Abelsche Gruppe

Grundidee und Definition

Eine abelsche oder kommutative Gruppe verallgemeinert das Rechnen mit Zahlen. Sie besteht aus einer Menge G und einer Verknüpfung \circ, die zwei Elementen a,b\in G wieder ein Element a\circ b\in G zuordnet. Wichtig ist sie, weil dieselben Rechengesetze etwa bei Zahlen, Verschiebungen, Drehungen und Funktionen auftreten.

(G,\circ) heißt abelsche Gruppe, wenn vier Regeln gelten:

• Assoziativgesetz: a\circ(b\circ c)=(a\circ b)\circ c.
• Kommutativgesetz: a\circ b=b\circ a.
• Es gibt ein neutrales Element e mit a\circ e=a.
• Zu jedem a gibt es ein inverses Element a^{-1} mit a\circ a^{-1}=e.

Lässt man nur das Kommutativgesetz weg, erhält man den allgemeineren Begriff einer Gruppe. Eine Gruppe ist nichtabelsch, wenn für mindestens ein Paar (a,b) gilt: a\circ b\ne b\circ a. Das neutrale Element und das Inverse jedes Elements sind durch die Gruppenregeln eindeutig bestimmt.

Additive und multiplikative Schreibweise

Abelsche Gruppen werden meist additiv geschrieben. Die Verknüpfung heißt dann +, das neutrale Element 0, und das Inverse von a heißt Entgegengesetztes -a. In dieser Schreibweise ist die Differenz definiert durch a-b:=a+(-b). Es gelten -(a+b)=(-a)+(-b) und -(a-b)=(-a)+b.

In multiplikativer Schreibweise verwendet man \cdot oder lässt das Zeichen weg: ab. Das neutrale Element heißt 1, das Inverse a^{-1}, und der Quotient ist a/b:=a\cdot b^{-1}.

Beispiele und Gegenbeispiele

Wichtige Beispiele abelscher Gruppen sind:

• (\mathbb Z,+), die ganzen Zahlen mit Addition.
• (\mathbb Q^*,\cdot), die rationalen Zahlen ohne 0 mit Multiplikation.
• Die reellen Zahlen mit Addition sowie die reellen Zahlen ohne 0 mit Multiplikation. Allgemeiner liefert jeder Körper K die abelschen Gruppen (K,+) und (K\setminus\{0\},\cdot).
• Die Verschiebungen einer euklidischen Ebene, Drehungen um einen festen Punkt und Drehstreckungen; verknüpft wird jeweils durch Hintereinanderausführung.

Endliche Dezimalzahlen bilden unter Addition eine abelsche Gruppe, aber nicht unter Multiplikation: 3 besitzt dort kein Inverses, weil 1/3 kein endlicher Dezimalbruch ist.

Bei einer kleinen abelschen Gruppe ist die Verknüpfungstafel symmetrisch zur Hauptdiagonale. Ein Beispiel liefern die Drehungen eines gleichseitigen Dreiecks um seinen Schwerpunkt um 0^\circ, 120^\circ und 240^\circ. Dagegen ist (\mathrm{GL}_n(K),\cdot), die Gruppe invertierbarer (n\times n)-Matrizen über einem Körper K, für n>1 nichtabelsch. Als kleinste nichtabelsche Gruppe wird S_3 mit sechs Elementen genannt.

Aus abelschen Gruppen entstehen weitere: Für A,B ist A\times B mit (a,b)+(a',b')=(a+a',b+b') abelsch. Für eine Menge I ist auch A^I, die Menge aller Funktionen f:I\to A, mit komponentenweiser Addition (f+g)(i)=f(i)+g(i) eine abelsche Gruppe. Beispielsweise ist \mathbb Z^n die Menge der n-Tupel ganzer Zahlen.

Untergruppen und Faktorgruppen

Eine nichtleere Teilmenge U einer abelschen Gruppe A heißt Untergruppe, wenn sie selbst mit derselben Addition eine Gruppe ist. Genau dann gilt für alle a,b\in U: a-b\in U. Der Durchschnitt von Untergruppen ist wieder eine Untergruppe. Jede Teilmenge U\subset A liegt in einer kleinsten Untergruppe \langle U\rangle, der von U erzeugten Untergruppe. Erzeugt U ganz A, heißt U Erzeugendensystem; bei endlichem U heißt A endlich erzeugt. Eine von einem Element erzeugte Gruppe heißt zyklisch und wird als A=a\cdot\mathbb Z geschrieben.

Jede Untergruppe von \mathbb Z ist zyklisch. Für ganze Zahlen gilt a\mathbb Z+b\mathbb Z=\operatorname{ggT}(a,b)\mathbb Z, zum Beispiel 6\mathbb Z+9\mathbb Z=3\mathbb Z. Außerdem gilt a\mathbb Z\cap b\mathbb Z=\operatorname{kgV}(a,b)\mathbb Z, etwa 3\mathbb Z\cap5\mathbb Z=15\mathbb Z. Dagegen ist (\mathbb Q,+) nicht endlich erzeugt.

Zu einer Untergruppe U\hookrightarrow A definiert a\sim a'\iff a-a'\in U Äquivalenzklassen a+U. Die Menge dieser Klassen heißt Faktorgruppe A/U; ihre Addition lautet (a+U)+(b+U):=(a+b)+U. Die Regel ist wohldefiniert, weil die Äquivalenzrelation mit der Addition verträglich ist.

Für U=n\mathbb Z entsprechen die Klassen in \mathbb Z/n\mathbb Z den Resten \{0,\dots,n-1\}; gerechnet wird mit a+_n b=(a+b)\bmod n. In \mathbb Z/11\mathbb Z ist beispielsweise 7+5=1\bmod 11. Für \mathbb R/\mathbb Z ist [0,1[ ein Repräsentantensystem; bei a,b\in[0,1[ wird bei einer Summe ab 1 die 1 abgezogen.

Homomorphismen, Kern und Isomorphien

Ein Homomorphismus f:A\to B zwischen abelschen Gruppen erhält die Addition: f(a+b)=f(a)+f(b). Identität, Nullabbildung und Inklusionen von Untergruppen sind Homomorphismen. Jede Abbildung \mathbb Z\to\mathbb Z, die ein Homomorphismus ist, hat die Form f(z)=a\cdot z für ein a\in\mathbb Z. Auch x\mapsto a^x von (\mathbb Z,+) nach (\mathbb Q^*,\cdot) sowie \exp:\mathbb R\to\mathbb R^+ sind Homomorphismen; \exp ist bijektiv, ihre Umkehrung ist der natürliche Logarithmus.

Der Kern ist \operatorname{Kern}(f)=\{a\in A\mid f(a)=0\}, das Bild f(A)=\{f(a) a\in A\}. Beides sind Untergruppen. Ein Homomorphismus ist genau dann injektiv, wenn sein Kern 0 ist; dann heißt er Monomorphismus. Er ist genau dann surjektiv, wenn B/f(A)=0; dann heißt er Epimorphismus. Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus, und dann sind die Gruppen isomorph.

Der Homomorphiesatz besagt: A/\operatorname{Kern}(\alpha)\cong\alpha(A). Die beiden weiteren Isomorphiesätze lauten B+C/C\cong B/(B\cap C) für Untergruppen B,C von A, sowie A/B\cong(A/C)/(B/C) für C\hookrightarrow B\hookrightarrow A.

Ganze Zahlen und weiterführende Begriffe

Zu jedem Element a einer Gruppe A gibt es genau einen Homomorphismus \Phi_a:\mathbb Z\to A mit \Phi_a(1)=a. Für z\ge0 ist \Phi_a(z) die z-fache Summe von a, für z<0 ihr negatives Gegenstück. Deshalb ist (\mathbb Z,+) eine freie abelsche Gruppe mit Basis \{1\}. Die Schreibweise a\cdot z:=\Phi_a(z) erfüllt unter anderem a\cdot0=0, a\cdot1=a, a\cdot(z_1+z_2)=a\cdot z_1+a\cdot z_2 und (a_1+a_2)\cdot z=a_1\cdot z+a_2\cdot z. In multiplikativer Schreibweise ergeben sich daraus die bekannten Potenzgesetze, etwa q^{z_1+z_2}=q^{z_1}q^{z_2}.

Ein Torsionselement a erfüllt a\cdot n=0 für eine natürliche Zahl n. Alle Torsionselemente bilden die Torsionsuntergruppe T(A). Gilt T(A)=0, so heißt A torsionsfrei; A/T(A) ist immer torsionsfrei. Die Torsionsuntergruppe von \mathbb R/\mathbb Z ist \mathbb Q/\mathbb Z.

Weiterführend werden direkte Summen, freie und teilbare abelsche Gruppen sowie Ränge behandelt. Bei A=U+V und U\cap V=0 ist A die direkte Summe von U und V. Endlich erzeugte abelsche Gruppen sind direkte Summen unzerlegbarer zyklischer Gruppen. Der Rang ist die größte Mächtigkeit einer \mathbb Z-linear unabhängigen Teilmenge; \mathbb Z, \mathbb Q und jede Untergruppe von \mathbb Q haben Rang 1.