Raumfüllung

Grundidee

Eine Raumfüllung oder Parkettierung des dreidimensionalen Raumes bedeutet, dass der dreidimensionale euklidische Raum mit dreidimensionalen Gebilden ausgefüllt wird. Im zweidimensionalen Fall spricht man ebenfalls von Parkettierung.

Raumfüllungen können vollständig sein, wenn das Volumen lückenlos ausgefüllt wird. Sie können aber auch nur teilweise sein und Zwischenräume lassen. Bei Kugeln führt dies zum Problem der räumlich dichtesten Kugelpackung. In praktischen Anwendungen, zum Beispiel in der Verpackungsindustrie, ist oft wichtig, die Dichte der Raumfüllung möglichst groß zu machen. Mathematisch abstrahiert kommen Raumfüllungen auch bei raumfüllenden Kurven vor: Dabei werden fraktale Gebilde verwendet, deren fraktale Dimension kleiner als die Raumdimension n und größer als n − 1 ist.

Raumfüllungen mit kongruenten Polyedern

Ein Polyeder ist ein Körper, der von ebenen Vielecken begrenzt wird. Eine lückenlose Raumfüllung mit Polyedern heißt Parkettierung des dreidimensionalen Raumes. Kongruent bedeutet, dass die verwendeten Körper deckungsgleich sind, also gleiche Form und Größe besitzen.

Es gibt genau fünf konvexe Polyeder, die nur durch regelmäßige Vielecke begrenzt sind und mit denen sich der Raum aus kongruenten Polyedern einer Art ausfüllen lässt: Würfel, dreieckiges reguläres Prisma, sechseckiges reguläres Prisma, verdrehter Doppelkeil als Johnson-Körper J_{26} und Oktaederstumpf. Die letzten vier dieser Polyeder enthalten zwei Arten von Vielecken mit unterschiedlicher Eckenzahl.

Unter den Catalanischen Körpern ist nur das Rhombendodekaeder raumfüllend. Als Beispiele für raumfüllende Polyeder werden außerdem Parallelepiped, verlängertes Rhombendodekaeder und Rhombendodekaeder genannt.

Paralleloeder und Klassifikation

Paralleloeder sind Polyeder, die sich durch Translation ineinander überführen lassen. Translation bedeutet eine Verschiebung ohne Drehung oder Spiegelung. Jewgraf Stepanowitsch Fjodorow klassifizierte 1885 die raumfüllenden Paralleloeder, genauer die affinen Typen konvexer Paralleloeder.

Im dreidimensionalen Raum fand er fünf solche Typen: Parallelepiped, hexagonales Prisma, Rhombendodekaeder, verlängertes Rhombendodekaeder und Oktaederstumpf. Diese Klassifikation wurde wichtig für die Klassifikation kristallographischer Raumgruppen.

Platonische Körper

Platonische Körper sind besonders regelmäßige Polyeder. Es gibt zwei Raumfüllungen, die ausschließlich aus platonischen Körpern bestehen. Die erste besteht nur aus Würfeln. Die zweite besteht aus Tetraedern und Oktaedern.

Bei der Raumfüllung aus Tetraedern und Oktaedern werden doppelt so viele Tetraeder wie Oktaeder benötigt. An allen Ecken laufen unter gleichen Winkeln 12 gleich lange Kanten zusammen. Diese Ecken entsprechen den Kugelmittelpunkten der dichtesten Kugelpackung mit der Schichtenfolge ABCABC.

Raumfüllungen mit verschiedenen Polyedern

Der Raum kann auch lückenlos mit verschiedenen Polyedern gleicher Kantenlänge ausgefüllt werden. Der Artikel nennt Beispiele mit platonischen Körpern, archimedischen Körpern und catalanischen Körpern. Angegeben ist jeweils, wie viele Polyeder benötigt werden, um einen vollen Raumwinkel von 4 · π sr zu bilden.

Beispiele sind 6 Tetraederstümpfe und 2 Tetraeder, 4 Kuboktaeder und 2 Oktaeder, 4 Hexaederstümpfe und 1 Oktaeder sowie Kombinationen aus Hexaederstumpf, Rhombenkuboktaeder, Achteckprismen und Würfel. Weitere genannte Kombinationen enthalten unter anderem Rhombenkuboktaeder, Würfel, Tetraeder, Kuboktaeder, Oktaederstümpfe, Tetraederstümpfe und Kuboktaederstümpfe.

Kristallographische Restriktion

Bei periodischen Parkettierungen treten Einschränkungen der möglichen Symmetrien auf. Ihre Symmetriegruppen können nur Drehungen um 360°, 180°, 120°, 90° oder 60° enthalten. Das entspricht Elementen der Ordnungen 1, 2, 3, 4 und 6.

Drehungen um andere Winkel sind bei periodischen Parkettierungen nicht möglich, also keine Elemente der Ordnungen 5, 7 oder höher. Dieser Sachverhalt heißt kristallographische Restriktion und gilt auch für echte Kristalle. Die Ordnung 5 ist jedoch bei Quasikristallen möglich, die eine „fast“ periodische Teilung besitzen.