Hilbertsche Probleme – einfach erklärt

Gegenstand, Entstehung und Bedeutung

Die Hilbertschen Probleme sind 23 damals ungelöste mathematische Probleme, die David Hilbert am 8. August 1900 beim Internationalen Mathematiker-Kongress in Paris vorstellte. Die thematisch breite Liste sollte keinen Rückblick, sondern einen programmatischen Ausblick auf die Mathematik des 20. Jahrhunderts geben. Hilbert begann im Dezember 1899 mit der Vorbereitung und beriet sich mit Hermann Minkowski und Adolf Hurwitz.

Wegen der begrenzten Vortragszeit präsentierte Hilbert zunächst nur die Probleme 1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 und 22. Der vollständige deutsche Text erschien kurz darauf und 1901 nochmals mit Ergänzungen. Im Jahr 2000 fand Rüdiger Thiele in Hilberts Notizen ein nicht veröffentlichtes 24. Problem zur Einfachheit mathematischer Beweise.

Die Liste prägte die Mathematik des 20. Jahrhunderts stark: Eine Lösung versprach großes Ansehen, und selbst erfolglose Versuche entwickelten ganze Teilgebiete weiter. Keine spätere Problemsammlung erreichte einen vergleichbaren Einfluss. Die Auswahl war jedoch persönlich geprägt: Angewandte und numerische Mathematik sowie die spätere Funktionalanalysis waren schwach vertreten; die große Fermat-Vermutung und das Dreikörperproblem fehlten trotz ihrer Erwähnung in der Einleitung.

Formulierung und Grenzen der Lösbarkeit

Um 1900 fehlten viele heute grundlegende Begriffe und Theorien, darunter die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, topologische Räume, das Lebesgue-Integral und die Church-Turing-These. Deshalb sind manche Probleme nicht präzise entscheidbar formuliert. Einige sind konkrete Fragen, andere eher langfristige Forschungsprogramme.

Hilbert war überzeugt, jedes mathematische Problem müsse durch reines Denken lösbar sein: „In der Mathematik gibt es kein Ignorabimus!“ Dieser Optimismus wurde durch Kurt Gödels Unvollständigkeitssatz von 1931 und Alan Turings Beweis von 1936 relativiert, dass das Entscheidungsproblem unlösbar ist. Auch eine negative Antwort kann jedoch eine vollständige und erkenntnisreiche Lösung sein, wie beim zehnten Problem.

Die Liste beginnt mit Grundlagenfragen und Axiomatik, führt über Geometrie, Physik, Algebra und Zahlentheorie und endet bei Funktionentheorie, Differentialgleichungen, Analysis und Variationsrechnung. Je nach genauer Deutung gelten einige Probleme als gelöst, andere nur teilweise gelöst oder weiterhin offen.

Grundlagen, Geometrie, Physik und Primzahlen: Probleme 1 bis 8

Die Kontinuumshypothese fragt, ob zwischen der Mächtigkeit der natürlichen und der reellen Zahlen eine weitere unendliche Mächtigkeit liegt. Gödel zeigte 1939 ihre relative Widerspruchsfreiheit mit ZFC, Paul Cohen 1963 diejenige ihrer Negation. Sie ist daher in ZFC unentscheidbar. Die von Hilbert ebenfalls verlangte Wohlordnung der reellen Zahlen folgt in ZFC, nicht aber in ZF ohne Auswahlaxiom.
Die Widerspruchsfreiheit der arithmetischen Axiome kann nach Gödels Unvollständigkeitssatz nicht allein mit diesen Axiomen bewiesen werden. Gerhard Gentzen bewies sie 1936 mit transfiniten Methoden, die Hilberts ursprüngliches Programm ausschloss.
Zwei Tetraeder gleichen Volumens müssen nicht zerlegungsgleich sein. Max Dehn widerlegte dies 1900 mit der Dehn-Invariante; ein Würfel hat den Wert 0, ein regelmäßiges Tetraeder nicht. J. P. Sydler zeigte 1965: Im dreidimensionalen euklidischen Raum sind zwei Polyeder genau dann zerlegungsgleich, wenn Volumen und Dehnzahl übereinstimmen.
Gesucht ist eine Charakterisierung der Metriken, in denen Geraden die kürzesten Verbindungen beziehungsweise Geodäten sind. Georg Hamel klassifizierte wichtige ebene Fälle, doch wegen der weiten Formulierung gibt es keine eindeutige Gesamtlösung.
Eine lokal euklidische topologische Gruppe ist tatsächlich eine Lie-Gruppe; ihre Gruppenoperationen sind sogar reell-analytisch. Andrew Gleason, Deane Montgomery und Leo Zippin schlossen den Beweis 1952 ab. Die weitergehende Hilbert-Smith-Vermutung ist offen.
Hilbert verlangte eine Axiomatisierung der Physik, besonders der Mechanik und Wahrscheinlichkeitstheorie. Teilgebiete wurden axiomatisiert, eine abgeschlossene Gesamtlösung bleibt wegen des Verhältnisses zwischen mathematischem Formalismus und physikalischer Wirklichkeit unbekannt. 2025 leiteten Yu Deng, Zaher Hani und Xiao Ma für harte Kugeln den Übergang von Newtons Bewegungsgesetzen über die Boltzmann-Gleichung zu grundlegenden Gleichungen der Strömungsmechanik streng her.
Ist α algebraisch mit α ≠ 0 und α ≠ 1 und β irrational und algebraisch, so ist α^β transzendent. Alexander Gelfond bewies dies 1934; die erweiterte Aussage heißt Satz von Gelfond-Schneider.
Die Riemannsche Vermutung – nichttriviale Nullstellen der Zetafunktion haben Realteil 1/2 – und die Goldbachsche Vermutung – jede gerade Zahl größer als 2 ist Summe zweier Primzahlen – sind weiterhin unbewiesen. Auch die Frage nach unendlich vielen Primzahlzwillingen bleibt offen.

Zahlentheorie, Algebra und Kurven: Probleme 9 bis 16

Das allgemeine Reziprozitätsgesetz ist nur für abelsche Erweiterungen algebraischer Zahlkörper bekannt. Emil Artin löste diesen Fall 1924; die nichtabelsche Verallgemeinerung bleibt offen.
Hilbert suchte ein Verfahren, das für jede diophantische Gleichung f(x₁,…,xₙ)=0 mit ganzzahligen Koeffizienten über die Existenz ganzzahliger Lösungen entscheidet. Juri Matijassewitsch bewies 1970 auf Vorarbeiten von Julia Robinson, Martin Davis und Hilary Putnam, dass kein allgemeiner Algorithmus existiert. Für Gleichungen vierten Grades gibt es ebenfalls keinen; der kubische Fall ist offen, für lineare und quadratische Gleichungen existiert ein Verfahren.
Die Theorie quadratischer Formen q(x)=xᵀAx wurde auf algebraische Zahlkörper ausgebaut. Zentral ist das 1923 von Helmut Hasse formulierte Lokal-Global-Prinzip: Bei quadratischen Formen folgt globale Lösbarkeit über den rationalen Zahlen aus der Lösbarkeit über den reellen und allen p-adischen Zahlen.
Der Satz von Kronecker-Weber beschreibt die maximale abelsche Erweiterung der rationalen Zahlen durch Einheitswurzeln. Eine entsprechende explizite Beschreibung für beliebige Zahlkörper ist trotz wichtiger Fortschritte unbekannt.
Hilbert fragte, ob die Lösung von x⁷+ax³+bx²+cx+1=0 aus endlich vielen stetigen Funktionen zweier Variablen aufgebaut werden kann, und vermutete eine negative Antwort. Andrei Kolmogorow und Wladimir Arnold widerlegten dies 1957: Stetige Funktionen mehrerer Variablen lassen sich durch Superposition von Funktionen mit weniger Variablen darstellen. Für algebraische Funktionen bleibt die entsprechende Frage offen.
Für R = L ∩ K[x₁,…,xₙ], wobei L ein Unterkörper von K(x₁,…,xₙ) ist, fragte Hilbert nach endlicher Erzeugbarkeit. Masayoshi Nagata gab 1957 ein Gegenbeispiel; die Antwort lautet daher Nein.
Schuberts Abzählungskalkül für Schnittzahlen algebraischer Varietäten sollte streng begründet werden. Die algebraische Geometrie schuf dafür zahlreiche Werkzeuge, doch der Problemkreis der abzählenden Geometrie gilt nicht als vollständig gelöst.
Der erste Teil untersucht Anzahl und Lage der Komponenten reeller algebraischer Kurven. Für eine Kurve vom Grad n beträgt die Höchstzahl der Komponenten ½(n−1)(n−2)+1. Hilberts Vermutung für Kurven sechsten Grades wurde 1969 widerlegt; Klassifikationen sind bis zum Grad 7 abgeschlossen. Der zweite Teil fragt nach einer oberen Schranke für Grenzzyklen ebener polynomialer dynamischer Systeme. Er ist ungelöst; selbst für Grad 2 ist keine Obergrenze bekannt.

Analysis, Geometrie und Differentialgleichungen: Probleme 17 bis 23

Emil Artin bewies 1927: Jede rationale Funktion, die überall in ihrem Definitionsbereich nichtnegative Werte annimmt, ist eine Summe von Quadraten rationaler Funktionen. Albrecht Pfister zeigte später, dass bei n Variablen 2^n Quadrate genügen.
Ludwig Bieberbach bewies 1910, dass es in jeder Dimension nur endlich viele wesentlich verschiedene Raumgruppen gibt; in der Ebene sind es 17, im Raum 230. Karl Reinhardt zeigte 1928, dass manche Polyeder den Raum lückenlos kacheln, ohne Fundamentalbereich einer Bewegungsgruppe zu sein. Thomas Hales veröffentlichte 1998 einen später anerkannten computergestützten Beweis der Keplerschen Vermutung zur dichtesten Kugelpackung im dreidimensionalen Raum. Höhere Dimensionen bleiben Forschungsgebiet.
Lösungen regulärer Variationsprobleme sind unter geeigneten Voraussetzungen analytisch, also lokal durch Potenzreihen darstellbar. Nach Vorarbeiten seit Sergei Bernstein 1903 lieferten Ennio De Giorgi und John Forbes Nash in den 1950er Jahren eine vollständige Lösung; bei schwächeren Voraussetzungen existieren Gegenbeispiele.
Hilbert fragte nach Bedingungen, unter denen Randwertprobleme Lösungen besitzen. Es entstanden umfangreiche Existenztheorien, besonders für elliptische partielle Differentialgleichungen; Randwertbeschränkungen allein reichen jedoch nicht immer aus.
Nicht zu beliebig vorgegebenen Singularitäten und Monodromiegruppen existiert ein fuchssches Differentialgleichungssystem. Ein lange akzeptierter positiver Beweis von Josip Plemelj enthielt eine Lücke; Andrei Bolibruch fand 1989 ein Gegenbeispiel. Für irreduzible Monodromiedarstellungen gilt eine positive Aussage.
Uniformisierung bedeutet, algebraische Beziehungen durch Funktionen einer einzigen Veränderlichen zu parametrisieren. Poincaré und Paul Koebe lösten 1907 unabhängig den Fall zweier Variablen. Für mehr Variablen bleiben Fragen offen.
Das letzte Problem ist keine einzelne entscheidbare Frage, sondern die Aufforderung, die Variationsrechnung weiterzuentwickeln. Funktionalanalysis, direkte Methoden und Anwendungen wie die Theorie optimaler Steuerungen erfüllten dieses Forschungsprogramm teilweise; wegen der vagen Formulierung gibt es keine konkrete Gesamtlösung.

Das nachträglich gefundene Problem

Das in Hilberts Nachlass gefundene 24. Problem fragt, wie sich die Einfachheit eines mathematischen Beweises messen und ein einfachster Beweis eines Satzes finden lässt. Es gehört zur Beweistheorie, wurde aber nicht in die veröffentlichte Liste aufgenommen. Da Begriffe wie „einfachster Beweis“ nicht eindeutig festgelegt sind, ist die Frage zu vage für eine konkrete Lösung.