Umkehrregel

Kern der Umkehrregel

Die Umkehrregel stellt einen Zusammenhang zwischen der Ableitung einer Funktion und der Ableitung ihrer Umkehrfunktion her. Sie zeigt: Die Steigung der Umkehrfunktion ist an einer entsprechenden Stelle der Kehrwert der ursprünglichen Steigung.

Ist eine stetige und streng monotone Funktion f\colon I\to\mathbb {R} auf einem Intervall I an der Stelle x_{0} differenzierbar und gilt f'(x_{0})\neq 0, dann ist mit y_{0}=f(x_{0}):

(f^{-1})'(y_{0})=\frac{1}{f'(f^{-1}(y_{0}))}=\frac{1}{f'(x_{0})}.

Die strenge Monotonie sorgt dafür, dass die Funktion umkehrbar ist. Die Bedingung f'(x_{0})\neq 0 ermöglicht die Division durch die ursprüngliche Steigung. Die Umkehrregel ist eine Teilaussage des Satzes von der Umkehrfunktion. Dieser Satz existiert auch für komplexe und mehrdimensionale Funktionen.

Typische Anwendungen

Bei der Exponentialfunktion f(x)=\mathrm {e}^{x} ist f'(x)=\mathrm {e}^{x}\neq 0, und die Funktion ist stetig und streng monoton steigend. Ihre Umkehrfunktion ist der natürliche Logarithmus, f^{-1}(y)=\ln(y). Daher gilt:

\ln '(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}=\frac{1}{\mathrm {e}^{\ln(y)}}=\frac{1}{y}.

Für die Potenzfunktion f(x)=x^{n} mit n\in\mathbb {N} und x\geq 0 ist die Umkehrfunktion f^{-1}(y)=\sqrt[{n}]{y}. Aus f'(x)=nx^{n-1} folgt:

({\sqrt[{n}]{y}})'=\frac{1}{n({\sqrt[{n}]{y}})^{n-1}}=\frac{1}{n}y^{\frac{1}{n}-1}.

Für die Sinusfunktion auf dem offenen Intervall (-\pi/2,\pi/2) gilt f'(x)=\cos(x)\neq 0. Ihre Umkehrfunktion ist \arcsin(y). Für -1<y<1 ergibt sich:

\arcsin '(y)=\frac{1}{\cos(\arcsin(y))}=\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}.

Die letzte Umformung beruht auf dem trigonometrischen Pythagoras. Analog lassen sich die Ableitungen von Arkuskosinus und Arkustangens aus den Ableitungen von Kosinus beziehungsweise Tangens herleiten.

Anschauliche Herleitungen

Der Graph der Umkehrfunktion entsteht aus dem Graphen von f durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten. Ein Punkt (x_{0},y_{0}) wird dabei zu (y_{0},x_{0}). In einem Steigungsdreieck mit Katheten a und b ist die ursprüngliche Steigung f'(x_{0})=b/a. Durch die Spiegelung werden der x- und der y-Zuwachs vertauscht. Die neue Steigung ist deshalb a/b, also

(f^{-1})'(y_{0})=\frac{a}{b}=\frac{1}{b/a}=\frac{1}{f'(x_{0})}.

Eine Spiegelung ist für die geometrische Erklärung jedoch nicht unbedingt nötig. Die Bildung der Umkehrfunktion entspricht dem Vertauschen der Variablen x und y beziehungsweise der Koordinatenachsen. Die Kurve ist je nach Wahl der unabhängigen Variablen zugleich der Graph von f und von f^{-1}. Die Tangente bleibt dieselbe Gerade; nur ihre Beschreibung als Steigung ändert sich von b/a zu a/b.

Formal lässt sich die Regel auch mit Differentialen begründen. Für y=f(x) und x=f^{-1}(y) gilt in Leibniz-Notation:

\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}=\frac{1}{y'(x)}.

Eine weitere Herleitung verwendet die Kettenregel. Aus (f\circ f^{-1})(y)=y folgt:

f'(f^{-1}(y))\cdot(f^{-1})'(y)=1.

Durch Division durch f'(f^{-1}(y))\neq 0 erhält man die Umkehrregel. Dafür muss f an der Stelle x=f^{-1}(y) differenzierbar sein und eine von null verschiedene Ableitung besitzen; außerdem muss f^{-1} an der Stelle y=f(x) differenzierbar sein.

Satz auf einem Intervall und Beweis

Sei I\subseteq\mathbb {R} ein nicht-triviales Intervall und f\colon I\to\mathbb {R} eine stetige, streng monotone Funktion mit Umkehrfunktion f^{-1}. Ist f in x_{0}\in I differenzierbar und gilt f'(x_{0})\neq 0, dann ist f^{-1} an der Stelle y_{0}=f(x_{0}) differenzierbar und

(f^{-1})'(y_{0})=\frac{1}{f'(f^{-1}(y_{0}))}=\frac{1}{f'(x_{0})}.

Auf Intervallen ist es gleichbedeutend, statt strenger Monotonie die Injektivität von f zu verlangen. Als Zielbereich kann ohne Einschränkung das Intervall J=f(I) gewählt werden. Dadurch ist f bijektiv und die Umkehrfunktion existiert. Wird Differenzierbarkeit auf dem gesamten Intervall gefordert, kann auf die zusätzliche Annahme der Stetigkeit verzichtet werden.

Ein Beweis kann über Folgen und Differenzenquotienten geführt werden. Sei y_{n}\in f(I)\setminus\{f(x_{0})\} eine beliebige Folge mit y_{n}\to f(x_{0}), und setze x_{n}=f^{-1}(y_{n}). Aus den Voraussetzungen folgt, dass f^{-1} bijektiv und stetig ist; daher gilt x_{n}\to x_{0} und x_{n}\neq x_{0}. Dann:

(f^{-1})'(f(x_{0}))=\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n}-x_{0}}{f(x_{n})-f(x_{0})}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\frac{f(x_{n})-f(x_{0})}{x_{n}-x_{0}}}=\frac{1}{f'(x_{0})}.

Komplexe, mehrdimensionale und globale Fassungen

Für komplexe Funktionen gilt: Ist D\subset\mathbb {C} offen, f in D holomorph, z_{0}\in D und f'(z_{0})\neq 0, dann gibt es offene Umgebungen U von z_{0} und V von f(z_{0}), sodass die Einschränkung f|_{U}:U\to V bijektiv und f^{-1} in V holomorph ist. Für alle z\in V gilt:

(f^{-1})'(z)=\frac{1}{f'(f^{-1}(z))}.

Bei einer stetig differenzierbaren Funktion f\colon\Omega\to\mathbb {R}^{n} mit offener Menge \Omega\subset\mathbb {R}^{n} genügt die Invertierbarkeit der Jacobi-Matrix Df(x_{0}). Dann ist f lokal ein Homöomorphismus, also gibt es offene Umgebungen U von x_{0} und V von f(x_{0}), zwischen denen f ein Homöomorphismus ist. Für die Ableitung der Umkehrabbildung gilt:

Df^{-1}(f(x_{0}))=Df(x_{0})^{-1}.

Der Beweis ist ein Korollar des Satzes von der impliziten Funktion.

Der Satz von der Umkehrabbildung ist zunächst lokal: Er garantiert die lokale Bijektivität um jeden Punkt, aber nicht automatisch die globale Injektivität. Ein topologisches Lemma erweitert dies unter bestimmten Voraussetzungen. Ist A eine abgeschlossene Teilmenge einer zweitabzählbaren topologischen Mannigfaltigkeit X, Z ein topologischer Raum und f\colon X\to Z auf A ein injektiver lokaler Homöomorphismus, dann ist f auf einer Umgebung von A injektiv.

Daraus folgt eine globale Fassung: Ist f\colon U\to V eine stetig differenzierbare Abbildung zwischen offenen Teilmengen von \mathbb {R}^{n} oder von Mannigfaltigkeiten, auf einer abgeschlossenen Teilmenge A\subset U injektiv, und ist die Jacobi-Matrix in jedem Punkt von A invertierbar, dann ist f auf einer Umgebung A' von A injektiv und f^{-1}\colon f(A')\to A' stetig differenzierbar. Für ein einzelnes A, das nur aus einem Punkt besteht, entspricht diese Aussage dem üblichen Satz von der Umkehrabbildung.