Spielwürfel

Grundidee und Verwendung

Ein Spielwürfel ist ein Gegenstand, der nach einem Wurf auf einer waagerechten Fläche eine von mehreren unterscheidbaren stabilen Ruhelagen einnimmt. Jede Ruhelage ist mit einem Symbol beschriftet, meist mit einer Zahl oder mit Augen, sodass der Würfel ein zufälliges Ergebnis liefert. Am verbreitetsten ist der sechsseitige Würfel in kubischer Form mit den Zahlen 1 bis 6 oder entsprechend vielen Punkten. In der Alltagssprache meint „Würfel“ meist diesen Sechsseiter, also ein regelmäßiges Hexaeder.

Würfel werden vor allem in Spielen als Zufallsgeneratoren eingesetzt. In reinen Würfelspielen zählt das Würfelergebnis selbst oder eine direkt damit verbundene Taktik, zum Beispiel bei Kniffel, Zehntausend, Craps oder Sic Bo. In Brettspielen bestimmen Würfel häufig die Bewegung von Spielfiguren oder den Ausgang von Zufallsereignissen. In Rollenspielen werden seit einigen Jahrzehnten viele Würfel mit anderen Seitenzahlen verwendet, um Zufallsentscheidungen flexibler zu gestalten. Übliche Kurzbezeichnungen sind W oder d, gefolgt von der Seitenzahl, also W6 oder D6 für sechsseitige Würfel, W10, W20 oder W30 für zehn-, zwanzig- und dreißigseitige Würfel.

Mehrere Würfel können gleichzeitig geworfen werden. Die Ergebnisse können addiert werden, etwa wenn zwei Würfel zusammen einen Schadenswert ergeben, oder als Gruppe betrachtet werden, zum Beispiel bei einem Pasch, also gleichen Ergebnissen auf mehreren Würfeln. Würfelbecher oder Knobelbecher erleichtern das Werfen mehrerer Würfel, erschweren Trickwürfe und können das Ergebnis vor anderen verbergen. Würfeltürme verfolgen denselben Zweck. Würfelbretter oder Würfelteller dämpfen Geräusche und verhindern Wegrollen. Würfel können auch gezielt auf Werte gedreht werden, statt Zufall zu erzeugen; ein Beispiel sind Dopplerwürfel im Backgammon.

Fairness, Idealität und Manipulation

Von einem Würfel als Zufallsgenerator erwartet man meist eine Gleichverteilung: Alle möglichen Ergebnisse sollen auf lange Sicht gleich häufig auftreten, wenn niemand den Wurf beeinflusst. Ein solcher Würfel heißt fair, ideal, echt oder Laplace-Würfel, nach Pierre-Simon Laplace. In der Praxis entstehen bei der Herstellung immer kleine Abweichungen, doch bei hochwertigen Würfeln können sie sehr gering sein.

Die Idealität hängt vor allem vom Bauplan ab: Die Ruhelagen dürfen sich durch die Form und Materialverteilung nicht unterscheiden, außer durch die Beschriftung. Bei konvexen Polyedern ist ein Würfel ideal, wenn alle Flächen gleich geformt und gleich groß sind und keine Fläche durch ihre Lage zu den anderen Flächen ausgezeichnet ist. Diese Bedingung erfüllen unter anderem die fünf platonischen Körper, die catalanischen Körper, bestimmte verzerrte Varianten sowie Spindeln und Walzen. Andere Polyeder haben verschiedene Flächentypen, was unterschiedliche Landewahrscheinlichkeiten verursachen kann.

Ein Würfel soll gut, aber nicht zu lange rollen, und seine Ruhelagen sollen stabil sein. Deshalb sind Würfel mit sehr vielen möglichen Ruhelagen schwieriger zu konstruieren. Ecken und Kanten werden oft abgerundet, um Rollverhalten und Handhabung zu verbessern. Bei Craps und bei manchen Rollenspielern sind Abrundungen jedoch unerwünscht, weil ungleichmäßige Abrundungen bestimmte Landeflächen begünstigen könnten.

Wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung absichtlich zugunsten bestimmter Ergebnisse verändert, spricht man von einem gezinkten Würfel. Möglichkeiten sind veränderte Gewichtsverteilung, unterschiedlich abgerundete Kanten oder Ecken, verzogene Flächen oder ein Dauermagnet im Inneren, der mit einem zweiten Magneten beeinflusst wird. Stark gezinkte Würfel können durch torkelndes Rollen auffallen. In Kasinos werden oft transparente Würfel verwendet, um Manipulationen leichter erkennen zu können.

Geschichtliche Entwicklung

Zu den ältesten erhaltenen würfelartigen Gegenständen gehören zweiseitige Stabwürfel aus Ägypten, Stabwürfel mit vier ungleich breiten Seiten und Tetraeder aus Sumer sowie frühe sechsseitige Würfel. Frühe Funde von sechsseitigen Würfeln stammen aus Tepe Gawra im nördlichen Irak aus dem frühen 3. Jahrtausend v. Chr. und aus Mohenjo-Daro in Pakistan aus dem späten 3. Jahrtausend v. Chr. Sie hatten bereits Kubusform und Augen. Aus Ur ist ein etwa auf 2600 v. Chr. datiertes Spiel bekannt, das königliche Spiel von Ur, bei dem Würfel die Bewegungsweite bestimmten.

Im ägyptischen Spiel Senet wurden mehrere halbrunde, einseitig markierte Holzstäbchen geworfen. Der erste sichere Fund zu Senet ist ein Grabgemälde von 2686 v. Chr.; Spielbrettfunde reichen vermutlich bis 3500 v. Chr. zurück. Außerdem wurden Sprunggelenkknöchelchen von Paarhufern wie Schafen oder Ziegen als Würfel verwendet. Solche Astragali hatten vier mögliche Ruhepositionen mit unterschiedlich hohen Wahrscheinlichkeiten und waren auch in der griechischen und römischen Kultur verbreitet. Neben Spielen dienten Würfel und Astragali auch der Wahrsagerei. Glücksspiel mit Würfeln war im Römischen Reich außerhalb der Saturnalien verboten, blieb aber verbreitet.

Im Mittelalter blieb der sechsseitige Würfel eindeutig dominant, doch es gab auch andere Formen. 965 entwarf der französische Kleriker Wibold ein Spiel mit einem vierseitigen Prismenwürfel. Würfelspiele waren in Europa in vielen Ländern und Schichten beliebt, wurden aber häufig als Laster angesehen und kirchlich oder weltlich verboten. Zugleich gab es professionelle Glücksspieler, Spielhäuser und Berichte über gezinkte Würfel.

In der Moderne kamen Würfel im 20. Jahrhundert zunehmend in Gesellschaftsspielen vor, meist weiterhin als Sechsseiter. Andere Formen wurden mit Tabletop-Spielen in den 1960er Jahren wichtiger. Dungeons & Dragons etablierte ab 1974 die fünf platonischen Körper und ab den 1980er Jahren auch den zehnseitigen Würfel als verbreitete Modelle. Durch Rollenspiele und Sammelleidenschaft entstand ein Markt für viele Würfeldesigns.

Herstellung und Beschriftung

Die meisten Würfel bestehen aus Kunststoff, besonders ABS. Daneben werden Holz und seltener Kork, Horn, Stein, Metall oder Karton verwendet. Gebräuchliche Würfel haben etwa eineinhalb Zentimeter Kantenlänge. Plastikwürfel werden meist gegossen; dabei bleibt ein Einfüllpropfen zurück, der mit anderen Unebenheiten durch maschinelles Abrollen geglättet wird. Die Beschriftungen sind meist Vertiefungen, die mit Farbe gefüllt werden, seltener werden sie aufgedruckt. Diese Bearbeitungen verändern die Seiten geringfügig, der Effekt gilt aber meist als praktisch vernachlässigbar.

Kasino-Würfel oder Präzisionswürfel werden besonders genau hergestellt. Sie bestehen aus Celluloseacetat, das blasenfrei hergestellt und exakt verarbeitet werden kann. Die Würfel werden nicht gegossen, sondern aus größeren Blöcken geschnitten, früher mit Diamanten, später mit Lasern. Die Toleranzen für die Form liegen bei 0,0005 oder 0,0002 Zoll, also 0,0127 bzw. 0,00508 mm. Die Augen werden mit Farbe gefüllt, deren Dichte der des Würfelmaterials entspricht. Sicherheitsmerkmale können Seriennummern, innen sichtbare Zeichen oder UV-reaktive Beschichtungen sein.

Würfel sind meist mit Zahlen oder Augen beschriftet. Bei vielen Würfeln mit gegenüberliegenden Seiten ist es üblich, die Zahlen so anzuordnen, dass gegenüberliegende Seiten eines n-seitigen Würfels zusammen n+1 ergeben. Beim W6 ergibt jede gegenüberliegende Seite in Standardbeschriftung zusammen 7, beim W8 zusammen 9, beim W12 zusammen 13 und beim W20 zusammen 21. Beim W6 gibt es zwei spiegelbildliche Anordnungen, also eine Art Chiralität. Bei Zahlen wie 6 und 9 wird oft ein Punkt oder eine Unterstreichung ergänzt, damit man sie unterscheiden kann.

Es gibt auch andere Aufdrucke: Symbolwürfel, Farbwürfel, Trefferzonenwürfel, mathematische Würfel oder Würfel mit Kalender- und Richtungsangaben. Zehnerstellenwürfel tragen etwa 00–90 und werden mit einem W10 kombiniert, um einen W100 oder W% zu simulieren. Sogenannte Spindown-Würfel ordnen aufeinanderfolgende Zahlen benachbart an und dienen oft als Zählwürfel.

Wichtige Würfelformen

Das wichtigste Unterscheidungsmerkmal ist die Anzahl der Seiten und damit der mögliche Ergebnisbereich. Die heute üblichen Standardwürfel im Rollenspielbereich sind W4, W6, W8, W10, W12 und W20. W4, W6, W8, W12 und W20 sind platonische Körper; der W10 ist ein pentagonales Trapezoeder. Alle sechs gelten wegen ihrer symmetrischen Form als ideal.

Der W4 ist ein Tetraeder aus vier gleichseitigen Dreiecken. Da immer eine Spitze oben liegt, wird das Ergebnis über Zahlen an Kanten oder Ecken abgelesen. Der W6 ist ein Hexaeder aus sechs Quadraten und der Alltagsspielwürfel. Der W8 ist ein Oktaeder, der W12 ein Dodekaeder aus zwölf regelmäßigen Fünfecken und der W20 ein Ikosaeder aus zwanzig gleichseitigen Dreiecken. Der W10 besteht aus zehn Drachenvierecken und wird meist mit 0–9 beschriftet, wobei 0 oft als 10 gilt.

Neben den Standardformen gibt es viele weitere Polyeder. Catalanische Körper wie Rhombendodekaeder, Tetrakishexaeder, Rhombentriakontaeder oder Disdyakistriakontaeder können ideal sein, weil ihre Flächen gleichartig sind. Archimedische Körper wie Kuboktaeder oder Ikosidodekaeder gelten dagegen in diesem Zusammenhang meist nicht als ideal, weil sie unterschiedliche Flächentypen besitzen.

Prismen-, Walzen-, Spindel- und Kugelwürfel bilden weitere Bauarten. Prismenwürfel sind schwer ideal herzustellen, weil die Flächenverhältnisse genau passen müssten. Walzenwürfel nutzen Seitenflächen als Landeflächen und verhindern durch Pyramiden oder Abrundungen das Liegen auf Deckflächen. Spindeln umfassen Bipyramiden und Trapezoeder; dazu gehören auch der W8 und der W10. Kugelwürfel sind ungewöhnlich: Der W100 von GameScience heißt nach Lou Zocchi Zocchihedron und besitzt 100 Vertiefungen als Ruhelagen, gilt aber nicht als ideal.

Wahrscheinlichkeit und verwandte Zufallsgeräte

Würfel sind wichtige Beispiele in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Der Wurf eines idealen Würfels mit n Seiten ist eine diskrete Gleichverteilung: Jedes Ergebnis hat die gleiche Wahrscheinlichkeit. Der Erwartungswert eines einzelnen Wurfes beträgt (n+1)/2, bei einem W6 also 3,5. Bei langen Wurfserien nähern sich die Häufigkeiten der einzelnen Zahlen nach dem Gesetz der großen Zahlen aneinander an.

Werden zwei gleiche Würfel gleichzeitig geworfen und die Ergebnisse addiert, sind mittlere Summen häufiger als sehr kleine oder sehr große Summen; das Wahrscheinlichkeitsdiagramm hat eine Dreiecksform. Bei mehr Würfeln rundet sich die Verteilung zunehmend und nähert sich einer Normalverteilung an. In Spielen sind weitere Fragen wichtig, etwa die Wahrscheinlichkeit für einen Pasch, das Über- oder Unterschreiten einer Schranke oder der Vergleich verschiedener Verteilungen, zum Beispiel 2W10 gegenüber 1W20.

Besondere Beispiele sind die Sicherman-Würfel: Ein Würfel trägt 1, 2, 2, 3, 3, 4, der andere 1, 3, 4, 5, 6, 8. Mit positiven ganzen Zahlen ist dies die einzige alternative Beschriftung, bei der die Summen genauso häufig auftreten wie bei zwei gewöhnlichen Spielwürfeln. Intransitive Würfel sind unterschiedlich beschriftete Würfel, bei denen zu jedem Würfel ein anderer existiert, der langfristig häufiger gegen ihn gewinnt. In der Stochastikausbildung nutzt man auch bewusst gezinkte Riemer-Würfel oder Riemer-Quader, damit Ergebnisse nicht als gleich wahrscheinlich gelten.

Andere Zufallsgeneratoren in Spielen sind Spinner oder gambling tops, etwa Dreidel und Nimmgib, die wie Kreisel gedreht werden und nach dem Stillstand ein Ergebnis anzeigen. Weitere Möglichkeiten sind Glücksräder, Lose, Spielkarten, Schere, Stein, Papier oder elektronische Zufallsgeneratoren.