Tangentenviereck

Definition und Grundidee

Ein Tangentenviereck ist ein Viereck, dessen Seiten Tangenten eines Kreises sind. Dieser Kreis heißt Inkreis. Ein Tangentenviereck ist stets konvex. Vierecke, bei denen nur die verlängerten Seiten Tangenten eines Kreises sind, zählen hier nicht dazu und müssen nicht konvex sein.

Wichtige Sonderformen sind Quadrat, Raute und Drachenviereck. Die Seitenlängen werden mit a, b, c, d, die Innenwinkel mit α, β, γ, δ, der Inkreisradius mit r, die Diagonalen mit p und q bezeichnet.

Kennzeichen und Winkelhalbierende

Für jedes Tangentenviereck gilt der Satz von Pitot:

a + c = b + d.

Die Summe zweier gegenüberliegender Seiten ist also gleich der Summe der anderen beiden Seiten. Umgekehrt besitzt jedes konvexe Viereck mit a + c = b + d einen Inkreis und ist damit ein Tangentenviereck. Aussage und Umkehrung heißen zusammen Satz vom Tangentenviereck.

Der Mittelpunkt des Inkreises ist der gemeinsame Schnittpunkt der Winkelhalbierenden aller vier Innenwinkel. Daher müssen alle vier Winkelhalbierenden durch einen Punkt gehen.

Sind P, Q, R, S die Lotfußpunkte vom Inkreismittelpunkt M auf AB, BC, CD beziehungsweise DA, so betragen die Summen gegenüberliegender Winkel bei M jeweils 180°:

∠BMA + ∠DMC = 180° und ∠CMB + ∠AMD = 180°.

Umfang, Fläche und Radius

Aus dem Satz von Pitot folgt für den Umfang:

U = 2 · (a + c) = 2 · (b + d).

Der Flächeninhalt A lässt sich besonders einfach mit Inkreisradius r berechnen:

A = r · (a + c) = r · (b + d).

Daraus folgt für den Inkreisradius:

r = A/(a + c) = A/(b + d).

Weitere Flächenformeln sind:

A = 1/2 · √(p² · q² − (a · c − b · d)²)

A = √(a · b · c · d) · sin((α + γ)/2) = √(a · b · c · d) · sin((β + δ)/2).

Mit den in der Zeichnung verwendeten Teilstrecken e, f, g, h gilt außerdem:

A = √((e + f + g + h) · (e · f · g + f · g · h + g · h · e + h · e · f))

und

r = √((e · f · g + f · g · h + g · h · e + h · e · f)/(e + f + g + h)).

Diagonalen, Sehnen und Winkelgleichungen

Die Diagonalen haben die Längen

p = √(((e + g) · [(e + g) · (f + h) + 4 · f · h])/(f + h))

q = √(((f + h) · [(e + g) · (f + h) + 4 · e · g])/(e + g)).

Für die tangentialen Sehnen k = PR und l = QS gilt insbesondere das Verhältnis

k/l = √(((f + g) · (e + h))/((e + f) · (g + h))) = √((b · d)/(a · c)).

Für die halben Innenwinkel gelten Formeln der Form

sin(α/2) = √((e · f · g + f · g · h + g · h · e + h · e · f)/((e + f) · (e + g) · (e + h))).

Die entsprechenden Formeln für β, γ und δ entstehen, indem im Nenner jeweils f, g beziehungsweise h an die Stelle von e tritt. Zusätzlich gilt:

tan(∠ABD/2) · tan(∠BDC/2) = tan(∠ADB/2) · tan(∠DBC/2).

Sehnentangentenviereck

Ein Sehnentangentenviereck besitzt sowohl einen Inkreis als auch einen Umkreis. Ein Tangentenviereck ist ein solches Viereck, wenn

α + γ = β + δ.

Dann vereinfacht sich die Flächenformel zu

A = √(a · b · c · d).

Ein wichtiges Kriterium für die Konstruktion lautet: Ein Tangentenviereck ist genau dann ein Sehnentangentenviereck, wenn die Verbindungsstrecken gegenüberliegender Berührpunkte des Inkreises senkrecht aufeinander stehen. Mit dem dabei verwendeten Winkel φ gilt

β + δ = 360° − 2φ.

Daher ist β + δ = 180° genau dann erfüllt, wenn φ = 90° ist.