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Thermodynamische Temperatur
Thermodynamische Temperatur ist die Temperaturskala, die sich auf den absoluten Nullpunkt bezieht und dort den Wert null hat. Sie wird auch als absolute …
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Grundidee und Einheit
Die thermodynamische Temperatur ist eine Temperaturskala mit einem physikalisch begründeten Nullpunkt: dem absoluten Nullpunkt, bei dem sie den Wert null hat. Sie wird auch absolute Temperatur genannt. Im Internationalen Einheitensystem (SI) ist ihre Einheit das Kelvin (K), ihr Formelzeichen ist T und ihre Dimension ist Θ. In grundlegenden physikalischen Formeln ist mit „Temperatur“ in der Regel die thermodynamische Temperatur gemeint.
Im Unterschied zur im Alltag häufig verwendeten Celsius-Temperatur ist ihr Nullpunkt nicht willkürlich festgelegt. Bei einem klassischen idealen Gas ist die thermodynamische Temperatur proportional zu seiner inneren Energie. In den USA wird neben dem Kelvin auch die Rankine-Skala verwendet.
Bezeichnung
Für die thermodynamische Temperatur ist das Synonym „absolute Temperatur“ verbreitet. Normgerecht ist jedoch nur die Bezeichnung „thermodynamische Temperatur“.
Das Internationale Büro für Maß und Gewicht (BIPM), das das SI definiert, verwendet nur den Begriff „thermodynamische Temperatur“. Auch die EU-Gesetzgebung folgt dem SI. Die International Electrotechnical Commission und die Deutsche Kommission Elektrotechnik Elektronik Informationstechnik verwenden ebenfalls diesen Begriff und lehnen die Bezeichnung „absolute Temperatur“ ab. Die Norm DIN EN ISO 80000-5:2020-0 „Größen und Einheiten – Teil 5: Thermodynamik“ kennt ebenfalls nur „thermodynamische Temperatur“.
Thermodynamische Definition
Die thermodynamische Temperatur eines physikalischen Systems im thermischen Gleichgewicht wird über den Wirkungsgrad einer idealen Wärmekraftmaschine definiert. Eine Wärmekraftmaschine ist hier ein reversibel und periodisch arbeitendes System, das in einer Periode einem Reservoir A eine sehr kleine Wärmemenge Q_A entnimmt, einen Teil davon in mechanische Arbeit W umwandelt und den Rest Q_B = Q_A - W an ein Reservoir B abgibt. Beide Reservoirs befinden sich in unterschiedlichen thermischen Gleichgewichtszuständen.
Das Verhältnis der Temperaturen von A und B wird durch das Verhältnis der ausgetauschten Wärmemengen definiert:
T_A/T_B = Q_A/Q_B
Dabei sind positive und negative Vorzeichen für W möglich, je nachdem, ob A wärmer oder kälter als B ist. Um daraus eine vollständige Temperaturskala zu machen, muss zusätzlich ein Temperaturwert festgelegt werden. Früher wurde im SI dem Tripelpunkt von Wasser definitionsgemäß die thermodynamische Temperatur 273,16 K zugeordnet. Seit 2019 gilt eine neue Definition über die Boltzmann-Konstante.
Der Vorteil dieser Definition ist ihre Universalität: Der Wirkungsgrad idealer reversibler Maschinen zwischen denselben Wärmebädern hängt nicht von der konkreten Bauart ab. Das gilt zum Beispiel unabhängig davon, ob es sich um Dampfturbine, Stirlingmotor oder Peltier-Element handelt. Für verschiedene Temperaturbereiche können jeweils geeignete physikalische Prozesse verwendet werden, bei tiefen Temperaturen etwa magnetische Effekte wie bei der magnetischen Kühlung.
Definition über Gase
Auch aus der Zustandsgleichung des idealen Gases kann die thermodynamische Temperatur bestimmt werden:
p · v = R · T
Dabei ist p der Druck, v das molare Volumen und R die Gaskonstante. Wenn p und v bekannt sind, lässt sich T daraus berechnen.
Für reale Gase gilt: Im Grenzfall p → 0 wird das molare Volumen v → ∞. Dann werden die Abstände zwischen den Gasteilchen beliebig groß, und Wechselwirkungen zwischen ihnen müssen nicht mehr berücksichtigt werden. Reale Gase nähern sich in diesem Grenzfall dem idealen Gas an. Deshalb kann die thermodynamische Temperatur als Grenzwert gemessener Größen realer Gase dargestellt werden:
T = lim_{p→0} (p · v)/R
Dies ist seit 2019 die im Internationalen Einheitensystem vereinbarte Definition der thermodynamischen Temperatur.
Konsistenz der Definition
Die logische Konsistenz der Temperaturdefinition folgt aus dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik. Zwei reversible und periodisch arbeitende Wärmekraftmaschinen zwischen denselben Reservoirs A und B müssen genau denselben Wirkungsgrad haben. Wäre das nicht so, könnte man die weniger wirkungsvolle Maschine rückwärts als Wärmepumpe und die wirkungsvollere vorwärts betreiben. In der Bilanz würde einem Reservoir Wärme entnommen und daraus mechanische Arbeit gewonnen, ohne dass das andere Reservoir verändert würde. Das wäre ein Perpetuum mobile zweiter Art, das nach dem zweiten Hauptsatz nicht existiert.
Auch für drei Reservoirs A, B und C muss die Definition widerspruchsfrei sein. Für die Temperaturquotienten gilt die Konsistenzbedingung:
(T_A/T_B) · (T_B/T_C) = T_A/T_C
Dies folgt, wenn eine erste Maschine zwischen A und B arbeitet und eine zweite zwischen B und C. Wird dem Reservoir B durch die erste Maschine genau so viel Wärme zugeführt, wie die zweite Maschine ihm entnimmt, kann das Gesamtsystem als Wärmekraftmaschine zwischen A und C betrachtet werden. Aus
(Q_A/Q_B) · (Q_B/Q_C) = Q_A/Q_C
folgt mit der Definition der Temperaturquotienten die geforderte Konsistenzbedingung.
Statistische Sicht
In der statistischen Beschreibung wird die thermodynamische Temperatur mit der Entropie S verbunden. Entropie ist ein logarithmisches Maß für die Anzahl Ω der einem isolierten System zugänglichen Mikrozustände bei einem vorgegebenen Makrozustand. Nach Boltzmann gilt:
S = k_B ln(Ω)
Dabei ist k_B die Boltzmann-Konstante. Die thermodynamische Temperatur ist dann über die Änderung der Entropie mit der inneren Energie U definiert:
1/T = ∂S/∂U
Für reversible Wechselwirkungen, bei denen nur Wärme ausgetauscht wird, gilt:
dS = (∂S/∂U) dU = dU/T
Daraus folgt:
dU = δQ_rev = T dS
und die Formulierung nach Clausius:
dS = δQ_rev/T
Das Symbol δ kennzeichnet dabei ein unvollständiges Differential.
In der statistischen Mechanik wird ein System im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur T durch die Wahrscheinlichkeitsdichte e^{-H/(k_B T)}/Z beschrieben. H ist die Energiefunktion, also in der klassischen Physik die Hamilton-Funktion und in der Quantenphysik der Hamilton-Operator. Z ist die Normierungskonstante und heißt Zustandssumme. Der Ausdruck e^{-H/(k_B T)} heißt Boltzmann-Faktor.
