Starrer Körper

Modell und Anwendungsbereich

Ein starrer Körper ist in der klassischen Mechanik ein idealisiertes Modell eines nicht verformbaren Körpers. Er kann eine kontinuierliche Massenverteilung oder ein System diskreter Massenpunkte, etwa Atome oder Moleküle, darstellen. Nicht verformbar bedeutet: Der Abstand zweier beliebiger Punkte bleibt unabhängig von äußeren Kräften immer gleich. Durchbiegung, Kompression, Dehnung und innere Schwingungen sind daher ausgeschlossen.

Die Mechanik starrer Körper beziehungsweise Stereomechanik untersucht ihre Bewegung unter dem Einfluss äußerer Kräfte; die Statik starrer Körper betrachtet ruhende Körper. Als Bewegungsanteile werden Translationen des ganzen Körpers und Rotationen um Achsen behandelt. Schwingungen einzelner Massenpunkte und Verformungen gehören dagegen zur Mechanik fester Körper, etwa zur Kontinuumsmechanik, Elastizitätstheorie, Plastizitätstheorie oder Festigkeitslehre.

Reale Körper sind nicht vollkommen starr, weil Kräfte stets Verformungen hervorrufen. Das Modell ist dennoch nützlich, wenn diese Verformungen für eine Rechnung klein genug sind, um sie zu vernachlässigen. Es wird besonders in Statik und Kinematik der Technischen Mechanik, in Robotik sowie bei Fahrwerken, Motoren und Mehrkörpersystemen verwendet. Die Kreiseltheorie befasst sich mit der Drehung starrer Körper.

Körperformen und zusammengesetzte Systeme

In der Technischen Mechanik werden starre Körper nach ihrer Ausdehnung und Belastung unterschieden. Annähernd eindimensional sind Stäbe und Balken: Ihre Länge ist deutlich größer als Breite oder Tiefe. An einem Stab greifen nur Zug- oder Druckkräfte an. Ein Balken kann zusätzlich Querkräfte und Momente aufnehmen, die ihn verbiegen oder tordieren, also verdrillen. Ein gekrümmter Balken heißt Bogen. Mehrere Stäbe oder Balken mit starren Verbindungen bilden einen Rahmen; gelegentlich werden auch Balken mit gelenkigen Verbindungen als Rahmen bezeichnet.

Flächige Körper sind Scheiben, Platten und Schalen. Bei einer Scheibe liegen alle Kräfte und Momente in ihrer Ebene, beispielsweise bei einer durch ihr Eigengewicht belasteten Mauer. Bei einer Platte können Kräfte und Momente unter beliebigen Winkeln angreifen, etwa bei einer durch Auflasten belasteten Decke mit Spannweite oder bei einer Mauer unter Seitenwind. Eine Schale ist nicht eben, sondern gekrümmt; die Membran ist ein Spezialfall.

Sind einzelne starre Körper durch Gelenke oder Kraftelemente verbunden, bilden sie ein System starrer Körper. Stabwerke bestehen aus mehreren Stäben; dazu gehören besonders Fachwerke. Mehrere Scheiben bilden eine Scheibenverbindung.

Reine Rotation und Winkelgeschwindigkeit

Bei festgelegter Drehachse beschreibt der Vektor der Winkelgeschwindigkeit \vec{\omega} eine fortdauernde Rotation. Er zeigt entlang der Drehachse; sein Betrag gibt an, wie schnell der Drehwinkel wächst. Jeder Körperpunkt bewegt sich auf einem Kreis mit konstantem Abstand von der Achse und mit der Bahngeschwindigkeit

\vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r}.

Dabei ist \vec{r} der Ortsvektor des Punktes, bezogen auf ein Koordinatensystem, dessen Ursprung \vec{r}=0 auf der Drehachse liegt. In Richtung von \vec{\omega} gesehen erfolgt die Rotation im Uhrzeigersinn, entsprechend der Korkenzieherregel. Bei konstanter Drehgeschwindigkeit gilt für einen Punkt mit Abstandskomponente r\sin(\vartheta): T=\tfrac{2\pi}{\omega}, s=2\pi r\sin(\vartheta) und damit v=s/T=\omega r\sin(\vartheta). Dies ist der Betrag des Kreuzprodukts \vec{\omega}\times\vec{r}.

Auch mitgedrehte Vektoren, etwa Basisvektoren \hat e'_i eines körperfesten Koordinatensystems, ändern sich nach \frac{\mathrm d\hat e'_i}{\mathrm dt}=\vec{\omega}\times\hat e'_i. Gleichzeitig ablaufende Drehungen addieren sich vektoriell: \vec{\omega}=\vec{\omega}_1+\vec{\omega}_2+\ldots. Zu jedem Zeitpunkt gibt es somit eine bestimmte Gesamtrotation um eine bestimmte Achse.

Auch jede endliche Drehung besitzt eine Achse und einen Drehwinkel. Bei mehreren nacheinander ausgeführten endlichen Drehungen lässt sich die Gesamtachse jedoch nicht als Vektorsumme der Einzelachsen bestimmen; außerdem hängt der Endzustand bei verschiedenen Achsen von der Reihenfolge ab. Für infinitesimale Drehungen gilt dies nicht. Endliche Drehungen werden häufig durch drei Eulerwinkel beschrieben: Drehwinkel um festgelegte Koordinatenachsen in festgelegter Reihenfolge. Weitere Parametrisierungen sind Quaternion, Rodrigues-Formel, Euler-Rodrigues-Formel und orthogonaler Tensor.

Allgemeine Bewegung: Translation und Rotation

Jede allgemeine Bewegung eines starren Körpers lässt sich in die Translation eines Bezugspunkts \vec{s}(t), häufig des Schwerpunkts, und eine Rotation um diesen Punkt zerlegen. Für ein Partikel, das sich zur Zeit t am Raumpunkt \vec{x} befindet, lautet die eulersche Geschwindigkeitsgleichung

\vec{v}(\vec{x},t)=\dot{\vec{s}}(t)+\vec{\omega}(t)\times[\vec{x}-\vec{s}(t)].

Die Geschwindigkeit setzt sich also aus der Translationsgeschwindigkeit des Bezugspunkts und dem durch die Rotation verursachten Anteil zusammen. Die Beschleunigung ist

\vec{a}(\vec{x},t)=\ddot{\vec{s}}(t)+\dot{\vec{\omega}}(t)\times[\vec{x}-\vec{s}(t)]+\vec{\omega}(t)\times[\vec{\omega}(t)\times[\vec{x}-\vec{s}(t)]].

Hierbei ist \dot{\vec{\omega}} die Winkelbeschleunigung und \ddot{\vec{s}} die Beschleunigung des Bezugspunkts. Wichtig ist die Unterscheidung: \vec{x} ist ein Raumpunkt, nicht das Partikel selbst, das sich gerade dort aufhält.

In der lagrangeschen Darstellung wird die Lage eines festgehaltenen Partikels P durch \vec{x}=\vec{\chi}(P,t) beschrieben. Seine Verbindung zum Bezugspunkt S wird mit einer Drehmatrix \mathbf Q(t) formuliert: \vec{\chi}(P,t)-\vec{\chi}(S,t)=\mathbf Q(t)\cdot\vec r_{SP}. Dabei ist \mathbf Q(t_0)=\mathbf 1 und \mathbf Q\mathbf Q^\top=\mathbf Q^\top\mathbf Q=\mathbf 1. Die Winkelgeschwindigkeitsmatrix \mathbf\Omega=\dot{\mathbf Q}\mathbf Q^\top ist schiefsymmetrisch. Im dreidimensionalen Raum besitzt sie den dualen Vektor \vec\omega, sodass \mathbf\Omega\cdot\vec{x}=\vec\omega\times\vec{x} für alle \vec{x} gilt.

Freiheitsgrade und Bewegungsgleichungen

Der Konfigurationsraum eines starren Körpers umfasst drei Freiheitsgrade der Position und drei der Orientierung. Ein frei bewegliches Flugzeug kann sich in drei Raumrichtungen verschieben und um drei unabhängige räumliche Achsen drehen. Wird ein Punkt des Körpers räumlich fixiert, entfallen die drei Translationsfreiheitsgrade; es bleiben drei Orientierungsfreiheitsgrade. Bei zwei festgehaltenen Punkten ist nur noch die Drehung um die raumfeste Achse durch diese Punkte möglich. Ein dritter festgehaltener Punkt, der nicht auf dieser Achse liegt, macht den Körper bewegungslos. Weitere Fixierungen führen zu statischer Überbestimmtheit.

Für die Wirkung äußerer Kräfte auf einen starren Körper sind nur die resultierende Kraft \vec F und das resultierende Drehmoment \vec M entscheidend. Kräftesysteme mit denselben Resultierenden sind daher gleichwertig. Der Trägheitstensor \mathbf I ist in einem körperfesten Schwerpunktsystem konstant.

In einem abgeschlossenen System gelten Impuls- und Drehimpulserhaltung: \vec p=m\dot{\vec{s}}(t)=\vec{\mathrm{const.}} und \vec L=\mathbf I(t)\cdot\vec\omega(t)=\vec{\mathrm{const.}}. Dabei sind m die Masse, \vec{s} der Schwerpunkt, \mathbf I(t) der Trägheitstensor bezüglich des Schwerpunkts und \vec\omega(t) die Winkelgeschwindigkeit. In nicht abgeschlossenen Systemen gilt \dot{\vec p}=m\ddot{\vec{s}}=\vec F sowie, bezüglich des Schwerpunkts oder eines unbeschleunigten Bezugspunkts, die Eulersche Gleichung \dot{\vec L}=\vec\omega\times\mathbf I\cdot\vec\omega+\mathbf I\cdot\dot{\vec\omega}=\vec M.

Bei einem konservativen Kraftfeld bleibt die mechanische Gesamtenergie konstant: E=E_{\mathrm{trans}}(t)+E_{\mathrm{rot}}(t)+E_{\mathrm{pot}}(t)=\mathrm{const.}. Translations- und Rotationsenergie ergeben zusammen die kinetische Energie. Eine Formänderungsenergie entfällt definitionsgemäß.

Eindeutigkeit und Grenze des Modells

Die Winkelgeschwindigkeit ist bei nicht eindimensionalen starren Körpern unabhängig vom gewählten Bezugspunkt. Beschreiben zwei Geschwindigkeitsfelder dieselbe Bewegung, muss für flächige oder voluminöse Körper \vec\omega_1=\vec\omega_2 gelten. Unterschiedliche Winkelgeschwindigkeiten wären nur möglich, wenn für alle Körperpunkte (\vec{x}-\vec{s}_1)\parallel(\vec\omega_1-\vec\omega_2) wäre; das kann nur bei eindimensionalen Körpern zutreffen.

Das Modell des starren Körpers ist mit der Relativitätstheorie nicht vereinbar. Es würde voraussetzen, dass der gesamte Körper gleichzeitig auf Kräfte und Drehmomente reagiert und sich deren Wirkung mit unendlicher Geschwindigkeit, also schneller als die Vakuumlichtgeschwindigkeit c, ausbreitet. In realen Körpern breiten sich solche Wirkungen gewöhnlich mit der jeweiligen Schallgeschwindigkeit aus, die weit unterhalb von c liegt.