Kugeldreieck

Grundbegriff und Maße

Ein Kugeldreieck, auch sphärisches Dreieck genannt, ist in der sphärischen Geometrie ein Teil einer Kugeloberfläche, der von drei Großkreisbögen begrenzt wird. Großkreise sind Kreise auf der Kugeloberfläche, deren Mittelpunkt im Kugelmittelpunkt liegt. Die drei Ecken entstehen an den Schnittpunkten je zweier begrenzender Großkreise.

Wie beim ebenen Dreieck spricht man von Seiten und Winkeln. Die Länge einer Kugeldreiecksseite ist jedoch nicht unmittelbar die Bogenlänge, sondern der zugehörige Mittelpunktswinkel beziehungsweise Zentriwinkel. Im Bogenmaß gilt:

Winkel = Kreisbogen / Radius.

Zur Definition der Längen wählt man zunächst die Skala so, dass die Kugel eine Einheitskugel ist, und misst anschließend die Länge des Kreisbogens in dieser Skala. Eine Seite, die einem Viertel des Kugel- und Großkreisumfangs entspricht, hat beispielsweise die Länge π/2, also 90°.

Die Innenwinkel an den drei Ecken werden durch die Tangenten der Seiten definiert. Sie sind damit die Schnittwinkel zwischen den Ebenen, in denen die begrenzenden Großkreisbögen liegen.

Eulersche Kugeldreiecke

Meist wird der Begriff auf eulersche Kugeldreiecke eingeschränkt. Sie sind nach Leonhard Euler benannt und erfüllen die Bedingung, dass alle Winkel kleiner als π beziehungsweise 180° sind. Daraus folgt, dass auch alle Seiten kleiner als r · π sind; auf der Einheitskugel gilt also: Seitenlänge < π.

Diese Einschränkung sorgt für eine eindeutige und anschaulich sinnvolle Wahl der Seiten. Zu drei beliebigen Punkten der Kugeloberfläche, die nicht auf einem gemeinsamen Großkreis liegen, könnten ohne diese Bedingung mehrere Kugeldreiecke gehören. Als Seite wird deshalb das kürzeste Bogenstück des entsprechenden Großkreises aufgefasst.

Zwei Punkte auf einem Kreis sind genau dann am weitesten voneinander entfernt, wenn sie sich diametral gegenüberliegen, also 180° voneinander entfernt sind. Ein Bogenstück, das über 180° hinausgeht, ist in der anderen Richtung kürzer als 180° und kann daher als die Seite eines eulerschen Dreiecks gewählt werden.

Fläche und sphärischer Exzess

Für ein Kugeldreieck mit den Innenwinkeln α, β und γ im Bogenmaß und dem Kugelradius r gilt für den Flächeninhalt A_D:

A_D = (α + β + γ − π) · r².

Auf der Einheitskugel mit Radius 1 vereinfacht sich die Formel zu:

A_D = α + β + γ − π.

Die Größe α + β + γ − π heißt sphärischer Exzess. Sie gibt an, um wie viel die Innenwinkelsumme den Wert π beziehungsweise 180° übersteigt. Im Unterschied zum euklidischen Dreieck ist die Innenwinkelsumme auf der Kugel daher nicht konstant.

Für ein allgemeines Kugeldreieck gilt:

π < α + β + γ < 5π.

Für ein eulersches Kugeldreieck gilt:

π < α + β + γ < 3π.

Bei einem kleinen Kugeldreieck, also einem Dreieck im Vergleich zur gesamten Kugeloberfläche, ist der Überschuss gegenüber π nur gering. Das Dreieck nähert sich dann durch Verebnung dem ebenen Fall an. Der Satz von Legendre beschreibt, wie sphärische Dreiecke geringer Größe durch Reduktion der Winkel verebnet werden können. Bedeckt ein Dreieck dagegen fast die halbe Kugeloberfläche, sind seine drei Winkel fast π groß. Die Winkelsumme liegt dann nur wenig unter 3π und der sphärische Exzess ist beinahe 2π.

Für die Herleitung wird die Kugeloberfläche durch die drei Großkreise der Eckpunkte in acht Dreiecke beziehungsweise vier Gegendreieckspaare geteilt. Ein Kugelzweieck mit Öffnungswinkel α hat den Flächeninhalt 2α · r²; entsprechend gilt dies für die Öffnungswinkel β und γ. Durch Zusammensetzen der Teilflächen und Verwenden der Kugeloberfläche 4πr² entsteht die oben angegebene Flächenformel.

Seitensumme und Kongruenz

Für die Seiten a, b und c gilt sowohl im allgemeinen sphärischen Dreieck als auch im eulerschen Kugeldreieck:

0 < a + b + c < 2π.

Die Kongruenzsätze unterscheiden sich je nachdem, ob es sich um ein eulersches oder ein nichteulersches Dreieck handelt. Ähnliche Kugeldreiecke sind bereits kongruent, weil ihr Flächeninhalt proportional zum sphärischen Exzess ist und daher gleich groß ist.

Der aus der ebenen Geometrie bekannte Kongruenzsatz sww (Seite-Winkel-Winkel) gilt auf der Kugel nicht: Die gegebenen Angaben bestimmen ein Dreieck nicht immer eindeutig. Für eulersche Dreiecke gilt folgende Übersicht:

• sss (Seite-Seite-Seite) und das duale www (Winkel-Winkel-Winkel): Die Kongruenzklasse ist eindeutig bestimmt.
• ssw (Seite-Seite-Winkel) und das duale sww (Seite-Winkel-Winkel): Die Kongruenzklasse ist nicht eindeutig bestimmt.
• sws (Seite-Winkel-Seite) und das duale wsw (Winkel-Seite-Winkel): Die Kongruenzklasse ist eindeutig bestimmt.

In nichteulerschen Dreiecken bestimmen selbst sss und sws noch keine eindeutige Kongruenzklasse. Allgemein ist ein Dreieck durch sww nicht eindeutig bestimmt.

Sinus- und Kosinussatz

Für ein Kugeldreieck gilt der sphärische Sinussatz:

sin a / sin α = sin b / sin β = sin c / sin γ.

Dabei sind a, b und c die Seiten, also die Kreisbögen beziehungsweise ihre Winkelmaße, und α, β und γ die jeweils gegenüberliegenden Winkel auf der Kugeloberfläche.

Beim sphärischen Kosinussatz werden die Seitenlängen im Winkelmaß angegeben. Für die Seite c gilt der Seiten-Kosinussatz:

cos c = + cos a · cos b + sin a · sin b · cos γ.

Analog kann die Formel für die Seiten a beziehungsweise b verwendet werden. Gegenüber dem ebenen Kosinussatz ist die Umkehrung des Vorzeichens zu beachten.

Daneben gibt es den Winkel-Kosinussatz:

cos γ = − cos α · cos β + sin α · sin β · cos c.

Hier ist das erste Vorzeichen negativ.

Tangenssatz

Für Kugeldreiecke gelten drei Formen des Tangensatzes:

tan((a + b)/2) / tan((a − b)/2) = tan((α + β)/2) / tan((α − β)/2),

tan((b + c)/2) / tan((b − c)/2) = tan((β + γ)/2) / tan((β − γ)/2),

tan((c + a)/2) / tan((c − a)/2) = tan((γ + α)/2) / tan((γ − α)/2).

Dabei bezeichnen a, b und c die Seiten beziehungsweise die Kreisbögen des Kugeldreiecks. Die Größen α, β und γ sind die jeweils gegenüberliegenden Winkel auf der Kugeloberfläche.