Flächenträgheitsmoment

Grundidee und Bedeutung

Das Flächenträgheitsmoment, auch Flächenmoment 2. Grades genannt, ist eine geometrische Größe eines Querschnitts. Es wird in der Festigkeitslehre verwendet, um Verformungen und Spannungen von Trägern bei Biegung und Torsion zu berechnen. Es beschreibt also nicht das Material selbst, sondern wie die Fläche eines Querschnitts zu bestimmten Achsen oder Punkten verteilt ist.

Je größer das passende Flächenträgheitsmoment ist, desto kleiner sind bei gleicher Belastung und gleichem Werkstoff im Allgemeinen die Verbiegung und die inneren Spannungen. Neben dem Flächenträgheitsmoment bestimmen auch die Belastung und Werkstoffeigenschaften wie der Elastizitätsmodul die Dehnung und Verwindung eines Trägers. Außerdem werden mit Flächenträgheitsmomenten Grenzbelastungen berechnet, bei deren Überschreiten Stäbe knicken oder Schalen beulen können.

Das Flächenträgheitsmoment darf nicht mit dem Massenträgheitsmoment verwechselt werden. Das Massenträgheitsmoment beschreibt die Trägheit eines rotierenden Körpers gegenüber einer Winkelbeschleunigung, während das Flächenträgheitsmoment eine Größe des Querschnitts ist.

Arten

Das axiale Flächenträgheitsmoment beschreibt die Abhängigkeit der Durchbiegung eines Balkens von seinem Querschnitt. Entscheidend ist besonders die Ausdehnung des Querschnitts in Richtung der angreifenden Kraft. Ein Balken biegt sich bei vertikaler Last weniger stark, wenn er hochkant statt flach angeordnet ist. Die axialen Flächenträgheitsmomente werden mit Integralen berechnet: I_y = ∫_A z^2 dA und I_z = ∫_A y^2 dA. Dabei ist z der vertikale Abstand eines Flächenelements dA von der y-Achse, y der horizontale Abstand von der z-Achse. I_y und I_z können nur positive Werte annehmen.

Das polare Flächenträgheitsmoment I_P beschreibt das Flächenträgheitsmoment einer Fläche um einen Punkt, meist den Schwerpunkt. Wichtig ist hier die radiale Ausdehnung. Es ergibt sich aus I_P = ∫_A r^2 dA = I_y + I_z, wenn der Bezugspunkt im Schnittpunkt der y- und z-Achse liegt. Nur bei kreisförmigen Flächen stimmt das polare Flächenträgheitsmoment mit dem Torsionsträgheitsmoment überein: I_P = I_T = r^4 · π / 2. Für andere Geometrien muss das Torsionsträgheitsmoment meist numerisch berechnet werden.

Das biaxiale Flächenträgheitsmoment heißt auch Flächendeviationsmoment oder Flächenzentrifugalmoment. Es wird bei asymmetrischen Profilen oder asymmetrischer Belastung verwendet. Es ist definiert als I_zy = I_yz = -∫_A zy dA. Diese Größe ist gleich Null, wenn die y-Achse oder die z-Achse eine Symmetrieachse des Querschnitts ist. Dann heißen die zugehörigen Flächenträgheitsmomente Hauptträgheitsmomente und nehmen extremale Werte an. Anders als axiale und polare Flächenträgheitsmomente kann das biaxiale Flächenträgheitsmoment positiv oder negativ sein. In der Literatur gibt es auch eine Definition mit positivem Vorzeichen; das muss in allen Formeln berücksichtigt werden.

Einheiten und Berechnung

Flächenträgheitsmomente haben die Dimension L^4, also die vierte Potenz einer Länge. In SI-Einheiten werden sie in m^4 angegeben. Häufig nutzt man mm^4 oder cm^4, damit die Zahlen handlicher sind. Im angloamerikanischen Maßsystem wird in^4 verwendet.

Alle genannten Flächenträgheitsmomente beziehen sich in der Grundform auf den Flächenschwerpunkt, also den Flächenmittelpunkt. Für parallele Achsen, die nicht durch den Schwerpunkt gehen, wird der Satz von Steiner verwendet. Er wurde 1840 von Jakob Steiner aufgestellt. Für eine Teilfläche A mit den Abständen y_s und z_s zwischen Schwerpunktachse der Gesamtfläche und Schwerpunktachse der Teilfläche gelten: I_yy* = I_yy + z_s^2 · A, I_zz* = I_zz + y_s^2 · A und I_yz* = I_zy* = I_yz - y_s z_s · A. Auf der rechten Seite müssen die Momente zum Koordinatensystem im Flächenmittelpunkt stehen; links stehen die Momente für ein beliebiges dazu paralleles Koordinatensystem.

Für beliebige geschlossene Polygone gibt es Summenformeln, wenn die Punkte gegen den Uhrzeigersinn eingegeben werden. Das Polygon hat n-1 Punkte, beginnt mit Punkt 1 und endet mit Punkt n, der identisch mit Punkt 1 ist. Punkt i hat die Koordinaten (y_i, z_i). Die Trägheitsmomente beziehen sich dabei auf den Koordinatenursprung. Die Formeln verwenden a_i = y_i z_(i+1) - y_(i+1) z_i und wurden mit der Gaußschen Trapezformel hergeleitet.

Verdrehte Achsen

Wenn die Koordinatenachsen einer Fläche um einen Winkel φ verdreht werden, lassen sich die neuen Trägheitsmomente mit Transformationsformeln berechnen. Sie lauten: I_ηη = 1/2(I_yy + I_zz) + 1/2(I_yy - I_zz) · cos(2φ) + I_yz sin(2φ), I_ξξ = 1/2(I_yy + I_zz) - 1/2(I_yy - I_zz) · cos(2φ) - I_yz sin(2φ) und I_ηξ = -1/2(I_yy - I_zz) · sin(2φ) + I_yz · cos(2φ).

Der Winkel zur Hauptträgheitsachse ist φ* = 1/2 · arctan((-2 · I_yz)/(I_yy - I_zz)). Bei Drehung um φ* werden I_ηη und I_ξξ extremal und I_ηξ = 0. Die zugehörigen Achsen heißen Hauptträgheitsachsen. Früher wurde dafür auch ein grafisches Verfahren von Christian Otto Mohr verwendet, der Mohrsche Trägheitskreis. Verdrehte Flächenträgheitsmomente werden praktisch gebraucht, wenn bei der Biegung das belastende Biegemoment nicht in Richtung eines der beiden Hauptträgheitsmomente fällt.

Abgeleitete Größen

Das Widerstandsmoment W wird in der linearen Elastizitätstheorie verwendet, um die größte Spannung am Rand eines Querschnitts zu bestimmen. Es ist der Quotient aus dem Flächenträgheitsmoment I und dem Abstand a_max des Randes von der neutralen Faser: W := I / a_max.

Der Flächenträgheitsradius hat die Dimension Länge und dient dem Vergleich geometrisch ähnlicher Bauteile, zum Beispiel Rechtecken mit gleichem Breiten-Höhen-Verhältnis. Er wird definiert durch i_y := √(I_y/A), i_z := √(I_z/A) und i_P := √(I_P/A). Er wird oft einfach „Trägheitsradius“ genannt, was aber mit dem Streumassenradius verwechselt werden kann. Außerdem ist er im Schlankheitsgrad λ enthalten.

Die Flächensteife oder Flächensteifigkeit ist selten verwendet und hat kein eigenes Formelzeichen. Sie ist das Quadrat des Trägheitsradius beziehungsweise der Quotient aus Flächenträgheitsmoment und Querschnittsfläche: Flächensteife = i^2 = I/A. Für eine gute Materialausnutzung sollen Flächenträgheitsradius und Flächensteife möglichst groß sein. Das führt jedoch zu größeren, dünnwandigeren Objekten, die stärker beulgefährdet sind.

Typische Beispiele

Für viele einfache Querschnitte gibt es feste Formeln. Beim Rechteck mit Breite b und Höhe h gilt A = b · h, I_y = b · h^3 / 12 = A · h^2 / 12 und I_z = h · b^3 / 12 = A · b^2 / 12. Das Quadrat ist der Spezialfall b = h.

Beim Kreisring gilt A = π · (R^2 - r^2) und I_y = I_z = π/4 · (R^4 - r^4) = A/4 · (R^2 + r^2). Der Kreis ist der Spezialfall r = 0. Für einen Kreis mit Durchmesser d gilt A = π · d^2 / 4 und I_y = I_z = π · d^4 / 64 = A · d^2 / 16. Beim Kreis ist I_y um alle Achsen gleich.

Ein gerechnetes Beispiel für einen Kreis mit Radius R nutzt das polare Flächenträgheitsmoment: I_p = ∫_A r^2 dA = ∫_0^R r^2 · 2πr dr = 2π ∫_0^R r^3 dr = (π/2) · R^4. Da für den Kreis I_x = I_y gilt und allgemein I_p = I_x + I_y, folgt I_x = I_y = I_p/2 = (π/4) · R^4.

Beim Rechteck kann I_y durch Integration über die Fläche berechnet werden: I_y = ∫_A z^2 dA = h^3 b / 12. Für I_z wird entsprechend I_z = ∬_A y^2 dA verwendet; die Integration führt zu I_z = h b^3 / 12.