Arkussinus und Arkuskosinus

Was sind Arkussinus und Arkuskosinus?

Der Arkussinus (arcsin oder asin) und der Arkuskosinus (arccos oder acos) sind die Umkehrfunktionen der geeignet eingeschränkten Sinus- bzw. Kosinusfunktion. Sinus und Kosinus bilden einen Winkel auf einen Wert im Intervall [-1,1] ab; die Arkusfunktionen bilden umgekehrt einen Wert aus [-1,1] auf einen zugehörigen Winkel ab. Da Sinus und Kosinus periodisch sind, gibt es zu jedem Wert aus [-1,1] unendlich viele Winkel. Deshalb beschränkt man den Definitionsbereich von Sinus auf [-π/2, π/2] und von Kosinus auf [0, π]; auf diesen Intervallen sind beide Funktionen streng monoton und damit umkehrbar. Zusammen mit dem Arkustangens bilden Arkussinus und Arkuskosinus den Kern der Arkusfunktionen. Auf Taschenrechnern erscheinen auch die Schreibweisen sin⁻¹ und cos⁻¹, die mit den Kehrwerten Kosekans und Sekans verwechselt werden können.

Definition und Hauptwert

Winkel werden im wissenschaftlichen Bereich im Bogenmaß angegeben, in Anwendungen oft in Grad. Weil die Sinusfunktion im Bogenmaß 2π-periodisch und innerhalb einer Periode nicht injektiv ist, muss man sie einschränken; dabei entstehen verschiedene Zweige. Der Hauptzweig (Hauptwert) ist: arcsin: [-1,1] → [-π/2, π/2] als Umkehrfunktion der auf [-π/2, π/2] eingeschränkten Sinusfunktion. Analog: arccos: [-1,1] → [0, π] als Umkehrfunktion der auf [0, π] eingeschränkten Kosinusfunktion. In Gradmaßen lauten die Wertebereiche entsprechend [-90°, 90°] für den Arkussinus und [0°, 180°] für den Arkuskosinus. Die beiden Funktionen lassen sich ineinander umrechnen über: arccos(x) + arcsin(x) = π/2.

Eigenschaften und negative Argumente

Eigenschaften der beiden Funktionen (Bogenmaß): Definitionsmenge jeweils [-1,1]. Bildmenge: [-π/2, π/2] für Arkussinus, [0, π] für Arkuskosinus. Monotonie: Arkussinus streng monoton steigend, Arkuskosinus streng monoton fallend. Symmetrien: Arkussinus ist ungerade (punktsymmetrisch zu (0,0)): arcsin(-x) = -arcsin(x); Arkuskosinus ist punktsymmetrisch zu (0, π/2): arccos(x) = π - arccos(-x). Keine Asymptoten, keine Sprungstellen, keine Polstellen. Nullstellen: eine bei x = 0 (Arkussinus), eine bei x = 1 (Arkuskosinus). Extrema: Arkussinus hat globales Maximum π/2 an der Stelle 1 und globales Minimum -π/2 an der Stelle -1; Arkuskosinus hat globales Maximum π an der Stelle -1 und globales Minimum 0 an der Stelle 1. Wendepunkte: (0,0) für Arkussinus, (0, π/2) für Arkuskosinus. Für negative Argumente gilt: arcsin(-x) = -arcsin(x) und arccos(-x) = π - arccos(x).

Ableitungen, Stammfunktionen und Integrale

Ableitungen (für -1 < x < 1): d/dx arcsin(x) = 1/√(1-x²); d/dx arccos(x) = -1/√(1-x²); also d/dx arccos(x) = -d/dx arcsin(x). Stammfunktionen: ∫arcsin(x) dx = x·arcsin(x) + √(1-x²) + C und ∫arccos(x) dx = x·arccos(x) - √(1-x²) + C. Standardisierte Integraldarstellungen: arcsin(x) = ∫₀ˣ dt/√(1-t²) = ∫₀¹ x/√(1-x²y²) dy sowie arccos(x) = ∫ₓ¹ dt/√(1-t²) = π/2 - ∫₀¹ x/√(1-x²y²) dy. Der kardinalisierte Arkussinus ist die Funktion x ↦ arcsin(x)/x; seine Stammfunktion ist das nicht elementare Arkussinusintegral: ∫₀ˣ (arcsin(y)/y) dy = Si₂(x).

Reihenentwicklungen

Taylorreihe des Arkussinus (Kurzform): arcsin(x) = x + (1/2)·x³/3 + (1·3)/(2·4)·x⁵/5 + (1·3·5)/(2·4·6)·x⁷/7 + … Allgemein: arcsin(x) = Σₖ₌₀^∞ ((2k-1)!!/(2k)!!) · x^(2k+1)/(2k+1) = Σₖ₌₀^∞ C(2k,k) · x^(2k+1)/(4^k(2k+1)), wobei !! die Doppelfakultät ist und CBC(k) = C(2k,k) = (2k)!/(k!)² der Zentralbinomialkoeffizient. Für den Arkuskosinus gilt mit arccos x = π/2 - arcsin x die analoge Reihe. Beide Reihen haben den Konvergenzradius 1. Im Gegensatz zum Arkussinus selbst steht beim Quadrat des Arkussinus der Zentralbinomialkoeffizient im Nenner: arcsin(x)² = Σₙ₌₁^∞ 2^(2n-1)/(n²·CBC(n)) · x^(2n) = x² + (1/3)x⁴ + (8/45)x⁶ + (4/35)x⁸ + … Dasselbe gilt für arcsin(x)/√(1-x²) = Σₙ₌₁^∞ 2^(2n-1)/(n·CBC(n)) · x^(2n-1). Hinweis: Der Reihenentwicklungs-Abschnitt ist laut Wikipedia nicht hinreichend belegt.

Verkettungen, Arkustangens-Beziehung und Additionstheoreme

Verkettungen: sin(arccos(x)) = √(1-x²) und cos(arcsin(x)) = √(1-x²); ferner sin(arctan(x)) = x/√(1+x²) und cos(arctan(x)) = 1/√(1+x²). Beziehung zum Arkustangens (wichtig für Programmiersprachen ohne arcsin/arccos): für |x| < 1 gilt arcsin(x) = arctan(x/√(1-x²)) und arccos(x) = π/2 - arctan(x/√(1-x²)); mit arctan(1/0) := π/2 gelten die Formeln auch für x = ±1. Alternativ für |x| ≤ 1: arcsin(x) = 2·arctan(x/(1+√(1-x²))) und arccos(x) = π/2 - 2·arctan(x/(1+√(1-x²))); für -1 < x ≤ 1 vereinfacht sich Letzteres zu arccos(x) = 2·arctan(√((1-x)/(1+x))). Additionstheoreme: arcsin x + arcsin y ergibt arcsin(x√(1-y²) + y√(1-x²)), wenn xy ≤ 0 oder x² + y² ≤ 1; sonst π - arcsin(…) für x>0, y>0 und x²+y²>1, bzw. -π - arcsin(…) für x<0, y<0 und x²+y²>1. Für arccos x + arccos y gilt arccos(xy - √(1-x²)√(1-y²)) wenn x+y ≥ 0, sonst 2π - arccos(…). Daraus folgen die Doppelwettformeln: 2·arcsin x = arcsin(2x√(1-x²)) wenn 2x² ≤ 1, sonst π - arcsin(…) (x>0) bzw. -π - arcsin(…) (x<0); 2·arccos x = arccos(2x² - 1) wenn x ≥ 0, sonst 2π - arccos(2x² - 1). Für komplexe Argumente a + b·i (a, b reell) existiert eine Formel mit arccos und arcosh (Areakosinus hyperbolicus) sowie der Funktion sgn⁺(x) := 2Θ(x) - 1 (= +1 für x ≥ 0, sonst -1, mit der Heaviside-Funktion Θ); dabei gilt arccos(a+bi) = π/2 - arcsin(a+bi).