Tetraedergruppe

Grundidee und Bedeutung

Die Tetraedergruppe ist die Punktgruppe aller Symmetrien eines regelmäßigen, homogenen Tetraeders. Sie beschreibt alle Bewegungen, durch die das Tetraeder wieder auf sich selbst abgebildet wird. Als volle Gruppe heißt sie nach der Schoenflies-Symbolik T_d und ist isomorph zur symmetrischen Gruppe S_4, also zur Gruppe aller Permutationen von vier unterschiedlichen Objekten.

Das regelmäßige Tetraeder ist ein Platonischer Körper, besitzt vier Flächen, vier Ecken und sechs Kanten und ist unter den Platonischen Körpern der einzige, der nicht punktsymmetrisch ist. Es ist zu sich selbst dual. Ein beliebiges Tetraeder hat unter den Polyedern die geringste Zahl an Flächen, Ecken und Kanten und heißt daher auch dreidimensionaler Simplex. Mit Tetraedern allein lässt sich der dreidimensionale Raum nicht füllen; in Kristallen tritt die Form im kubischen Kristallsystem auf.

Wichtige Symmetriezeichen sind C_n für eine Rotation, σ für eine Spiegelung, S_n für eine Drehspiegelung und i für eine Inversion. Eine Inversion gibt es beim Tetraeder nicht. Der Index n gibt bei Rotation und Drehspiegelung die Zähligkeit an.

Volle Symmetriegruppe

Die volle Tetraedergruppe T_d enthält Drehungen, Spiegelungen und Drehspiegelungen und hat 24 Elemente; ihre Gruppenordnung ist also 24. Nummeriert man die vier Ecken oder die vier Flächen, entspricht jedes der 24 Gruppenelemente genau einer der 24 möglichen Permutationen. Die 12 Drehungen sind gerade Permutationen; die 12 Spiegelungen und Drehspiegelungen sind ungerade Permutationen.

Das Tetraeder hat sieben Drehachsen: drei zweizählige Achsen verlaufen durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten, vier dreizählige Achsen durch jeweils eine Ecke und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Fläche. Außerdem gibt es sechs Spiegelebene, die jeweils durch eine Kante verlaufen und senkrecht zur gegenüberliegenden Kante stehen. Drei vierzählige Drehspiegelachsen verlaufen durch Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten. Die zugehörige Drehspiegelebene geht durch den Mittelpunkt des Tetraeders und ist keine Spiegelebene des Tetraeders.

In der Elementsymbolik ist E das neutrale Element. C_{3,1} bezeichnet beispielsweise eine dreizählige Rotation; C_{3,1}² ist die Verknüpfung dieser Rotation mit sich selbst. T_d ist isomorph zu einer Untergruppe der Würfel-Drehgruppe O; umgekehrt ist die Würfelgruppe eine Übergruppe der Tetraedergruppe.

Klassen, Verknüpfung und Untergruppen

Eine Konjugationsklasse, meist kurz Klasse, fasst Gruppenelemente zusammen; jedes Element gehört zu genau einer Klasse. Die Zahl der Klassen entspricht der Zahl der irreduziblen Matrixdarstellungen einer Gruppe. T_d besitzt fünf Klassen: {E}, drei Elemente vom Typ C_2, acht vom Typ C_3, sechs Spiegelungen σ_d und sechs Drehspiegelungen S_4.

Eine Verknüpfungstafel zeigt das Produkt zweier Gruppenelemente. Dabei wird zuerst die Operation aus der Kopfzeile und danach jene aus der ersten Spalte ausgeführt. Bei einer abelschen Gruppe wäre die Tafel an der Hauptdiagonalen symmetrisch; T_d ist nicht abelsch. Neun Elemente von T_d haben Ordnung 2, das heißt: Ihr Produkt mit sich selbst ist E. Das Produkt einer Drehung mit einer Spiegelung oder Drehspiegelung ist wieder eine Spiegelung oder Drehspiegelung. Das Produkt zweier Spiegel- oder Drehspiegelsymmetrien ist dagegen eine Rotation.

Ohne die vollständige Gruppe besitzt T_d 29 Untergruppen: eine triviale Gruppe C_1, drei Gruppen C_2, sechs Spiegelgruppen C_S, vier Gruppen C_3, eine Diedergruppe D_2 (die Kleinsche Vierergruppe), drei Gruppen C_{2v}, drei Drehspiegelgruppen S_4, vier Gruppen C_{3v}, drei Diedergruppen D_{2d} sowie die Tetraeder-Drehgruppe T. Nur die triviale Untergruppe und die Kleinsche Vierergruppe sind Normalteiler.

Körper mit voller Tetraeder-Symmetrie sind unter anderem das Tetraeder mit 4 Flächen, 4 Ecken und 6 Kanten, der Tetraederstumpf mit 8, 12 und 18 sowie das Triakistetraeder mit 12, 8 und 18.

Tetraeder-Drehgruppe

Die Tetraeder-Drehgruppe T enthält nur die Drehungen. Sie umfasst neben E elf verschiedene Rotationen um die sieben Rotationsachsen und hat daher 12 Elemente. Sie ist die einzige Untergruppe von T_d der Ordnung 12 und entspricht dem ersten 12×12-Block der Verknüpfungstafel von T_d. Sie ist nicht abelsch und isomorph zur alternierenden Gruppe A_4.

Ihre Elemente sind E, drei zweizählige Rotationen C_2 und acht dreizählige Rotationen C_3 beziehungsweise deren Quadrate. T besitzt vier Klassen: {E}, drei Elemente vom Typ C_2, vier vom Typ C_3 und vier vom Typ C_3². Die Drehgruppe hat neun echte Untergruppen: eine der Ordnung 1, drei der Ordnung 2, vier der Ordnung 3 und eine der Ordnung 4. Nur die triviale Untergruppe und die Untergruppe der Ordnung 4 sind Normalteiler. Eine Untergruppe der Ordnung 6 besitzt T nicht, obwohl 6 ein Teiler von 12 ist.

Verwandte Gruppe T_h

Die verwandte, ebenfalls nichtabelsche Gruppe T_h hat Ordnung 24 und acht Klassen: {E}, vier Elemente C_3, vier C_3², drei C_2, ein Inversionselement i, vier S_6, vier S_6^5 und drei Spiegelungen σ_h. Sie entsteht aus T durch Hinzufügen der Inversion: T_h = T ∪ {i}, wobei i = −id in ℝ³.

Bei den Drehgruppen der anderen Platonischen Körper führt das Hinzufügen der Inversion zur vollen symmetrischen Gruppe, beim Tetraeder jedoch nicht. T_d ist also inversionsfrei. Anschaulich wird dies damit begründet, dass das Tetraeder als einziger Platonischer Körper keine parallel gegenüberliegenden Flächen besitzt. T_h ist eine Untergruppe von O_h; ein möglicher Körper mit dieser Symmetrie ist ein Würfel, dessen Flächen jeweils durch eine Diagonale geteilt sind.