Fourier-Analysis

Grundidee und Bedeutung

Die Fourier-Analysis, auch klassische harmonische Analyse genannt, untersucht Fourierreihen und Fourier-Integrale. Ihr Kernprinzip ist, ein Signal oder eine Funktion in harmonische Bestandteile verschiedener Frequenzen zu zerlegen. Die Gesamtheit dieser Bestandteile heißt Frequenzspektrum. Durch die inverse Transformation lassen sich die Frequenzanteile wieder zum ursprünglichen Signal zusammensetzen; dieser Vorgang heißt Fourier-Synthese.

Die Methode ist nicht auf zeitabhängige Signale beschränkt. Sie kann ebenso räumliche Strukturen untersuchen, etwa Bilder durch eine zweidimensionale Fourier-Analyse. Auch Spektren selbst können analysiert werden, um Periodizitäten oder andere Regelmäßigkeiten zu erkennen.

Die Fourier-Analysis ist besonders wichtig in Signalverarbeitung und Physik, wird aber auch in Akustik, Optik, Astrophysik, Gezeitenforschung, Kryptographie, Meereskunde, Wirtschaftswissenschaften sowie in Zahlentheorie, Statistik, Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitstheorie eingesetzt. In der Akustik beschreibt sie beispielsweise die Zerlegung von Schall in Oberschwingungen.

Vier Varianten der Zerlegung

Welche Form der Fourier-Analyse verwendet wird, hängt davon ab, ob die Ausgangsfunktion kontinuierlich oder diskret und periodisch oder aperiodisch ist. Die Fachbegriffe werden in der Literatur nicht völlig einheitlich verwendet: „Fourier-Transformation“ meint häufig die kontinuierliche Fourier-Transformation, während „Fourier-Analyse“ sowohl die Zerlegung in eine Fourierreihe als auch die allgemeinere Frequenzanalyse bezeichnen kann.

• Fourier-Reihe: Eine auf einem endlichen Intervall betrachtete und periodisch fortgesetzte kontinuierliche Funktion wird in einzelne harmonische Schwingungen zerlegt. Das Spektrum ist diskret, besteht also aus scharfen Frequenzlinien.

• Kontinuierliche Fourier-Transformation: Ein kontinuierlicher, bis ins Unendliche reichender aperiodischer Vorgang wird in ein kontinuierliches Spektrum überführt.

• Diskrete Fourier-Transformation (DFT): Sie verarbeitet endlich viele Werte an äquidistanten Zeitpunkten. Durch die Begrenzung auf ein Intervall wird eine periodische Fortsetzung angenommen. Ergebnis ist ein endliches diskretes Frequenzspektrum mit Spiegelspektren. In der digitalen Signalverarbeitung wird die DFT häufig durch die schnelle Fourier-Transformation (FFT) berechnet. Ein genanntes Beispiel ist eine herkömmliche Audio-CD, für die pro Sekunde 44.100 Amplitudenwerte eines Musiksignals abgetastet werden.

• Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale (DTFT): Auch sie beginnt mit zeitlich diskreten Werten, erzeugt aber ein kontinuierliches Spektrum. Deshalb ist sie nicht unmittelbar für die Spektralanalyse auf Digitalcomputern geeignet, aber für theoretische Untersuchungen nützlich, weil das Spektrum mitunter als geschlossener mathematischer Ausdruck angegeben werden kann.

Allgemein führt eine diskrete Folge auf der Gegenseite zu einem Spiegelspektrum; ein diskretes Spektrum entspricht dort einer periodischen Fortsetzung.

Fourier-Reihen periodischer Funktionen

Für eine periodische Funktion f mit Periode T gilt f(t+T)=f(t). Fourier zufolge lässt sie sich aus harmonischen Sinus- und Kosinusschwingungen verschiedener Amplituden und Phasen zusammensetzen. Bei der Grundkreisfrequenz ω=2π/T besitzt die Grundschwingung die Frequenz 1/T; die Oberschwingungen haben die Frequenzen 2/T, 3/T und so weiter. Eine endliche Darstellung lautet f(t)=A₀+Σₙ₌₁ᴺ Aₙ cos(nωt+φₙ).

Mithilfe der Additionstheoreme kann dieselbe Summe phasenfrei als f(t)=a₀+Σₙ₌₁ᴺ(aₙ cos(nωt)−bₙ sin(nωt)) geschrieben werden. Aus den Euler-Beziehungen cos(x)=(eⁱˣ+e⁻ⁱˣ)/2 und sin(x)=(eⁱˣ−e⁻ⁱˣ)/(2i) folgt die komplexe Form f(t)=Σₙ₌₋ᴺᴺ cₙeⁱⁿωᵗ, mit c₀=a₀, cₙ=(aₙ+ibₙ)/2 und c₋ₙ=(aₙ−ibₙ)/2 für n>0.

Die Fourierkoeffizienten geben Stärke und Phase der einzelnen Frequenzanteile an. Wegen der Orthogonalität der komplexen Exponentialfunktionen verschwinden bei der Integration über eine vollständige Periode alle unpassenden Frequenzen. Dadurch erhält man exakt cₘ=(1/T)∫₀ᵀ f(t)e⁻ⁱᵐωᵗ dt. Die Näherung durch die ersten 2N+1 Anteile ist f_N(t)=Σₙ₌₋ᴺᴺ cₙeⁱⁿωᵗ. Sie kann mithilfe des Dirichlet-Kerns S_N(τ)=sin((N+1/2)τ)/sin(τ/2) auch als Integral dargestellt werden.

Für eine stetig differenzierbare Funktion x auf [0,T] existiert die Fourierreihe. Mit F=1/T und ω_k=k(2πF) gilt x̂_k=(1/√(2π))∫₀ᵀx(t)e⁻ⁱω_kᵗdt und x(t)=√(2π)F Σₖ₌₋∞∞ x̂_keⁱω_kᵗ. Auch allgemeinere Funktionen können entwickelt werden, darunter abschnittsweise stetige, beschränkte sowie messbare quadratintegrable Funktionen.

Für periodische Polygonzüge lassen sich die Koeffizienten aus Wert- und Ableitungssprüngen bestimmen. Ein Wertsprung ist s_i=x_i⁺−x_i⁻; an einer Knickstelle ist der Ableitungssprung s′_i=(dx/dt)(t′_i⁺)−(dx/dt)(t′_i⁻). Zusammen mit dem Mittelwert einer Periode ermöglichen diese Größen die Synthese x(t)=x₀+Σₖ₌₁∞|c_k|cos(ω_kt+arg c_k). Die Stützstellen müssen innerhalb derselben Periode aufsteigend geordnet sein und t_n<t₁+T erfüllen.

Kontinuierliche und diskrete Transformation

Aperiodische Funktionen erfüllen für kein endliches T eine Periodizitätsbedingung. Bei einer Fourier-Reihe beträgt der Abstand benachbarter Oberfrequenzen 1/T. Für T→∞ geht dieser Abstand gegen null; die diskrete Summe wird im Grenzfall zu einem Integral und das Linienspektrum zu einem kontinuierlichen Spektrum.

Die kontinuierliche Fourier-Transformation ist definiert durch x̂(ω)=(1/√(2π))∫₋∞∞x(t)e⁻ⁱωᵗdt. Die Rücktransformation oder Fourier-Synthese lautet x(t)=(1/√(2π))∫₋∞∞x̂(ω)eⁱωᵗdω. Das Beziehungspaar gilt unter anderem für quadratintegrierbare Funktionen. Andere Normierungskonventionen verwenden als Vorfaktor 1/(2π) oder 1. Bei der hier verwendeten symmetrischen Normierung ist der Faktor in Hin- und Rücktransformation gleich.

Der Satz von Parseval lautet ∫₋∞∞|x(t)|²dt=∫₋∞∞|x̂(ω)|²dω. Er besagt, dass die Transformation die quadratische Gesamtgröße erhält. In der Physik ist dies für die Energieerhaltung wichtig; mathematisch ist die Fourier-Transformation damit eine unitäre Abbildung.

In der Signaltheorie wird häufig die Frequenz ν statt der Kreisfrequenz ω verwendet: x̂(ν)=∫₋∞∞x(t)e⁻ⁱ²πνᵗdt, x(t)=∫₋∞∞x̂(ν)eⁱ²πνᵗdν. Beide Darstellungen sind durch ν=ω/(2π) verbunden.

Für die DFT seien F,T>0 mit FT=1/N, t_n=nT und ω_k=k(2πF); M und L dürfen beliebige ganzzahlige Verschiebungen sein. Dann gilt x̂_k=T Σₙ₌₋Mᴺ⁻ᴹ⁻¹ x_ne⁻ⁱω_kᵗ_n und x_n=F Σₖ₌₋Lᴺ⁻ᴸ⁻¹ x̂_keⁱω_kᵗ_n. Zur effizienten Berechnung verwendet man meist die FFT, die wesentlich weniger Rechenschritte als eine direkte Berechnung benötigt. Eine zeitlich aufgelöste Variante ist die Kurzzeit-Fourier-Transformation.

Anwendungen und Fachbegriffe

Der Zeitbereich beschreibt ein Signal als Funktion der Zeit; die Originalfunktion wird häufig mit x(t) bezeichnet. Ein Zeitsignal ist entsprechend der Signalverlauf im Zeitbereich. Hängt die veränderliche Größe von einer räumlichen Position ab, spricht man vom Ortsbereich oder Ortsraum. Der Frequenzbereich ist der Bildbereich nach der Transformation und enthält die Frequenzanteile des Signals.

In technisch orientierten Darstellungen wird die Zuordnung zwischen Original- und Bildfunktion als x(t) ↔ X(jω) wiedergegeben. Ein periodisches Zeitsignal besitzt dabei einzelne Spektralkomponenten. In der Wellenmechanik verbindet die Fourier-Transformation Zeit- und Frequenzbereich. Bei ortsabhängigen Signalen verbindet sie den Ortsraum mit Ortsfrequenzen oder Wellenzahlen; in mehreren Dimensionen werden diese als Wellenvektoren beschrieben. In der Kristallographie heißt der zum Ortsraum reziproke Frequenzraum „reziproker Raum“.

In der Quantenmechanik entsprechen die Wellenzahlen bis auf einen Proportionalitätsfaktor dem Impuls eines Teilchens. Weil Orts- und Impulsraum durch eine Fourier-Transformation verbunden sind, ergibt sich ein Zusammenhang mit der heisenbergschen Unschärferelation. Entsprechend verbindet die Transformation Zeit und Frequenz, wobei die Frequenz bis auf einen Proportionalitätsfaktor der Energie entspricht; daraus folgt die Energie-Zeit-Unschärfe.

Ein frühes Anwendungsgebiet waren im 19. Jahrhundert Modelle zur Vorhersage der Gezeiten. Da die Gezeiten von mehreren oszillierenden Vorgängen wie der Rotation der Erde gegenüber Sonne und Mond abhängen, eignen sie sich für eine Fourier-Analyse. Auf diesen Modellen beruhten Gezeitenrechenmaschinen.

Fourier-Methoden helfen außerdem beim Lösen linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Die Funktionen eⁱⁿˣ, sin(nx) und cos(nx) sind Eigenfunktionen der Differentiation: Beim Ableiten bleibt ihre grundlegende Form erhalten. Deshalb verwandelt die Fourier-Transformation solche Differentialgleichungen in gewöhnliche algebraische Gleichungen. In einem linearen zeitinvarianten physikalischen System kann das Verhalten für jede Frequenz einzeln gelöst werden; die transformierte Gleichung liefert den Frequenzgang des Systems.

Verallgemeinerung und mathematische Einordnung

Die abstrakte harmonische Analyse erweitert die Fourier-Analysis auf lokalkompakte topologische Gruppen. Mithilfe des Haar-Maßes, das das Lebesgue-Maß als Spezialfall umfasst, kann auf solchen Gruppen integriert werden.

Ein zentraler Begriff ist der von Lew Semjonowitsch Pontrjagin eingeführte Charakter. Für eine lokalkompakte abelsche Gruppe G ist ein Charakter ein stetiger Gruppenhomomorphismus χ:G→S¹. Die Gesamtheit aller Charaktere bildet analog zu einem Dualraum die Dualgruppe Ĝ; ihre Bedeutung wird durch den Dualitätssatz von Pontrjagin begründet.

Für eine Funktion f ist die abstrakte Fourier-Transformation die Abbildung von Ĝ nach ℂ mit F(f)(χ)=∫_G f(x)χ̄(x)dλ(x). Wählt man G=ℝ und χ_z(x)=eⁱˣᶻ, so ist Ĝ=ℝ und man erhält die klassische kontinuierliche Fourier-Transformation. Auch in der abstrakten Theorie existiert eine Rücktransformation. Fourier-Reihe und Fourier-Integral sowie Laplace-, Mellin- und Hadamard-Transformation lassen sich aus dieser Sicht als Spezialfälle einer allgemeineren Transformation verstehen.