Simplex (Mathematik)

Grundidee und Definition

Ein Simplex ist ein spezielles n-dimensionales Polytop und die einfachste Form eines Polytops. Es wird auch n-dimensionales Hypertetraeder genannt. Jedes n-Simplex besitzt n+1 Ecken.

Die Dimensionsreihe lautet: Punkt, Strecke, Dreieck, Tetraeder und 5-Zell. Ein n-Simplex entsteht aus einem (n−1)-Simplex, indem ein affin unabhängiger Punkt hinzugenommen und mit allen bisherigen Ecken durch Strecken verbunden wird. Dabei entsteht eine Kegelbildung.

Sind v₀,…,vₖ affin unabhängige Punkte in ℝⁿ, so ist das von ihnen erzeugte k-Simplex die konvexe Hülle dieser Punkte: Δ = {x ∈ ℝⁿ | Es gibt t₀,…,tₖ ∈ [0,1] mit Σᵢ₌₀ᵏ tᵢ = 1 und x = Σᵢ₌₀ᵏ tᵢvᵢ}.

Die vᵢ heißen Eckpunkte. Die Zahlen (t₀,…,tₖ) heißen baryzentrische Koordinaten. Die Zahl k ist die Dimension des Simplexes.

Affine Unabhängigkeit und Seiten

Punkte v₀,…,vₖ in einem ℝ-Vektorraum V heißen affin unabhängig, wenn aus t₀v₀ + ⋯ + tₖvₖ = 0 und t₀ + ⋯ + tₖ = 0 für reelle Skalare t₀,…,tₖ stets t₀ = ⋯ = tₖ = 0 folgt. Gleichwertig dazu ist, dass die Menge {v₁−v₀,…,vₖ−v₀} linear unabhängig ist. Außerdem liegen die Punkte nicht gemeinsam in einem (k−1)-dimensionalen affinen Unterraum.

Eine Punktmenge in einem n-dimensionalen Vektorraum heißt in allgemeiner Lage, wenn jede Teilmenge mit höchstens n+1 Punkten affin unabhängig ist.

Jedes durch eine nicht leere Teilmenge der Eckpunkte aufgespannte Simplex heißt Seite, Facette oder Untersimplex. 0-Seiten sind die Ecken, 1-Seiten die Kanten und (k−1)-Seiten die Seitenflächen. Die Vereinigung aller Seitenflächen ist der Rand ∂Δ. Für ein k-Simplex lautet seine Anzahl an d-dimensionalen Seiten: ∣{d-Seiten}∣ = C(k+1,d+1) = binom(k+1,d+1).

Ein k-Simplex ist gemessen an der Eckenzahl das einfachste k-dimensionale Polytop. Die grundlegenden Beispiele haben folgende Struktur: Ein Punkt besitzt 1 Ecke, eine Strecke 2 Ecken und 1 Kante, ein Dreieck 3 Ecken, 3 Kanten und 1 Seitenfläche, ein Tetraeder 4 Ecken, 6 Kanten, 4 Dreiecksseitenflächen und 1 dreidimensionale Zelle. Ein 5-Zell besitzt 5 Ecken, 10 Kanten, 10 zweidimensionale Seiten, 5 dreidimensionale Seiten und 1 vierdimensionale Zelle.

Typische Beispiele und Volumen

Ein 0-Simplex ist ein Punkt, ein 1-Simplex eine Strecke, ein 2-Simplex ein Dreieck, ein 3-Simplex ein Tetraeder und ein 4-Simplex eine 5-Zell. Ein Tetraeder entsteht aus einem Dreieck, wenn ein Punkt außerhalb der Dreiecksebene hinzugenommen und mit allen drei Dreiecksecken verbunden wird.

Ein n-Simplex im ℝⁿ mit einer rechtwinkligen Ecke im Ursprung ist das Einheitssimplex: { x ∈ ℝⁿ | xᵢ ≥ 0, Σᵢ₌₁ⁿ xᵢ ≤ 1 }.

Es wird vom Nullvektor und den Einheitsvektoren e₁,…,eₙ der Standardbasis aufgespannt. Bei Einheitsvektorlänge c = 1 beträgt sein Volumen 1/n!.

Allgemein wird das Einheitssimplex durch die affine Abbildung x ↦ v₀ + Ax mit A = (v₁−v₀,…,vₙ−v₀) ∈ ℝⁿˣⁿ auf das von v₀,…,vₙ aufgespannte Simplex abgebildet. Dessen Volumen ist ∣det A∣/n!.

Standardsimplex und rechtwinklige Simplexe

In der algebraischen Topologie, insbesondere bei der Definition der singulären Homologie, ist das Standardsimplex wichtig. Das n-dimensionale Standardsimplex Δⁿ liegt im ℝⁿ⁺¹ und wird von den Einheitsvektoren e₁,…,eₙ₊₁ aufgespannt. Seine Eckpunkte sind v₀ = (1,0,0,…,0), v₁ = (0,1,0,…,0), …, vₙ = (0,0,0,…,1).

Das n-Standardsimplex ist die größte Seitenfläche eines (n+1)-Einheitssimplexes. Ein singuläres n-Simplex ist per Definition eine stetige Abbildung des Standardsimplexes Δⁿ in einen topologischen Raum X.

Bei einem Simplex mit einer rechtwinkligen Ecke bilden je zwei dort zusammenlaufende Kanten einen rechten Winkel. Gleichwertig sind die an dieser Ecke anliegenden n-dimensionalen Hyperflächen zueinander orthogonal. Für die an der Ecke anliegenden Hyperflächen A₁,…,Aₙ und die gegenüberliegende Hyperfläche A₀ gilt die n-dimensionale Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras: Σₖ₌₁ⁿ ∣Aₖ∣² = ∣A₀∣².

Die Hyperflächen A₁,…,Aₙ sind paarweise orthogonal, aber nicht orthogonal zu A₀. Für ein 2-Simplex ergibt sich der Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck; für ein 3-Simplex erhält man einen Tetraeder mit einer Würfelecke und den Satz von de Gua.

Topologische Eigenschaften und Anwendungen

Zwei Simplexe gleicher Dimension sind stets homöomorph, also durch eine stetige, umkehrbar stetige Abbildung miteinander verbunden. Ein k-Simplex im ℝⁿ ist homöomorph zur abgeschlossenen k-dimensionalen Einheitskugel B̄_{ℝᵏ} = {v ∈ ℝᵏ | ∥v∥₂ ≤ 1}. Deshalb ist jedes Simplex eines euklidischen Raumes kompakt. Das duale Polytop eines Simplexes ist wieder ein Simplex derselben Dimension; Simplexe sind daher selbst-dual.

Ein euklidischer simplizialer Komplex K ist eine Familie von Simplexen im ℝⁿ mit drei Eigenschaften: Mit jedem Simplex gehören auch alle seine Seiten zu K; der Schnitt zweier Simplexe ist leer oder eine gemeinsame Seite beider; und jeder Punkt eines Simplexes besitzt eine Umgebung, die höchstens endlich viele Simplexe aus K schneidet. Die letzte Eigenschaft heißt Lokalendlichkeit.

Die Vereinigung aller Simplexe eines solchen Komplexes heißt mit der Unterraumtopologie das zugehörige Polyeder Σ = ⋃K. Die Familie K ist dann eine Triangulation oder simpliziale Zerlegung von Σ; ein Polyeder mit einer solchen Zerlegung heißt triangulierbar. Wird es durch einen endlichen simplizialen Komplex trianguliert, ist es eine kompakte Teilmenge des ℝⁿ.

Ein abstrakter simplizialer Komplex ist dagegen eine Familie nichtleerer endlicher Mengen. Mit jedem abstrakten Simplex Δ muss jede nichtleere Teilmenge von Δ ebenfalls zum Komplex gehören. Die Dimension eines Simplexes mit k+1 Ecken ist k. Die Dimension des Komplexes ist das Maximum dieser Dimensionen, sofern es existiert; andernfalls ist der Komplex unendlichdimensional.

Eine Anwendung ist das Downhill-Simplex-Verfahren der nichtlinearen Optimierung. Dabei werden n Parameterwerte gesucht, sodass die Abweichung zwischen Messwerten und einer von diesen Parametern abhängigen Theoriefunktion minimal wird. Im n-dimensionalen Parameterraum wird ein Simplex aus Parametersätzen betrachtet, für jeden Punkt der Fehlerwert berechnet und jeweils der schlechteste Punkt durch einen hoffentlich besseren ersetzt, bis ein Konvergenz- oder anderes Abbruchkriterium erfüllt ist. Als Anfangskonfiguration wird meist ein Simplex mit einer rechtwinkligen Ecke verwendet. In der Topologie dienen Simplexe und simpliziale Komplexe außerdem dazu, unter anderem den Fixpunktsatz von Brouwer mit elementaren kombinatorischen Methoden und insbesondere mithilfe des Spernerschen Lemmas herzuleiten. Dies zeigten Bronisław Knaster, Kazimierz Kuratowski und Stefan Mazurkiewicz im Jahr 1929.