Vergleich (Zahlen)

Grundidee und Vergleichszeichen

Zahlen aus Bereichen wie den natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen können der Größe nach geordnet werden. Auf der Zahlengeraden liegen größere Zahlen weiter rechts und kleinere weiter links. Die wichtigsten Vergleichszeichen sind:

• x < y: x ist kleiner als y, zum Beispiel 1 < 2. • x > y: x ist größer als y, zum Beispiel 2 > 1. • x ≤ y: x ist kleiner oder gleich y. • x ≥ y: x ist größer oder gleich y.

Diese vier Relationen sind voneinander abhängig. Mit < kann man die anderen ausdrücken: x ≤ y gilt genau dann, wenn y < x nicht gilt; x > y gilt genau dann, wenn y < x gilt; x ≥ y gilt genau dann, wenn x < y nicht gilt.

Auch Gleichheit und Ungleichheit werden durch die Ordnung festgelegt: x = y gilt genau dann, wenn weder x < y noch y < x gilt. Dagegen gilt x ≠ y genau dann, wenn x < y oder y < x gilt. Umgekehrt reichen Gleichheit und Ungleichheit allein nicht aus, um zu bestimmen, welche von zwei verschiedenen Zahlen größer ist.

Definitionen in den Zahlbereichen

Bei den natürlichen Zahlen kann ≤ über die Nachfolgerfunktion a ↦ a + 1 definiert werden: Aus a = b folgt a ≤ b; ist c der Nachfolger von b und gilt a ≤ b, dann gilt auch a ≤ c. Somit ist a genau dann nicht größer als b, wenn b von a aus durch wiederholtes Bilden des Nachfolgers erreichbar ist. Im von Neumannschen Modell gilt a < b genau dann, wenn a ∈ b, und a ≤ b genau dann, wenn a ⊆ b.

Für ganze Zahlen wird die Ordnung nach den Vorzeichen bestimmt. Sind a und b nichtnegativ, gilt die Ordnung der natürlichen Zahlen. Jede negative Zahl ist kleiner als jede nichtnegative Zahl. Sind beide Zahlen negativ, so gilt a ≤ b genau dann, wenn −b ≤ −a gilt.

Für rationale Zahlen a₀/a₁ und b₀/b₁ mit ganzzahligen Zählern a₀, b₀ und positiven natürlichen Nennern a₁, b₁ wird definiert:

a₀/a₁ ≤ b₀/b₁ genau dann, wenn a₀ · b₁ ≤ b₀ · a₁.

Reelle Zahlen können als Dedekindsche Schnitte dargestellt werden. Sind α und β die Mengen aller rationalen Zahlen unterhalb der reellen Zahlen a beziehungsweise b, dann gilt a ≤ b genau dann, wenn α ⊆ β ist. Bei einer Darstellung durch rationale Cauchy-Folgen (aₙ) und (bₙ) gilt a ≤ b genau dann, wenn a = b ist oder bis auf endlich viele Indizes aₙ ≤ bₙ gilt.

Allgemeine Ordnungsgesetze

Die Relation < ist transitiv: Aus x < y und y < z folgt x < z. Außerdem gilt die Trichotomie: Für je zwei Zahlen x und y trifft genau eine der Möglichkeiten x < y, y < x oder x = y zu. Eine Relation mit Transitivität und Trichotomie heißt strenge Totalordnung. Auch > ist eine strenge Totalordnung.

Daraus folgen die Irreflexivität, nach der niemals x < x gilt, und die Asymmetrie: Aus x < y folgt, dass y < x nicht gilt.

Die Relation ≤ ist ebenfalls transitiv. Sie ist außerdem reflexiv, weil stets x ≤ x gilt, und antisymmetrisch: Für x ≠ y können nicht gleichzeitig x ≤ y und y ≤ x gelten. Sie ist total, weil für beliebige x und y mindestens x ≤ y oder y ≤ x gilt. Eine Relation mit diesen Eigenschaften heißt Totalordnung. Entsprechendes gilt für ≥.

Rechnen mit Ungleichungen

Die Ordnung ist mit der Addition verträglich: Aus x < y folgt für jede passende Zahl a die Ungleichung x + a < y + a. Umgekehrt darf auf beiden Seiten derselbe Summand wieder abgezogen werden. Wo die Subtraktion definiert ist, gilt daher x < y genau dann, wenn y − x > 0; entsprechend gilt x > y genau dann, wenn y − x < 0.

Beim Bilden des additiven Inversen kehrt sich die Ordnung um: x < y gilt genau dann, wenn −x > −y.

Auch bei der Multiplikation hängt die Wirkung vom Vorzeichen des Faktors ab:

• Die Multiplikation mit einer positiven Zahl erhält die Richtung der Ungleichung. • Die Multiplikation mit 0 ergibt auf beiden Seiten denselben Wert: x · 0 = y · 0. • Aus x ≤ y und a ≥ 0 folgt x · a ≤ y · a. Die Umkehrung gilt nicht allgemein, insbesondere nicht für a = 0. • Ist x < y und a negativ, so kehrt sich das Vergleichszeichen um: x · a > y · a.

Die abstrakte mathematische Struktur, in der Ordnung, Addition und Multiplikation entsprechend zusammenpassen, wird als geordneter Körper behandelt.

Besonderheiten und Berechnung

Die natürlichen Zahlen ℕ bilden eine diskrete Ordnung: Zwischen einer Zahl x und ihrem Nachfolger x + 1 liegt keine weitere natürliche Zahl. Ihr Minimum ist 0, wobei manche Definitionen die natürlichen Zahlen mit 1 beginnen. Es gibt keine maximale natürliche Zahl. Nur 0 besitzt keinen Vorgänger. Außerdem ist ℕ wohlgeordnet: Jede nicht leere Teilmenge besitzt ein Minimum.

Auch die ganzen Zahlen ℤ sind diskret. Jede ganze Zahl x hat den Vorgänger x − 1 und den Nachfolger x + 1. Es gibt weder ein Minimum noch ein Maximum; deshalb sind die ganzen Zahlen nicht wohlgeordnet.

Die rationalen Zahlen ℚ sind dicht geordnet: Zwischen je zwei rationalen Zahlen x < z liegt eine weitere rationale Zahl, zum Beispiel y = (x + z)/2 mit x < y < z. Daher besitzt keine rationale Zahl einen unmittelbaren Vorgänger oder Nachfolger.

Auch die reellen Zahlen ℝ sind dicht. Zusätzlich sind sie ordnungsvollständig: Jede beschränkte Teilmenge besitzt ein Supremum, also eine kleinste obere Schranke, und ein Infimum, also eine größte untere Schranke. Zu jeder reellen Zahl gibt es eine natürliche Zahl, die mindestens ebenso groß ist; die natürlichen Zahlen liegen daher konfinal in ℚ und ℝ. Die Ordnung von ℝ hat abzählbare Konfinalität. Jede dieser Ordnungen erzeugt eine Ordnungstopologie; in der Ordnungstopologie von ℝ liegen die rationalen Zahlen dicht.

Natürliche Zahlen ohne führende Nullen können im Stellenwertsystem verglichen werden: a < b gilt, wenn die Ziffernfolge von a kürzer ist oder wenn beide Folgen gleich lang sind und die Folge von a lexikographisch, also von links nach rechts an der ersten unterschiedlichen Stelle, kleiner ist. Rechner verwenden für Zahlen fester Größe auch führende Nullen und können dann direkt lexikographisch vergleichen. Bei wissenschaftlicher Notation wird zuerst der Exponent und bei gleichem Exponenten die Mantisse verglichen. Prozessoren, etwa solche auf x86-Basis, besitzen eigene Instruktionen für Ganz- und Gleitkommazahlen.

Für alle reellen Zahlen gibt es wegen ihrer Überabzählbarkeit kein gemeinsames Darstellungsschema und deshalb keine allgemeine Berechnungsvorschrift zum Vergleichen. Berechenbare Zahlen können durch immer genauere rationale obere und untere Schranken beschrieben werden. Zwei verschiedene solche Zahlen lassen sich vergleichen, sobald ihre Schrankenintervalle getrennt sind. Die Gleichheit zweier allgemein so dargestellter Zahlen ist dagegen nicht berechenbar. In numerischen Anwendungen kann eine feste, beliebig klein wählbare Toleranz verwendet werden: Liegen die Zahlen näher zusammen, gelten sie als gleich.

Bei algebraischen Zahlen ist ein exakter Vergleich möglich. Sie werden durch ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten und ein rational begrenztes Intervall dargestellt, das die betreffende Nullstelle festlegt. Gemeinsame Nullstellen lassen sich über den größten gemeinsamen Teiler der Polynome bestimmen; bei Ungleichheit erfolgt der Größenvergleich über Schranken. Unter der bislang unbewiesenen Vermutung von Schanuel existiert außerdem ein Algorithmus für bestimmte Zahlen, die als Nullstellen von Gleichungssystemen mit elementaren Funktionen gegeben sind. Exakte Vergleichsverfahren werden in Computeralgebrasystemen und der algorithmischen Geometrie eingesetzt.

Ordnung, Arithmetik und Erweiterungen

In ℕ zeichnet die Ordnung die 0 als minimales Element aus. Danach lassen sich die Nachfolgerfunktion und rekursiv Addition und Multiplikation definieren. In ℤ, ℚ und ℝ bestimmt die Ordnung dagegen kein einzelnes Element; deshalb kann sie dort nicht allein die arithmetischen Operationen festlegen.

Umgekehrt kann die Ordnung durch Arithmetik beschrieben werden. Für natürliche Zahlen gilt bereits mit der Addition:

x ≤ y genau dann, wenn ein a ∈ ℕ mit x + a = y existiert.

In ℤ, ℚ und ℝ genügt die Addition allein nicht, weil x ↦ −x ein Automorphismus der additiven Gruppe ist, aber die Ordnung umkehrt. Mit der Multiplikation ist eine Definition möglich. In ℝ und allgemein in jedem euklidischen Körper sind die nichtnegativen Zahlen genau die Zahlen mit einer Quadratwurzel. Daher gilt:

x ≤ y ⇔ ∃a: x + a · a = y.

Für ganze Zahlen liefert der Vier-Quadrate-Satz die Definition:

x ≤ y ⇔ ∃a,b,c,d: x + a · a + b · b + c · c + d · d = y.

Eine entsprechende Beschreibung ist für rationale Zahlen möglich, weil eine rationale Zahl genau dann nichtnegativ ist, wenn sie als Quotient zweier Summen von jeweils vier Quadratzahlen darstellbar ist.

Die bekannten Zahlbereiche können erweitert werden: Die hyperreellen Zahlen besitzen ebenfalls eine mit Addition und Multiplikation verträgliche Ordnung, aber andere ordnungstheoretische Eigenschaften. Die Kardinalzahlen und Ordinalzahlen erweitern die natürlichen Zahlen und bleiben wohlgeordnet. Auch die surrealen Zahlen bilden einen geordneten Zahlbereich.