Punktgruppe

Begriff und mathematische Grundlagen

Eine Punktgruppe ist ein spezieller Typ einer Symmetriegruppe der euklidischen Geometrie. Sie beschreibt die Symmetrie eines endlichen Körpers. Kennzeichnend ist, dass es mindestens einen Punkt gibt, der durch alle Symmetrieoperationen wieder auf sich selbst abgebildet wird. Nach dem Neumannschen Prinzip bestimmt die Punktgruppe die makroskopischen Eigenschaften eines Körpers. Mit Methoden der Darstellungstheorie lassen sich weitere Aussagen über diese Eigenschaften gewinnen.

Mathematisch besteht die Symmetriegruppe aus der Menge aller euklidischen Bewegungen, die einen Körper auf sich selbst abbilden. Führt man Symmetrieoperationen hintereinander aus und fasst diese Verknüpfung als additive Verknüpfung auf, bilden sie im Allgemeinen eine nicht kommutative Gruppe. Gerade Bewegungen erhalten die Orientierung, ungerade Bewegungen kehren sie um; ein Beispiel für eine ungerade Bewegung ist die Spiegelung an einer Ebene.

In dreidimensionalen Punktgruppen sind nur Symmetrieoperationen mit mindestens einem Fixpunkt möglich:

• die Identität,
• die Punktspiegelung an einem Inversionszentrum,
• die Ebenenspiegelung,
• die Drehung um eine Drehachse und
• die Drehinversion, also die Kopplung einer Drehung mit einer Punktspiegelung.

Translationen, Schraubungen und Gleitspiegelungen können keine Elemente einer Punktgruppe sein, weil sie keinen Fixpunkt besitzen.

Kontinuierliche und diskrete Punktgruppen

Man unterscheidet kontinuierliche und diskrete Punktgruppen. Kontinuierliche Punktgruppen heißen auch Curie-Gruppen. Zu ihnen gehören:

• Zylindergruppen mit einer unendlichzähligen Drehachse;
• Kugelgruppen mit zwei unendlichzähligen Drehachsen.

Die diskreten Punktgruppen mit höchstens einer Drehachse mit einer Zähligkeit größer zwei werden in mehrere Familien eingeteilt. Die Zahl n gibt die Zähligkeit einer Drehung an, also die Anzahl der Wiederholungen, nach denen der Körper wieder gleich aussieht.

• Drehgruppen: Cₙ besitzt eine n-zählige Drehachse. Cₙᵥ besitzt zusätzlich n Spiegelebenen, die diese Achse enthalten; „v“ steht für vertikale Spiegelebene. Cₙₕ besitzt zusätzlich eine Spiegelebene senkrecht zur Achse; „h“ steht für horizontale Spiegelebene.
• Diedergruppen: Dₙ besitzt eine n-zählige Drehachse und n zweizählige Drehachsen C₂ senkrecht dazu. Dₙd enthält zusätzlich n diagonale Spiegelebenen, die die Hauptachse und eine Winkelhalbierende der C₂-Achsen enthalten. Dₙh besitzt eine Spiegelebene senkrecht zur Hauptachse.
• Drehspiegelgruppen: Sₙ besitzen eine n-zählige Drehspiegelachse.

Spezielle Bezeichnungen sind Cₛ ≡ C₁ᵥ ≡ C₁ₕ ≡ S₁ für eine Spiegelung und Cᵢ ≡ S₂ für die Inversion, also die Punktspiegelung.

Diskrete Punktgruppen mit mindestens zwei Drehachsen mit einer Zähligkeit größer zwei entsprechen den Symmetriegruppen der platonischen Körper. Es gibt die Tetraedergruppen T, Tᵈ und Tₕ; Tᵈ beschreibt die volle Symmetrie eines Tetraeders. Die Oktaedergruppen O und Oₕ enthalten die volle Symmetrie eines Oktaeders beziehungsweise Hexaeders. Die Ikosaedergruppen I und Iₕ entsprechen den Symmetrien eines Ikosaeders beziehungsweise Dodekaeders.

Punktgruppen in der Kristallographie

Die vollständige Symmetrie einer Kristallstruktur wird durch 230 kristallographische Raumgruppen beschrieben. Neben den Symmetrieoperationen einer Punktgruppe enthalten Raumgruppen auch Translationen, Schraubungen und Gleitspiegelungen.

Für die makroskopische Symmetrie eines Einkristalls genügen dagegen Punktgruppen. Kristalle sind konvexe Polyeder; interne Translationen sind makroskopisch nicht erkennbar. Aus einer Raumgruppe erhält man die geometrische Kristallklasse beziehungsweise Punktgruppe, indem man alle Translationen entfernt, Schraubenachsen durch entsprechende Drehachsen ersetzt und Gleitspiegelebenen durch entsprechende Spiegelebenen ersetzt.

Für ein dreidimensional unendlich ausgedehntes Kristallgitter sind nur Punktgruppen mit 1-, 2-, 3-, 4- und/oder 6-zähligen Drehachsen und/oder Drehinversionsachsen vereinbar. Diese entsprechen Drehungen um 360°, 180°, 120°, 90° beziehungsweise 60°. Eine 2-zählige Drehinversionsachse führt zum selben Ergebnis wie eine Ebenenspiegelung; deshalb wird dafür das Symbol m verwendet.

Unter diesen Bedingungen gibt es genau 32 kristallographische Punktgruppen, auch Kristallklassen genannt. Sie werden heute hauptsächlich mit der Hermann-Mauguin-Symbolik bezeichnet und sieben Kristallsystemen zugeordnet: triklin, monoklin, orthorhombisch, tetragonal, trigonal, hexagonal und kubisch. Die Klassen umfassen unter anderem Gruppen mit nur einer Drehachse, Gruppen mit mehreren zweizähligen Achsen sowie die tetraedrischen, oktaedrischen und entsprechenden kubischen Symmetrien. Beispiele aus der Tabelle sind Quarz in der trigonal-trapezoedrischen Klasse D₃, Turmalin in C₃ᵥ, Graphit in D₆ₕ, Diamant in Oₕ und Kupfer ebenfalls in Oₕ. Die zugehörigen Raumgruppen tragen die Nummern 1 bis 230.

Raumgruppen, Lauegruppen und Einschränkungen

Der Zusammenhang zwischen Raum- und Punktgruppe lässt sich mit Gruppentheorie ausdrücken. Die Menge aller Translationen T einer Raumgruppe R bildet einen Normalteiler von R. Die Punktgruppe des Kristalls ist diejenige Punktgruppe, die zur Faktorgruppe R/T isomorph ist. Sie beschreibt die Symmetrie des Kristalls am Gamma-Punkt und damit seine makroskopischen Eigenschaften. An anderen Stellen der Brillouinzone wird die Symmetrie durch die Sterngruppe des jeweiligen Wellenvektors beschrieben; diese Sterngruppen sind für Raumgruppen mit derselben Punktgruppe in der Regel verschieden.

Das Verbot fünf-, sieben- und höherzähliger Drehachsen gilt nur für dreidimensional-periodische Kristalle. Solche Achsen kommen auch bei Molekülen und bei Quasikristallen vor. Bis zur Entdeckung der Quasikristalle und der anschließenden Neudefinition des Kristallbegriffs wurde das Verbot als allgemein für Kristalle gültig angesehen.

Bei der Röntgenbeugung enthält das Beugungsbild nach dem Friedelschen Gesetz bei fehlender anomaler Streuung immer ein Inversionszentrum. Deshalb kann ein Kristall aus Beugungsdaten nicht unmittelbar einer der 32 Kristallklassen zugeordnet werden. Möglich ist nur die Zuordnung zu einer der 11 zentrosymmetrischen kristallographischen Punktgruppen, den Lauegruppen. Mit der Lauegruppe ist zugleich das Kristallsystem unter den sieben Kristallsystemen bestimmt.

Punktgruppen in der Molekülphysik und Anwendungen

In der Molekülphysik werden Punktgruppen zur Beschreibung der Molekülsymmetrie verwendet. Dafür ist die Schoenflies-Notation üblich; in Übersichten werden daneben Hermann-Mauguin-Symbole und die jeweiligen Symmetrieelemente angegeben.

Wichtige Familien sind:

• Punktgruppen geringer Symmetrie: C₁ (keine zusätzliche Symmetrie), Cₛ beziehungsweise S₁ (eine Spiegelebene) und Cᵢ beziehungsweise S₂ (ein Inversionszentrum), zum Beispiel CHFClBr, BFClBr und meso-Weinsäure.
• Ebene Drehgruppen C₂ bis C₆ sowie C₅ und C₆ mit entsprechenden n-zähligen Drehachsen. Beispiele sind H₂O₂ für C₂, Triphenylmethan für C₃, 15-Krone-5 für C₅ und α-Cyclodextrin für C₆.
• Drehgruppen mit vertikalen Spiegelebenen C₂ᵥ, C₃ᵥ, C₄ᵥ, C₅ᵥ und C₆ᵥ. Sie besitzen eine Cₙ-Achse und n vertikale Spiegelebenen. H₂O gehört zu C₂ᵥ, NH₃ zu C₃ᵥ, SF₅Cl zu C₄ᵥ und lineare Moleküle wie HCN und COS zu C∞ᵥ.
• Drehgruppen mit horizontalen Spiegelebenen, etwa C₂ₕ, C₃ₕ, C₄ₕ und C₆ₕ. C₂ₕ enthält C₂, σₕ und ein Inversionszentrum; Oxalsäure und trans-Buten sind Beispiele.
• Drehspiegelgruppen S₄ und S₆ ≡ C₃ᵢ, beispielsweise 12-Krone-4 beziehungsweise 18-Krone-6.
• Diedergruppen D₂, D₃, D₄ und D₆ mit einer Hauptachse und mehreren C₂-Achsen, etwa Twistan, Tris-Chelatkomplexe und Hexaphenylbenzol.
• Diedergruppen mit horizontalen oder diagonalen Spiegelebenen, darunter D₂ₕ, D₃ₕ, D₄ₕ, D₅ₕ, D₆ₕ, D∞ₕ sowie D₂d, D₃d, D₄d und D₅d. Beispiele sind Ethen, BF₃, XeF₄, IF₇, Benzol, Propadien, Cyclohexan und Ferrocen.
• Tetraeder-, Oktaeder- und Ikosaedergruppen. CH₄, P₄ und Adamantan besitzen Tᵈ; SF₆ und Cuban besitzen Oₕ; das Fulleren C₆₀ besitzt Iₕ. Für einatomige Teilchen wie Helium und für Elementarteilchen wird Kₕ angegeben.

Die Punktgruppe eines Kristalls legt zusammen mit der Richtungsabhängigkeit seiner Eigenschaften die Form und die Zahl der unabhängigen Komponenten von Eigenschaftstensoren fest. In Punktgruppen mit Inversionszentrum verschwinden alle Komponenten eines ungeraden Tensors. Daher gibt es dort keinen Pyroeffekt, keinen Piezoeffekt und keine optische Aktivität.

Die elastischen Konstanten bilden einen Tensor 4. Stufe. Er besitzt im allgemeinen 3⁴ = 81 Komponenten. Im kubischen Kristallsystem bleiben jedoch nur drei unabhängige, von Null verschiedene Komponenten: C₁₁₁₁ (= C₂₂₂₂ = C₃₃₃₃), C₁₁₂₂ (= C₂₂₃₃ = C₁₁₃₃) und C₁₂₁₂ (= C₁₃₁₃ = C₂₃₂₃); alle anderen Komponenten sind Null.

In Molekül- und Festkörperphysik kann man aus der Symmetrie die Anzahl der infrarot- und Raman-aktiven Moden sowie deren Auslenkungsmuster bestimmen. Eine Zuordnung gemessener Frequenzen zu den jeweiligen Moden ist mit gruppentheoretischen Methoden allein nicht möglich. Gelingt diese Zuordnung, können aus den Frequenzen die Bindungsenergien zwischen den Atomen berechnet werden.