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Ungleichung von Padoa
Die Ungleichung setzt zwei aus den Seitenlängen eines Dreiecks gebildete Produkte in Beziehung und ist äquivalent mit der eulerschen Dreiecksungleichung.
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Kernaussage
Die Ungleichung von Padoa ist eine grundlegende Ungleichung der Dreiecksgeometrie. Sie setzt zwei Produkte in Beziehung, die aus den Seitenlängen eines Dreiecks gebildet werden, und ist zur eulerschen Dreiecksungleichung äquivalent.
Für ein beliebiges Dreieck ABC in der euklidischen Ebene mit den Seitenlängen a,b,c gilt stets
abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).
Die drei Faktoren auf der rechten Seite sind wegen der Dreiecksungleichungen positiv.
Beweis mit der Ravi-Substitution
Die Ravi-Substitution nutzt die Berührungspunkte des Inkreises mit den Dreiecksseiten. Jeder Berührungspunkt teilt eine Seite in zwei Strecken. Die beiden Teilstrecken, die an demselben Eckpunkt liegen, haben jeweils die gleiche Länge. Dadurch gibt es positive Zahlen x,y,z mit
a=x+y,\qquad b=y+z,\qquad c=z+x.
Damit werden die Faktoren der rechten Seite zu
a+b-c=2y,\qquad b+c-a=2z,\qquad c+a-b=2x.
Die Ungleichung von Padoa nimmt daher die gleichwertige Form
(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8xyz
an.
Nach der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel gilt
x+y\geq 2\sqrt{xy},\qquad y+z\geq 2\sqrt{yz},\qquad z+x\geq 2\sqrt{zx}.
Multipliziert man jeweils die linken und rechten Seiten dieser drei Ungleichungen und beachtet die Monotoniegesetze für Ungleichungen, erhält man unmittelbar
(x+y)(y+z)(z+x)\geq 8xyz.
Damit ist auch die ursprüngliche Ungleichung bewiesen.
Zusammenhang mit der eulerschen Dreiecksungleichung
Es bezeichnen R den Umkreisradius, r den Inkreisradius und F den Flächeninhalt des Dreiecks. Außerdem wird bei der Ravi-Substitution s=x+y+z gesetzt. Dann gelten die drei grundlegenden Gleichungen
4FR=abc,
r^2s=xyz,
F=rs.
Da die rechte Seite der Padoa-Ungleichung nach der Ravi-Substitution 8xyz beträgt, wird sie mithilfe dieser Gleichungen zu
4FR\geq 8r^2s.
Mit F=rs folgt daraus R\geq 2r, also die eulersche Dreiecksungleichung. Die Umformungen können auch rückwärts durchgeführt werden; deshalb sind beide Ungleichungen äquivalent.
Verwandte Ungleichungen
Mit denselben Bezeichnungen gelten außerdem zwei verwandte Aussagen. Für die Quadratwurzeln der Seitenlängen gilt
\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c\geq \sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}.
Für die Kehrwerte gilt die umgekehrte Vergleichsrichtung:
\frac1a+\frac1b+\frac1c\leq \frac1{a+b-c}+\frac1{b+c-a}+\frac1{c+a-b}.