Disphenoid

Definition und grundlegende Eigenschaften

Ein Disphenoid, auch gleichschenkliges Tetraeder, ist ein Polyeder mit vier kongruenten Dreiecken als Seitenflächen. Es ist ein Tetraeder im allgemeinen Sinn, aber nicht zwingend ein regelmäßiges Tetraeder, also nicht notwendigerweise der platonische Körper gleichen Namens.

„Gleichschenklig“ beschreibt beim Disphenoid nicht die Form jeder einzelnen Dreiecksfläche. Gemeint ist: Von den sechs Kanten haben jeweils zwei gegenüberliegende, also nicht miteinander verbundene Kanten, dieselbe Länge. Die vier Dreiecke besitzen dieselbe Orientierung.

Gleichwertige Kennzeichen

Nach dem Satz von Bang ist ein Disphenoid ein dreidimensionales Simplex, für das mehrere gleichwertige Aussagen gelten. Es genügt jeweils eine davon:

• Gegenüberliegende Kanten haben die gleiche Länge.
• Alle vier Dreiecke sind kongruent.
• Alle vier Dreiecke haben denselben Umfang.
• Alle vier Dreiecke haben dieselbe Fläche.

Ein Tetraeder ist außerdem genau dann ein Disphenoid, wenn Inkugel und Umkugel konzentrisch sind, ihre Mittelpunkte also zusammenfallen. Noch allgemeiner gilt: Ein Tetraeder ist genau dann gleichschenklig, wenn von Mittelpunkt der Inkugel, Mittelpunkt der Umkugel, Monge-Punkt und Schwerpunkt mindestens zwei zusammenfallen. Dann fallen sogar alle vier Punkte zusammen.

Sonderformen, Bestimmung und Vorkommen

Ist eine der Dreiecksflächen gleichschenklig, dann sind es alle; der Körper heißt dann tetragonales Disphenoid. Dabei sind vier Kanten gleich lang, während die zwei übrigen Kanten windschief und senkrecht zueinander sind. Haben die Dreiecksflächen drei verschieden lange Seiten, heißt das Disphenoid rhombisch. Diese Begriffe stammen aus der Kristallographie. Sind die Dreiecke gleichseitig, entsteht als Spezialfall ein regelmäßiges Tetraeder mit sechs gleich langen Kanten.

Ein Disphenoid ist bereits durch eines seiner vier kongruenten Dreiecke bestimmt. Da ein Dreieck durch drei voneinander unabhängige Angaben über Seitenlängen und/oder Winkel festgelegt ist, reichen auch für ein Disphenoid drei voneinander unabhängige Angaben aus.

In der Natur kommen Disphenoide als Kristallform vor. Sie sind die allgemeine Flächenform der Kristallklassen 222, der rhombisch-disphenoidischen Klasse, und 4, der tetragonal-disphenoidischen Klasse.