Quantenmechanik

Bedeutung und Grundidee

Die Quantenmechanik ist eine physikalische Theorie für Eigenschaften, Zustände und Vorgänge der Materie bis zur Größe von Atomen und darunter. Sie ist eine Hauptsäule der modernen Physik und bildet die Grundlage von Atomphysik, Festkörperphysik, Kern- und Elementarteilchenphysik sowie Quantenchemie. Sie beschreibt materielle Objekte als einzelne Teilchen oder als Systeme aus einer bestimmten Anzahl von Teilchen, etwa Elementarteilchen, Atome, Moleküle oder makroskopische Materie.

Im Unterschied zur klassischen Mechanik sind Ort und Bahn eines Teilchens keine durchgehend klassisch vorstellbaren Größen. Die Theorie ermöglicht zwar genaue Vorhersagen von Wahrscheinlichkeiten für Messergebnisse, aber nicht immer die Vorhersage eines einzelnen Ergebnisses. Ihre mathematische Struktur unterscheidet sich deshalb grundlegend von der klassischen Mechanik.

Die moderne Quantenmechanik entstand 1925 mit der Matrizenmechanik von Werner Heisenberg, Max Born und Pascual Jordan. Kurz darauf entwickelte Erwin Schrödinger die Wellenmechanik mit der Schrödingergleichung; beide Formulierungen sind mathematisch äquivalent. Vorläufer waren unter anderem Max Plancks Hypothese von 1900, dass Energie nur in ganzzahligen Vielfachen von ΔE = hf aufgenommen oder abgegeben wird, Einsteins Lichtquantenhypothese von 1905 und Louis de Broglies Materiewellen von 1924. Für Erzeugung und Vernichtung von Teilchen reichen die Modelle der Quantenmechanik nicht aus; dafür wurden ab etwa 1930 Quantenfeldtheorien wie die Quantenelektrodynamik entwickelt.

Zustände, Observable und Wahrscheinlichkeiten

Messbare Eigenschaften heißen Observable. Dazu gehören Ort, Impuls, Drehimpuls und Energie. Zu jeder Observablen gibt es Eigenzustände: In einem solchen Zustand liefert eine Messung sicher einen bestimmten Eigenwert, also einen festgelegten Messwert. Befindet sich ein System nicht in einem Eigenzustand der gemessenen Observablen, sind mehrere Eigenwerte möglich; die Quantenmechanik gibt dann deren Wahrscheinlichkeiten an. Nach der Messung befindet sich das System im Eigenzustand zum gemessenen Eigenwert.

Ein Zustand kann eine Überlagerung oder Superposition von Eigenzuständen sein. Der Anteil eines Eigenzustands heißt Wahrscheinlichkeitsamplitude. Ihr Betragsquadrat ist nach der Bornschen Regel die Wahrscheinlichkeit, den zugehörigen Eigenwert zu messen. Für den Ort wird die Amplitude als Wellenfunktion ψ(r) dargestellt; |ψ(r)|² ist die räumliche Dichte der Aufenthaltswahrscheinlichkeit. Manche Messgrößen haben nur diskrete Eigenwerte, etwa der Drehimpuls; beim Ort bilden die Eigenwerte ein Kontinuum. Der Spin ist eine Observable ohne klassischen Gegenpart.

Mathematisch entspricht ein quantenmechanischer Zustand einem Vektor |ψ⟩ im Hilbertraum. Zwei Vektoren, die sich nur um einen konstanten Zahlenfaktor unterscheiden, bezeichnen denselben physikalischen Zustand. Eine Observable wird durch einen linearen Operator Ô dargestellt. Für einen Eigenzustand gilt Ô|ψ⟩ = a·|ψ⟩; a ist der Eigenwert beziehungsweise Messwert. Anders als in der klassischen Physik, wo Ort r = (x,y,z) und Impuls p = (pₓ,pᵧ,pz) den Zustand eines Massenpunktes im sechsdimensionalen Phasenraum bestimmen, können quantenmechanischer Ort und Impuls nicht gleichzeitig eindeutig festgelegt sein.

Zeitentwicklung, stationäre Zustände und Interferenz

Die Zeitentwicklung eines geschlossenen, isolierten Systems folgt der Schrödingergleichung

iħ ∂ψ/∂t = Ĥψ.

Der Hamilton-Operator Ĥ beschreibt die Gesamtenergie. Er enthält die kinetische Energie sowie Terme für Wechselwirkungen zwischen Teilchen oder für potentielle Energie in äußeren, auch zeitabhängigen Feldern. Die Schrödingergleichung ist erster Ordnung in der Zeit; daher ist die Entwicklung eines geschlossenen Systems vollständig deterministisch. Das steht nicht im Widerspruch zu den zufälligen einzelnen Messergebnissen: Deterministisch entwickelt sich der Zustand, aus dem sich nur Wahrscheinlichkeiten für Messwerte ergeben können.

Ist Ĥ zeitunabhängig, gibt es stationäre Zustände. Sie sind Eigenzustände des Hamilton-Operators und haben eine bestimmte Energie E: Ĥψ = Eψ. Ihre Zeitentwicklung lautet ψ(t) = ψ(0)·e^(−iE t/ħ). Der zusätzliche Faktor verändert nur die quantenmechanische Phase mit der Kreisfrequenz ω = E/ħ; der physikalische Zustand und die Messwahrscheinlichkeiten bleiben unverändert.

Wellenfunktionen können interferieren: Sind ψ₁(x) und ψ₂(x) Lösungen derselben Schrödingergleichung, dann auch Ψ(x) = ψ₁(x) + ψ₂(x). Die Wahrscheinlichkeit ist proportional zu |Ψ(x)|² und ist daher nicht einfach |ψ₁(x)|² + |ψ₂(x)|². Bei ψ₁(x) = −ψ₂(x) ist sie null (destruktive Interferenz); bei ψ₁(x) = ψ₂(x) ist sie doppelt so groß wie die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten (konstruktive Interferenz).

Das Doppelspaltexperiment zeigt dies mit Elektronen: Jedes Elektron erzeugt auf dem Schirm einen einzelnen Punkt. Viele Elektronen ergeben aber keine zwei klassischen Häufungen hinter den Spalten, sondern Interferenzstreifen. Damit veranschaulicht das Experiment die statistische Natur der Quantenmechanik und den Welle-Teilchen-Dualismus.

Messung, Unschärfe und besondere Quanteneffekte

Bei einer Messung wird stets ein eindeutiger Eigenwert gemessen, auch wenn der Ausgangszustand eine Überlagerung mehrerer Eigenzustände ist. Eine sofortige Wiederholung einer idealen, das Objekt intakt lassenden Messung liefert denselben Wert. Der Übergang zum nach der Messung festgestellten Eigenzustand heißt Kollaps der Wellenfunktion oder Zustandsreduktion.

Das Messproblem besteht darin, dass dieser Kollaps nicht als gewöhnliche Entwicklung nach der Schrödingergleichung verstanden werden kann. Wechselwirken System und Messgerät, werden sie zunächst verschränkt: Mögliche Messwerte sind mit passenden Anzeigen verknüpft. Unklar bleibt, was eine Messung physikalisch genau von anderen Prozessen unterscheidet und wo die Grenze zwischen Quantensystem und klassischer Messapparatur liegt; dies heißt Demarkationsproblem. Die vorhergesagte Wahrscheinlichkeitsverteilung ist jedoch unabhängig davon, wo diese Grenze gezogen wird. Die Kopenhagener Interpretation behandelt das Messgerät als klassisches System. Die Viele-Welten-Theorie nimmt dagegen an, dass die scheinbar verschwundenen Komponenten verschiedene, anschließend effektiv informationsgetrennte Zweige des Universums bilden.

Bei zwei verschiedenen Observablen kann die Reihenfolge von Messungen wichtig sein. Komplementäre Observable besitzen keinen gemeinsamen Eigenzustand; Ort und Impuls sind ein Beispiel. Die Heisenbergsche Unschärferelation begrenzt ihre gleichzeitig erreichbare Genauigkeit. Für kanonisch konjugierte Observable A und B gilt

ΔA·ΔB ≥ h/(4π) = ħ/2,

wobei ΔA und ΔB Standardabweichungen, h die Planck-Konstante und ħ = h/2π sind. Ein exakt bestimmter Wert der einen Größe würde die andere völlig unbestimmt machen. Deshalb ist eine Bahnkurve für ein Teilchen nur begrenzt sinnvoll und im Atom unmöglich. Eine ähnliche Beziehung gilt für Energie und Zeit, wobei Zeit formal keine Observable ist.

Beim Tunneleffekt kann ein Teilchen eine Potentialbarriere mit bestimmter Wahrscheinlichkeit überwinden, obwohl seine Energie unter deren höchstem Punkt liegt; umgekehrt kann es auch oberhalb der Barriere reflektiert werden. Die Wahrscheinlichkeiten sind bei bekannter Barriere berechenbar. Der Effekt ist wichtig etwa für Alpha-Zerfall, Kernfusion, Feldemissions- und Rastertunnelmikroskopie sowie chemische Bindungen.

Verschränkung, Teilchenarten und klassische Grenze

Nach einer Wechselwirkung können zwei Quantensysteme verschränkt sein: Der Gesamtzustand ist dann eine Superposition aufeinander abgestimmter Zustände beider Teilsysteme. Die Korrelationen erfüllen Erhaltungssätze wie Energie, Impuls, Drehimpuls und Ladung und bleiben erhalten, auch wenn die Systeme weit voneinander entfernt sind. Bei einem entsprechend präparierten Elektronenpaar kann beispielsweise die Spinrichtung jedes einzelnen Elektrons unvorhersagbar sein, während die Ergebnisse beider Messungen stets entgegengesetzt korreliert sind.

Das EPR-Paradoxon von Albert Einstein, Boris Podolsky und Nathan Rosen von 1935 stellte die Lokalität der Quantenmechanik infrage und deutete auf verborgene Variablen. John Stewart Bell formulierte 1964 die experimentell testbare Bellsche Ungleichung. Alle seitdem durchgeführten Experimente zeigten die von der Quantenmechanik vorhergesagte Verletzung dieser Ungleichung und widerlegten Einsteins Lokalitätsannahme. Dennoch kann damit keine Information überlichtschnell übertragen werden: Ein einzelnes Messergebnis bleibt lokal unvorhersagbar; die Korrelation wird erst nach Kommunikation mit höchstens Lichtgeschwindigkeit feststellbar.

Identische Teilchen können nicht sinnvoll durchnummeriert werden. Bosonen behalten beim Vertauschen zweier Teilchen denselben Zustandsvektor, Fermionen wechseln dessen Vorzeichen. Nach dem Spin-Statistik-Theorem sind Teilchen mit ganzzahligem Spin Bosonen, solche mit halbzahligem Spin Fermionen. Das Pauli-Prinzip besagt, dass zwei identische Fermionen nicht denselben Einteilchenzustand einnehmen können. Es erklärt die Auffüllung elektronischer Zustände bis zur Fermi-Energie und ist für chemische Verbindungen wichtig. Bosonen folgen der Bose-Einstein-Statistik, Fermionen der Fermi-Dirac-Statistik.

Im klassischen Grenzfall großer Quantenzahlen sollen Quantensysteme nach Niels Bohrs Korrespondenzprinzip klassische Gesetze reproduzieren. Das Ehrenfestsche Theorem besagt, dass Mittelwerte von Ort und Impuls bei nicht zu stark ortsabhängigen Kräften näherungsweise der klassischen Bewegungsgleichung folgen. Dies gilt nicht universell. Dekohärenz erklärt zusätzlich, weshalb makroskopische Objekte meist klassisch wirken: Wechselwirkungen mit der Umgebung verschränken sie mit dieser und unterdrücken Interferenz sehr schnell; als Beispiel nennt der Artikel Dekohärenzzeiten von etwa 10^−26 s.

Anwendungen und Erweiterungen

Quantenphysikalische Effekte sind Grundlage von Laser, Elektronenmikroskop, Atomuhr, Röntgen- und Kernspinresonanzverfahren. Halbleiterforschung führte zu Diode und Transistor. In technischen Anwendungen werden meist die näheren Konzepte von Festkörperphysik, Chemie, Materialwissenschaften oder Kernphysik verwendet; die Quantenmechanik liefert deren theoretisches Fundament.

In Atomphysik und Chemie bestimmt die elektronische Struktur von Atomen und Molekülen ihre chemischen Eigenschaften. Eine exakte analytische Lösung der Schrödingergleichung ist nur für wasserstoffähnliche Systeme mit einem Kern und einem Elektron möglich. Komplexe Systeme benötigen numerische Verfahren und Näherungen. Das Orbitalmodell beschreibt den Vielteilchenzustand näherungsweise durch Einteilchenzustände; es unterstützt die Erklärung von Energieniveaus, Hundschen Regeln, Oktettregel, Edelgasregel, magischen Zahlen und Periodensystem. Molekülorbitale entstehen durch Linearkombination von Atomorbitalen.

In der Kernphysik erklären Clustermodelle den Alphazerfall, etwa von ²³⁸₉₂U, durch das Tunneln von Alphateilchen durch den Coulombwall. Die quantenmechanische Streutheorie berechnet Streuquerschnitte; Fermis goldene Regel beschreibt Übergangsraten unter einer Störung. In der Festkörperphysik erklären Vielteilchenmodelle Eigenschaften von Metallen, Halbleitern und Ionenkristallen. Quasiteilchen sind kollektive Anregungen, etwa Phononen als Energiequanten von Gitterschwingungen und Exzitonen als Elektron-Loch-Paare; Cooper-Paare ermöglichen nach der BCS-Theorie Supraleitung.

Für relativistische und hochenergetische Prozesse genügen Schrödingergleichung und Dirac-Gleichung nicht, weil Teilchenerzeugung und -vernichtung auftreten. Quantenfeldtheorie beschreibt Teilchen und Wechselwirkungen als quantisierte Felder und erklärt unter anderem Paarerzeugung, Annihilation, Ununterscheidbarkeit, Spin-Statistik-Zusammenhang und Antiteilchen. Quantencomputer sollen Eigenzustände und Wahrscheinlichkeitsnatur für hochparalleles Rechnen nutzen; als mögliches Einsatzgebiet nennt der Artikel das Knacken moderner Verschlüsselungsmethoden. Quantenkryptographie dient dem theoretisch absolut sicheren Schlüsselaustausch, während Quantenteleportation die Übertragung von Quantenzuständen über beliebige Entfernungen untersucht.