Strömungsmechanik

Gegenstand und Vorgehensweisen

Strömungsmechanik, auch Fluidmechanik oder Strömungslehre, untersucht das physikalische Verhalten von Fluiden, also ruhenden, fließenden oder strömenden Medien. Sie liefert Gesetzmäßigkeiten für Strömungsvorgänge und hilft bei der Auslegung durch- oder umströmter Bauteile sowie bei der Überwachung von Strömungen. Anwendungsfelder sind unter anderem Maschinenbau, Chemieingenieurwesen, Wasser- und Energiewirtschaft, Meteorologie, Astrophysik und Medizin. Ihre Grundlagen liegen in Kontinuumsmechanik und Thermodynamik.

Sie verbindet drei Methoden: Analytische Methoden formulieren Gesetzmäßigkeiten als mathematische Gleichungen. Experimentelle Methoden erkunden Strömungsphänomene, um Gesetzmäßigkeiten zu finden. Numerische Methoden berechnen auch komplizierte und kurzzeitige Vorgänge und ergänzen Analytik und Experimente. Für praktische Probleme ist meist die Kombination aller drei Methoden nötig.

Ruhende, ähnliche und idealisierte Strömungen

Die Fluidstatik betrachtet ruhende Fluide. In der Hydrostatik wird Inkompressibilität vorausgesetzt, was bei Wasser eine gute Näherung ist. Wichtig sind die Druckverteilung und die daraus folgenden Kräfte auf Behälterwände, der statische Auftrieb schwimmender Körper und ihre Schwimmstabilität. Das hydrostatische Paradoxon zeigt: Der Flüssigkeitsdruck am Boden ist in Gefäßen unterschiedlicher Form bei gleicher Füllhöhe identisch. Die Aerostatik untersucht dagegen die ruhende Atmosphäre; Dichteänderungen sowie thermische Effekte bestimmen etwa Atmosphärenschichtung sowie Druck- und Temperaturverteilung mit der Höhe.

Die Ähnlichkeitstheorie überträgt Ergebnisse von einem zugänglichen Modell auf ein reales, möglicherweise anders großes oder schnelles System. Kinematische Ähnlichkeit bedeutet ähnliche räumliche Bewegungen; erforderlich sind geometrisch ähnliche Randbedingungen und dynamische Ähnlichkeit, also ähnliche Kräfte auf Fluidelemente. Auch Wärmeübertragung kann thermisch ähnlich betrachtet werden. Nach dem Reynolds’schen Ähnlichkeitsgesetz von 1883 verlaufen Modell und Original mechanisch ähnlich, wenn ihre Reynolds-Zahlen übereinstimmen.

Die Stromfadentheorie betrachtet eine von Stromlinien gebildete, infinitesimal dünne Stromröhre. Darin gelten Geschwindigkeit, Druck, Dichte und Temperatur über den Querschnitt als konstant. Auf solche Volumina lassen sich Integralformen der Grundgleichungen anwenden; stationäre Strömungsgebiete können dadurch über ihre Stromfäden beschrieben werden. Typische Anwendungen sind Röhren und Düsen. Eindimensionale Wasserströmungen werden als Hydraulik zusammengefasst; Fluidtechnik und Fluidik nutzen Hydraulik und Pneumatik zur Energieübertragung oder Signalverarbeitung.

Potentialströmungen sind reibungs- und rotationsfrei, weil ihr Geschwindigkeitsfeld aus einem Geschwindigkeitspotential abgeleitet wird. Bei niedrigen Reynolds-Zahlen kann eine laminare Strömung ihnen näherungsweise folgen, wenn die Grenzschicht an den Rändern unwichtig ist. Sie sind vergleichsweise einfach berechenbar und dienen unter anderem der Flugzeugauslegung. Für inkompressible, rotationsbehaftete Strömungen kann eine Stromfunktion eingeführt werden, jedoch nur für ebene oder dreidimensionale axialsymmetrische Fälle; ihre Höhenlinien sind Stromlinien.

Bewegte Fluide, Messung und Simulation

Die Fluiddynamik untersucht bewegte Fluide. Analytische Lösungen sind meist nur bei einer oder zwei Dimensionen, Inkompressibilität, einfachen Randbedingungen und kleinen Reynolds-Zahlen möglich. Dann dürfen Beschleunigungsterme gegenüber den Viskositätstermen vernachlässigt werden. Viskosität dämpft bei kleinen Reynolds-Zahlen kleine Störungen; laminare Strömungen sind dann stabil. Mit wachsender Reynolds-Zahl kann der Übergang zu irregulenter turbulenter Strömung erfolgen, die statistisch untersucht wird. Bei großen Reynolds-Zahlen sind Viskositätsterme gegenüber Beschleunigungstermen klein; ihr Einfluss beschränkt sich weitgehend auf wandnahe Bereiche, die die Grenzschichttheorie behandelt.

Zur Fluiddynamik gehören Aerodynamik, Wellenbewegungen und Mehrphasenströmungen. Aerodynamik untersucht Kräfte und Momente an Körpern in kompressiblen Fluiden wie Luft, beispielsweise Windkräfte auf Gebäude, Kraftfahrzeuge und Schiffe. Bei Wellen werden Bewegungen um eine mittlere Ruhelage betrachtet; dazu zählen Schwerewellen, höhere Stokes-Wellen, Kapillarwellen und aperiodische Solitonen. Mehrphasenströmungen enthalten feste, flüssige und/oder gasförmige Anteile. Die Phasen können entweder als Mischung in jedem Fluidelement oder getrennt mit ihrer Wechselwirkung an Grenzflächen modelliert werden. Sickerströmungen in porösen Medien sind für Hydrogeologie und Filtertechnik wichtig; dort ist Oberflächenspannung für die Bewegung bestimmend, und Modelle führen zur Richards-Gleichung.

Die Gasdynamik behandelt schnelle Strömungen dichteveränderlicher Fluide, etwa an Flugzeugen und in Düsen. Kennzeichnend ist die Mach-Zahl M. Kompressibilität wird ab Machzahlen größer 0,2 bedeutsam. Dann können bei hohen Reynolds-Zahlen Viskositätsterme und Gravitationskräfte vernachlässigt und wegen der schnellen Strömung adiabatische Zustandsänderungen angenommen werden. Mögliche Phänomene sind Stoßwellen und Verdichtungsstöße, darunter die Schallmauer. Die lineare Stabilitätstheorie prüft, ob kleine Störungen an Grenzschichten zu Wänden oder zu anderen Flüssigkeiten anwachsen und neue, oft deutlich strukturierte Zustände erzeugen.

Strömungsmesstechnik misst besonders Geschwindigkeit, Druck und Temperatur in Forschung, Entwicklung und industrieller Prozessführung. Staudrucksonden und thermische Anemometrie bestimmen Geschwindigkeit indirekt und benötigen weitere bekannte Zustandsgrößen. Particle Image Velocimetry und Laser-Doppler-Anemometrie messen Geschwindigkeit direkt und lokal ohne Sonden. Für Aeroakustik sind Druckschwankungen und insbesondere ihre spektrale Leistungsdichte wichtig.

Die numerische Strömungsmechanik löst Grundgleichungen für realitätsnahe Randwertprobleme, etwa zur aerodynamischen Auslegung und Optimierung. Das Gebiet wird mit einem numerischen Gitter versehen. Potentialströmungen benötigen wenig Aufwand, Euler-Gleichungen erlauben gröbere Gitter. Navier-Stokes-Gleichungen verlangen wegen Grenzschichten und Turbulenzen hohe Auflösung. In drei Dimensionen wächst die Zahl der Freiheitsgrade mit der dritten Potenz der Abmessung. Deshalb werden Turbulenzmodelle eingesetzt; dennoch sind oft mehrere zehnmillionen Gleichungen über mehrere tausend Iterations- oder Zeitschritte zu lösen.

Interdisziplinäre Anwendungen

Die Rheologie oder Fließkunde untersucht Verformungs- und Fließverhalten von Materie. Phänomenologische Rheologie formuliert Materialmodelle, Strukturrheologie erklärt makroskopisches Verhalten aus mikroskopischer Stoffstruktur, und Rheometrie stellt Messverfahren etwa für die Viskosität bereit.

Bei Fluidenergiemaschinen werden mit Integralformen der Grundgleichungen makroskopische Größen wie Volumenströme, Kräfte, Arbeiten und Leistungen abgeleitet. Ein grundlegendes Ergebnis ist die Euler’sche Turbinengleichung.

Mikrofluidik untersucht Um- und Durchströmungen bei Abmessungen kleiner als ein Millimeter. Die kontinuumsmechanische Beschreibung ist auf dieser Skala oft nicht unmittelbar möglich; Gleichungen müssen korrigiert oder Molekulardynamik-Simulationen verwendet werden. Beispiele sind der Druckkopf eines Tintenstrahldruckers und Lab-on-a-chip-Systeme.

Bioströmungsmechanik befasst sich mit Innen- und Umströmungen belebter Körper mit flexiblen, strukturierten Oberflächen. Sie untersucht Fortbewegung im Wasser und in der Luft sowie Wärme- und Stofftransport bei Atmung, Blut- und Lymphkreislauf und Wasserkreislauf. Die Magnetohydrodynamik berücksichtigt elektrische und magnetische Eigenschaften von Flüssigkeiten, Gasen und Plasmen. Sie erweitert Euler-Gleichungen um elektrodynamische Kräfte. Bei unendlicher elektrischer Leitfähigkeit liegt ideale MHD vor, bei endlicher Leitfähigkeit resistive MHD; Anwendungen sind Metallurgie, Halbleiter-Einkristallzüchtung, stellare Atmosphären und Fusionsreaktoren.

Kontinuumsmodell und Grundgleichungen

Fluide können als Partikelströme oder als Kontinuumsströmungen aufgefasst werden. Das Kontinuumsmodell vernachlässigt ihren molekularen Aufbau und verteilt physikalische Eigenschaften kontinuierlich im Raum. Es ermöglicht effiziente, realitätsnahe Vorhersagen.

Die Strömungsmechanik verwendet die eulersche Betrachtungsweise: Größen werden an festen Raumpunkten beschrieben. Für Änderungen eines mit dem Fluid bewegten Feldes f ist jedoch die substantielle Ableitung nötig:

ḟ := Df/Dt := ∂f/∂t + grad(f)·v⃗ = ∂f/∂t + (v⃗·∇)f.

Sie besteht aus der lokalen Änderung am festen Ort und dem konvektiven Anteil durch den Transport mit der Geschwindigkeit v⃗. Der Geschwindigkeitsgradient l := grad v⃗ ist zentral. Seine Spur ist die Divergenz div(v⃗) und bestimmt die Volumenänderung eines kleinen Fluidelements: D(dv)/Dt = Sp(l) dv. Es gilt l = d + w: Der symmetrische Anteil d ist der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor für Dehn- und Schergeschwindigkeit, der schiefsymmetrische Anteil w der Wirbeltensor. Die Wirbelstärke lautet ω⃗ := rot v⃗ = 2Ω⃗; gelegentlich wird auch ω⃗ = ½ rot v⃗ definiert.

Die Naturgesetze für jedes Fluidelement sind Massen-, Impuls- und Energiebilanz:

∂ρ/∂t + div(ρv⃗) = ρ̇ + ρ div(v⃗) = 0.

ρv⃗̇ = ρk⃗ + div(σ).

u̇ = (1/ρ) σ:d − (1/ρ) div q⃗ + r.

Dabei sind ρ Dichte, k⃗ Schwerebeschleunigung, σ der Cauchy’sche Spannungstensor, u innere Energie, q⃗ Wärmestrom und r innere Wärmequellen. Die Drehimpulsbilanz fordert σ = σᵀ.

Ein Materialmodell ergänzt diese Gleichungen. Für ein linear viskoses oder newtonsches Fluid gilt σ = −p(ρ)I + 2μd + λ Sp(d)I. p ist der meist dichteabhängige Druck, λ und μ sind Lamé-Konstanten, I ist der Einheitstensor. Geschwindigkeitsabhängige Schubspannungen erscheinen makroskopisch als Viskosität; zusammen mit der Impulsbilanz entstehen die Navier-Stokes-Gleichungen. Für inkompressible Strömungen vereinfacht sich das Modell zu σ = −pI + 2μd. Bei großen Reynolds-Zahlen oder außerhalb von Grenzschichten können viskose Anteile entfallen: σ = −p(ρ)I; dann gelten die Euler-Gleichungen. Außerdem betrachtet die Strömungsmechanik Plasma, nicht-newtonsche Fluide und duktile Materialien bei großen Verformungen.