Volltorus

Grundidee und geometrische Beschreibung

Ein Volltorus ist ein dreidimensionales Gebilde mit genau einem Henkel. Sein Rand ist ein Torus. Geometrisch entsteht er, wenn eine Kreisfläche mit Radius r um eine in ihrer Ebene liegende, den Kreis nicht schneidende Achse rotiert. Der Abstand R der Rotationsachse vom Kreismittelpunkt ist dabei größer als der Radius der Kreisfläche: r < R.

Alternativ ist der Volltorus die Menge aller Punkte, deren Abstand von einer Kreislinie mit Radius R höchstens r beträgt. Dabei beschreibt R den Abstand zur Rotationsachse und r den Radius des kreisförmigen Querschnitts.

Parametrisierung

Eine Parametrisierung beschreibt jeden Punkt des Volltorus durch drei Parameter:

X(a,t,p) = ((R + a cos(p)) cos(t), (R + a cos(p)) sin(t), a sin(p)).

Dabei gelten 0 ≤ a ≤ r, 0 ≤ t ≤ 2π und 0 ≤ p ≤ 2π. Der Parameter t beschreibt die Rotation um die Symmetrieachse. Der Parameter p läuft um den kreisförmigen Querschnitt, während a den Abstand vom Mittelpunkt dieses Querschnitts angibt.

Volumen und Oberfläche

Das Volumen wird als Dreifachintegral über die Jacobi-Determinante der Parametrisierung berechnet. Die Jacobi-Determinante ist die Determinante der Funktionalmatrix; hier ergibt sich für den radialen Parameter r:

det(J_f) = r · (r cos(p) + R).

Sie entspricht in diesem Fall der Norm des Flächennormalenvektors. Das Integral liefert

V = ∫₀²π ∫₀²π ∫₀ʳ (Rr + r² cos(p)) dr dp dt = 2π²r²R.

Damit gilt für das Volumen des Volltorus: V = 2π²r²R.

Die Formel lässt sich auch als Produkt aus der Kreisfläche Aᵣ = πr² und dem Umfang Uᵣ = 2πR der Rotationsbahn auffassen. Dies entspricht der Zweiten Guldinschen Regel und ist vergleichbar mit dem Zylindervolumen V_zyl = πr²l. Für die Oberfläche werden nach der Ersten Guldinschen Regel die Umfänge Uᵣ = 2πr und Uᵣ = 2πR multipliziert. Das entspricht der Zylinderoberfläche O_zyl = 2πrl.

Trägheitsmoment

Für einen Volltorus mit Dichte ρ bezüglich der z-Achse, also der Symmetrieachse, wird das Trägheitsmoment durch

I = ρ ∫ₜ (x² + y²) d³x

bestimmt. Nach der Transformation auf Toruskoordinaten geht zusätzlich die Jacobi-Determinante in das Integral ein:

I = ρ ∫₀²π ∫₀²π ∫₀ʳ r' · (R + r' cos(p))³ dr' dp dt.

Durch partielle Integration und mit der Torusmasse M erhält man

I = 2π² · ρ · R · r² · (¾r² + R²)

und in Abhängigkeit von der Masse

I = M · (¾r² + R²).

Topologische Eigenschaften

Topologisch ist der Volltorus ein Henkelkörper vom Geschlecht g = 1. Er ist homöomorph zum Produkt D² × S¹ aus einer Kreisscheibe D² und einer Kreislinie S¹. Er kann als rotationssymmetrischer Volltorus in den R³ eingebettet werden.

Seine Fundamentalgruppe, die Schleifen bis auf stetige Verformung beschreibt, ist

π₁(S¹ × D²) ≅ π₁(S¹) ≅ ℤ.

Seine Homologiegruppen lauten

Hₖ(S¹ × D²) ≅ Hₖ(S¹) ≅ ℤ für k = 0, 1,

und Hₖ(S¹ × D²) = 0 für alle anderen k.

Die 3-Sphäre kann als Vereinigung zweier Volltori dargestellt werden, die sich nur in ihrer Oberfläche überlappen. Im Zusammenhang mit der Hopf-Faserung erhält man diese Zerlegung, indem man die 2-Sphäre als Vereinigung von Nord- und Südhalbkugel betrachtet; über beiden Hälften ist die Faserung trivial. Diese Zerlegung wird beispielsweise bei der Konstruktion der Reeb-Blätterung verwendet.