz u_t=Δₓu. Der Laplace-Operator ist Δₓ:=∑ₖ₌₁ⁿ ∂²/∂xₖ². Eine Funktion u:U×I→ℝ ist eine Lösung, wenn sie diese Gleichung erfüllt. Deutet man (x⃗,t) als Raumzeit, beschreibt die Gleichung, wie die zeitliche Änderung von u durch ihre räumliche Änderung bestimmt wird.

Die Cauchy-Riemann-Gleichungen aus der komplexen Analysis sind ein einfaches System für zwei reelle Funktionen u(x,y) und v(x,y): uₓ=vᵧ und uᵧ=−vₓ.

Die eindimensionale lineare Transportgleichung lautet ∂u(x,t)/∂t+c·∂u(x,t)/∂x=0, wobei c eine reelle Konstante ist. Für die Anfangsbedingung u(x,0)=g(x) ist die Lösung u(x,t)=g(x−ct). Das Anfangsprofil g wird also unverändert mit der Geschwindigkeit c in Richtung der positiven x-Achse verschoben. Ein Anwendungsfall ist der Transport eines gelösten Schadstoffes mit einer Flussströmung, wenn Diffusion vernachlässigt wird.

Weitere wichtige lineare Gleichungen sind die Poisson-, Laplace-, Wellen- und Schrödingergleichung. Zu den nichtlinearen Beispielen gehören die nichtlineare Poisson-Gleichung, die Burgersgleichung, die Poröse-Medien-Gleichung und die Korteweg-de-Vries-Gleichung.

Ordnung und Linearität

PDGn werden unter anderem nach ihrer Ordnung, der Zahl ihrer Variablen und ihrer Linearität eingeteilt. Gleichungen höherer Ordnung sind im Allgemeinen schwieriger zu lösen. Auch die Dimension kann entscheidend sein: Für die Navier-Stokes-Gleichungen existieren in zwei Raumdimensionen weitreichende Aussagen zu Existenz, Eindeutigkeit und Regularität. Ob im dreidimensionalen Fall stets glatte Lösungen existieren und eindeutig sind, ist dagegen offen und gehört zu den Millennium-Problemen.

Eine lineare PDG k-ter Ordnung hat die Form ∑|α|≤k c_α(x)Dᵅu=f(x). Die unbekannte Funktion und alle Ableitungen treten linear auf; die Koeffizienten c_α hängen nur von den unabhängigen Variablen ab.

Bei nichtlinearen Gleichungen unterscheidet man:

Semilinear: Die Ableitungen höchster Ordnung treten linear auf, und ihre Koeffizienten hängen nicht von u oder niedrigeren Ableitungen ab. Ein Beispiel ist die Korteweg-de-Vries-Gleichung u_yyy+u_x+6u·u_y=0.
Quasilinear: Die höchsten Ableitungen treten linear auf, ihre Koeffizienten dürfen aber von u und niedrigeren Ableitungen abhängen. Die Minimalflächengleichung lautet (1+u_y²)u_xx−2u_xu_yu_xy+(1+u_x²)u_yy=0.
Ganz-nichtlinear: Die Gleichung ist bereits in den Ableitungen höchster Ordnung nichtlinear. Ein Beispiel ist die Monge-Ampèresche Gleichung det(D²u)=f, in zwei Variablen also u_xx u_yy−u_xy²=f.

Nichtlineare Gleichungen beschreiben häufig komplexe Erscheinungen wie turbulente Strömungen und sind theoretisch wie numerisch schwieriger. Die Burgersgleichung u_t+u·u_x=0 dient wegen ihrer vollständig bekannten Lösungen als Modell für allgemeinere nichtlineare Gleichungen.

Elliptisch, parabolisch und hyperbolisch

Viele PDGn zweiter Ordnung werden als elliptisch, parabolisch oder hyperbolisch klassifiziert. Die Einteilung ist nicht vollständig, erfasst aber zahlreiche wichtige Gleichungen mit grundlegend verschiedenem Verhalten.

Für eine lineare Gleichung zweiter Ordnung in x und y betrachtet man die Koeffizienten a, b und c der Terme u_xx, u_xy und u_yy und definiert D(x,y):=a(x,y)c(x,y)−(b(x,y)/2)². Die Gleichung heißt an einem Punkt elliptisch für D>0, parabolisch für D=0 und hyperbolisch für D<0. Gleichwertig betrachtet man die symmetrische Koeffizientenmatrix A=((a,b/2),(b/2,c)): Definitheit ergibt den elliptischen, nicht definite Semidefinitheit den parabolischen und Indefinitheit den hyperbolischen Typ. Da die Koeffizienten vom Ort abhängen können, kann auch der Typ ortsabhängig sein. Für n Variablen wird entsprechend die Matrix der Koeffizienten aller zweiten Ableitungen untersucht. Nicht konstante Koeffizienten und nichtlineare Gleichungen lassen sich nicht immer eindeutig nach diesem Schema einordnen.

Elliptische Gleichungen beschreiben typischerweise stationäre Zustände, oft Zustände minimaler Energie. Laplace- und Poisson-Gleichung modellieren etwa stationäre Temperatur- oder elektrostatische Ladungsverteilungen; auch das newtonsche Gravitationspotential löst eine Poisson-Gleichung. Typische Randbedingungen sind Dirichlet-Bedingungen, bei denen die Funktionswerte am Rand gegeben sind, und Neumann-Bedingungen, bei denen die Normalenableitung vorgegeben ist.

Parabolische Gleichungen behandeln ähnliche Vorgänge zeitabhängig. Das wichtigste Beispiel ist die Wärmeleitungsgleichung für Erwärmung, Abkühlung und Diffusion. Sie benötigt räumliche Randbedingungen für alle Zeiten und einen Anfangswert, beispielsweise die Temperaturverteilung bei t=0.

Hyperbolische Gleichungen beschreiben vor allem Wellen. Ihre Lösungen werden wenig oder gar nicht gedämpft. Bei einer eingespannten Saite liefert die feste Einspannung Dirichlet-Randwerte; außerdem müssen die anfängliche Auslenkung und die anfängliche Geschwindigkeit angegeben werden. Hyperbolische Gleichungen zweiter Ordnung benötigen somit zwei Anfangswerte. Gleichungen mit paarweise verschiedenen Eigenwerten heißen strikt hyperbolisch.

Zusatzbedingungen und Lösungsbegriffe

Eine PDG besitzt ohne Zusatzbedingungen im Allgemeinen keine eindeutig bestimmte Lösung. Anfangs- und Randbedingungen müssen zum Grundtyp passen: elliptische Probleme verwenden typischerweise Dirichlet-, Neumann- oder Robin-Randbedingungen; parabolische Probleme benötigen Anfangs- und Randbedingungen; hyperbolische Probleme vor allem Anfangsbedingungen und gegebenenfalls räumliche Randwerte. Nur eine passende Wahl führt zu einem korrekt gestellten Problem.

Für PDGn gibt es keine so umfassende allgemeine Existenz- und Eindeutigkeitstheorie wie den Satz von Picard-Lindelöf für gewöhnliche Differentialgleichungen. Der Satz von Cauchy-Kowalewskaja garantiert zwar lokale Existenz und Eindeutigkeit bei analytischen Koeffizienten, lässt sich aber nicht auf beliebige glatte, nichtanalytische Koeffizienten übertragen; das Beispiel von Lewy liefert ein Gegenbeispiel.

Klassische, hinreichend oft stetig differenzierbare Lösungen existieren nicht immer, etwa bei Stoßwellen. Deshalb verwendet man erweiterte Lösungsbegriffe:

Eine klassische Lösung erfüllt die Gleichung mit ihren gewöhnlichen Ableitungen in jedem Punkt.
Eine starke Lösung besitzt genügend schwache Ableitungen und erfüllt die Gleichung fast überall.
Eine schwache Lösung erfüllt eine durch Multiplikation mit Testfunktionen, Integration und partielle Integration entstandene Formulierung, meist in einem Sobolev-Raum.
Eine milde Lösung erfüllt eine Form der Variation-der-Konstanten-Formel, muss aber nicht stark sein.
Viskositätslösungen entstehen als Grenzfall gestörter Gleichungen mit einem kleinen diffusiven oder viskosen Term.
Entropielösungen erfüllen eine zusätzliche Entropiebedingung, die bei manchen Gleichungen die Eindeutigkeit schwacher Lösungen wiederherstellt.
Maßwertige Lösungen können Konzentrationseffekte nichtlinearer Gleichungen erfassen.
Distributionelle Lösungen erfüllen lineare Gleichungen im Sinne der Distributionentheorie; nichtlineare Operationen sind für Distributionen im Allgemeinen nicht definiert.

Die Bezeichnungen werden in der Literatur nicht einheitlich verwendet. Regularitätstheorie und Sobolewsche Einbettungssätze können unter geeigneten Voraussetzungen zeigen, dass eine schwache oder distributionelle Lösung tatsächlich stark oder klassisch ist.

Lösungsverfahren und Verallgemeinerungen

Analytische Methoden versuchen exakte Lösungen oder Aussagen über sie zu gewinnen. Bei der Trennung der Veränderlichen setzt man etwa u(x,t)=f(x)g(t) oder u(x,t)=f(x)+g(t) und bestimmt die einfacheren Funktionen durch Einsetzen. Fourier- und Laplace-Transformation überführen eine PDG in eine algebraische oder einfachere Differentialgleichung; anschließend führt die inverse Transformation zurück.

Die Methode der Charakteristiken wandelt eine PDG in gewöhnliche Differentialgleichungen entlang geeigneter Kurven um. Die Lie-Symmetrie-Gruppen-Methode nutzt Transformationen, die Lösungen wieder auf Lösungen abbilden. Bei p unabhängigen Variablen kann eine r-parametrische Symmetriegruppe das Problem auf p−r Variablen reduzieren; für p−r=1 bleibt ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen. Weitere Ansätze linearisieren nichtlineare Gleichungen durch Transformationen wie die Hopf-Cole- oder Legendre-Transformation.

In der Variationsrechnung versteht man die PDG als Euler-Lagrange-Gleichung eines Energiefunktionals E[w]; Lösungen sind kritische Punkte dieses Funktionals. Damit lassen sich Existenz, Eindeutigkeit und Regularität untersuchen. Die Halbgruppen-Theorie fasst Evolutionsgleichungen als gewöhnliche Differentialgleichungen in unendlichdimensionalen Banach-Räumen auf. Für das abstrakte Cauchy-Problem u̇=Au, u(0)=u₀ ist das Problem korrekt gestellt und eindeutig lösbar, wenn A infinitesimaler Erzeuger einer stark stetigen C₀-Halbgruppe {T(t)}ₜ≥0 ist.

Numerisch werden vor allem die Finite-Elemente-Methode (FEM), Finite-Differenzen-Methode (FDM), Finite-Volumen-Methode (FVM) und zunehmend die Randelement-Methode (REM beziehungsweise BEM) verwendet. Sie diskretisieren die Gleichung und ersetzen die gesuchte Lösung durch eine endlichdimensionale Näherung.

Stochastische PDGn erweitern gewöhnliche PDGn um einen stochastischen Prozess, der äußere Störungen modelliert. Häufig verwendet man raumzeitliches gaußsches weißes Rauschen oder allgemeiner Lévysches Rauschen; beides wird als stochastische Distribution behandelt. Ein Beispiel sind stochastische Navier-Stokes-Gleichungen mit additivem Rauschen. Ihre Theorie ist ein aktives Forschungsgebiet, stützt sich unter anderem auf stochastische Analysis in unendlicher Dimension und kann mit Halbgruppen-Theorie behandelt werden.