Trägheitsmoment

Bedeutung, Einheit und anschauliche Wirkung

Das Trägheitsmoment, auch Massenträgheitsmoment oder Inertialmoment, beschreibt, wie stark sich ein starrer Körper gegen eine Änderung seiner Winkelgeschwindigkeit bei einer Drehung um eine bestimmte Achse „wehrt“. Es entspricht bei Drehbewegungen der Masse bei geradlinigen Bewegungen. Es kann als Drehmoment geteilt durch Winkelbeschleunigung und gleichbedeutend als Drehimpuls geteilt durch Winkelgeschwindigkeit aufgefasst werden.

Entscheidend ist nicht nur die gesamte Masse, sondern ihre Verteilung relativ zur Drehachse: Massenelemente in großem Abstand tragen besonders stark bei, weil der Abstand quadratisch eingeht. Wird Masse zur Achse hin verlagert, wird das Trägheitsmoment kleiner. Die üblichen Formelzeichen sind I und J, zur Vermeidung einer Verwechslung mit der Stromstärke auch Θ. Die SI-Einheit lautet kg·m²; im cgs-System g·cm².

Eine lange Balancierstange hat gegenüber einem gleich schweren kompakten Sandsack ein größeres Trägheitsmoment bezüglich des Seils. Sie verhindert das Kippen nicht, verlangsamt es aber und schafft damit Zeit zum Ausgleichen. Bei einem 30-cm-Lineal auf einer Kante unterscheiden sich die mittleren Abstandsquadrate mit über 300 cm² beziehungsweise rund 5,3 cm² stark. Der quadratische Einfluss lässt sich daraus erklären, dass ein Massenelement im doppelten Abstand bei gleicher Winkelbeschleunigung doppelte tangentiale Beschleunigung benötigt; doppelte Kraft und doppelter Hebelarm erfordern dann das vierfache Drehmoment.

Beim Drehstuhl oder bei einer Pirouette führt das Heranziehen von Armen und Beinen zu einem kleineren Trägheitsmoment. Weil der Drehimpuls erhalten bleibt, wird die Winkelgeschwindigkeit größer; beim Ausstrecken wird die Drehung wieder langsamer. Schwere Gegenstände in den Händen verstärken diesen Effekt.

Definition aus Massenverteilung und Rotationsenergie

Für eine kontinuierliche Massenverteilung lautet die allgemeine Definition

I = ∫V r⊥² ρ(r⃗) dV = ∫V r⊥² dm.

Dabei ist ρ(r⃗) die Dichte, dV ein Volumenelement, dm = ρ(r⃗)dV dessen Masse und r⊥ der senkrechte Abstand dieses Elements von der Rotationsachse. Massen, die parallel zur Drehachse verschoben werden, ändern das Trägheitsmoment nicht.

Besteht ein starrer Körper aus N Massenpunkten mi, gilt

I = Σi mi ri,⊥².

Jeder Punkt besitzt bei Winkelgeschwindigkeit ω die Bahngeschwindigkeit vi = ω · ri,⊥. Seine Rotationsenergie ist daher die Summe der kinetischen Energien aller Punkte:

Erot = 1/2 Σi mi ri,⊥² ω² = 1/2 Iω².

Wählt man die z-Achse als Drehachse und hat der i-te Punkt die Koordinaten (xi, yi, zi), dann ist ri,⊥² = xi² + yi² und somit I = Σi mi(xi² + yi²). Bei kontinuierlicher Verteilung entsteht das Integral als Grenzfall einer immer feineren Zerlegung in Teilvolumina.

Für die achsenparallele Komponente des Drehimpulses gilt L∥ = Iω. Daraus folgt ebenfalls Erot = L∥²/(2I). Allgemein zeigen Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit eines starren Körpers jedoch in der Regel nicht in dieselbe Richtung.

Analogie zur linearen Bewegung und wichtige Rechenregeln

Die Grundgleichungen der Rotation entsprechen denen der geradlinigen Bewegung:

M = I · α entspricht F = m · a.
L = I · ω entspricht p = m · v.
E = 1/2 I · ω² entspricht E = 1/2 m · v².

Hier sind M das Drehmoment, α die Winkelbeschleunigung, L der Drehimpuls, p der Impuls und E die kinetische Energie.

Für einen homogenen rotationssymmetrischen Körper, der um seine Symmetrieachse rotiert und dessen Radius bei Höhe z r(z) ist, gilt von z = 0 bis z = H:

I = 1/2 πρ ∫0H r(z)⁴ dz.

Ist die Oberfläche durch die beim Radius r erreichte Höhe h(r) beschrieben, gilt bis zum maximalen Radius R:

I = 2πρ ∫0R r³ h(r) dr.

Der Steinersche Satz ermöglicht den Wechsel zwischen parallelen Achsen. Ist IS das Trägheitsmoment um eine Achse durch den Schwerpunkt, dann gilt für eine parallele Achse im Abstand d:

IP = IS + md².

Für zwei beliebige parallele Achsen lautet die verallgemeinerte Form:

Ineu = Ialt + m(dneu² − dalt²).

Für eine beliebig geformte, sehr dünne Scheibe in der xy-Ebene gilt der Satz über senkrechte Achsen: Iz = Ix + Iy. Die z-Achse steht dabei senkrecht auf der Scheibe; die x- und y-Achse liegen in der Scheibenebene, stehen senkrecht aufeinander und schneiden sich auf der z-Achse.

Trägheitstensor und Hauptträgheitsachsen

Ist die Drehachse nicht vorgegeben, genügt ein einzelnes Trägheitsmoment nicht. Der Trägheitstensor I̲ ist eine Matrix aus den Trägheitsmomenten bezüglich der drei Koordinatenachsen auf der Hauptdiagonale und den Deviationsmomenten auf den Nebendiagonalen. Für eine beliebige Achse durch den Schwerpunkt mit Winkelgeschwindigkeit ω⃗ gilt

I = (1/ω²) Σi=1³ Σj=1³ Iij ωi ωj

beziehungsweise I = (1/ω²) ω⃗T · I̲ · ω⃗.

Die Hauptträgheitsachsen sind drei zueinander senkrechte Achsen durch den Massenmittelpunkt. Um eine von ihnen ist das Trägheitsmoment im Allgemeinen minimal, um eine andere maximal; die dritte steht auf beiden senkrecht. Im Hauptachsensystem ist der Trägheitstensor diagonal. Seine Eigenwerte heißen Hauptträgheitsmomente. Bei homogener Massenverteilung fallen vorhandene Symmetrieachsen mit Hauptträgheitsachsen zusammen.

Mit iα = ∫V xα²ρ dV > 0 gelten I1 = i2 + i3, I2 = i3 + i1 und I3 = i1 + i2. Daher ist die Summe zweier Hauptträgheitsmomente stets größer als das dritte; sie erfüllen die Dreiecksungleichungen. Sind zwei Hauptträgheitsmomente gleich, heißt der Körper symmetrischer Kreisel. Sind alle drei gleich, ist jede Achse durch den Massenmittelpunkt eine Hauptträgheitsachse; dies gilt etwa für Kugel, gleichseitiges Tetraeder und Würfel.

Bei einer fest eingespannten Achse ist L⃗ = I̲ω⃗ zu verwenden. Im Allgemeinen ist L⃗ dann nicht parallel zur Drehachse und nicht zeitlich konstant; die Lager müssen Drehmomente aufbringen. Nur bei einer Hauptträgheitsachse gilt L⃗ ∥ ω⃗. Für die Komponente entlang der Achse bleiben L = Iω und Erot = 1/2 Iω² = L²/(2I) gültig.

Typische Körper und Beispiel Vollkugel

Für die angegebenen Achsen durch den Schwerpunkt gelten bei konstanter Dichte unter anderem:

Punktmasse im Abstand r: I = mr².
Vollzylinder um die Symmetrieachse: I = 1/2 mr².
Dünner Stab der Länge l um eine Querachse durch die Mitte: I ≈ 1/12 ml²; durch ein Ende: I ≈ 1/3 ml².
Vollkugel um eine Achse durch den Mittelpunkt: I = 2/5 mr².
Dünne Hohlkugel: I ≈ 2/3 mr².
Quader um eine Achse parallel zur Kante c: I = 1/12 m(a² + b²).
Kegel um seine Achse: I = 3/10 mr².
Volltorus mit Radius R und halber Dicke r um die Symmetrieachse: I = m(3/4 r² + R²).

Für eine homogene Vollkugel mit Radius R, Dichte ρ und Drehachse entlang der z-Achse wird I = ρ∫V(x² + y²)dV berechnet. In Kugelkoordinaten gilt x = r sin ϑ cos φ, y = r sin ϑ sin φ, z = r cos ϑ und dV = r² sin ϑ dr dϑ dφ. Damit ergibt sich

I = ρ ∫0R dr ∫0π dϑ ∫02π dφ r⁴ sin³ϑ.

Aus ∫0π sin³ϑ dϑ = 4/3 folgt schließlich I = 2/5 ρVR² = 2/5 mR².

Bei Himmelskörpern ist das Trägheitsmoment um die Rotationsachse stets das größte. Bei der Erde beträgt die Differenz zwischen diesem polaren und dem äquatorialen Hauptträgheitsmoment 0,3 Prozent; sie entspricht etwa der Erdabplattung von 1:298,24. Beim schnell rotierenden Jupiter sind Differenz und Abplattung rund 20-mal größer.

Messung mit dem Drehtisch

Zur Messung dient ein Drehtisch mit drehbarer Kreisscheibe und Schneckenfeder. Die Feder erzeugt ein rücktreibendes Drehmoment D = −Drφ. Dr heißt Direktionsmoment oder Richtmoment. Für die Scheibe mit Trägheitsmoment I0 ist die Schwingungsdauer

T0 = 2π √(I0/Dr).

Legt man einen Körper mit bekanntem Trägheitsmoment I1 auf, erhält man

T1 = 2π √((I0 + I1)/Dr)

und damit T1² − T0² = 4π² I1/Dr. So lässt sich zunächst Dr und anschließend I0 bestimmen. Für einen beliebigen aufgelegten Körper folgt aus der gemessenen Dauer T:

T = 2π √((I0 + I)/Dr).

Momente sind allgemein Kenngrößen von Verteilungen. Sie werden durch Integration einer Verteilung berechnet, die mit einem potenzierten Abstand gewichtet wird; das Massenträgheitsmoment ist in diesem Sinn mit dem Flächenträgheitsmoment verwandt.