Arkustangens und Arkuskotangens

Definition und Schreibweisen

Arkustangens und Arkuskotangens sind zwei verwandte Arkusfunktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen der geeignet eingeschränkten Tangens- bzw. Kotangensfunktionen. Eine Einschränkung des Definitionsbereichs ist nötig, weil Tangens und Kotangens periodisch sind: Beim Tangens wählt man das Intervall ]−π/2, π/2[, beim Kotangens das Intervall ]0, π[. Zusammen mit Arkussinus und Arkuskosinus bildet der Arkustangens den Kern der Klasse der Arkusfunktionen. In der komplexen Funktionentheorie sind die Arkusfunktionen (wie die Areafunktionen) Abwandlungen des komplexen Logarithmus, von dem sie die Mehrdeutigkeit erben, die von der Periodizität der komplexen Exponentialfunktion herrührt. Für den Arkustangens sind die Schreibweisen arctan, atan, tan^(−1) und ähnliche gebräuchlich; für den Arkuskotangens arccot, arcctg, acot und neuerdings auch cot^(−1). Die auf Taschenrechnern verbreitete Schreibweise tan^(−1) kann leicht mit dem Kehrwert des Tangens (dem Kotangens) verwechselt werden.

Eigenschaften und wichtige Funktionswerte

Beide Funktionen sind auf ganz ℝ definiert. Der Arkustangens hat die Bildmenge −π/2 < f(x) < π/2, ist streng monoton steigend, eine ungerade (ursprungssymmetrische) Funktion mit arctan(−x) = −arctan x, hat bei x = 0 eine Nullstelle und einen Wendepunkt bei (0, 0), keine Sprung-, Pol- oder Extremstellen. Für x → ±∞ nähert er sich ±π/2 an (Asymptoten). Der Arkuskotangens hat die Bildmenge 0 < f(x) < π, ist streng monoton fallend, punktsymmetrisch zum Punkt (0, π/2) mit arccot x = π − arccot(−x), hat keine Nullstellen, keinen Wendepunkt bei (0, π/2), und für x → −∞ bzw. x → +∞ nähert er sich π bzw. 0 an. Wichtige Funktionswerte des Arkustangens: arctan(0) = 0, arctan(1/3·√3) = π/6 (30°), arctan(1) = π/4 (45°), arctan(√3) = π/3 (60°); ferner arctan(2−√3) = π/12 (15°), arctan(1/5·√(25−10√5)) = π/10 (18°), arctan(√(5−2√5)) = π/5 (36°). Für den Arkuskotangens gilt jeweils der „komplementäre“ Winkel, z. B. arccot(1) = π/4, arccot(√3) = π/6, arccot(1/3·√3) = π/3. Für Tangenswerte x > 1 gibt es Umrechnungsformeln (siehe Funktionalgleichungen).

Reihenentwicklungen, Funktionalgleichungen und Additionstheoreme

Die Taylorreihe (MacLaurin-Reihe) des Arkustangens lautet: arctan x = x − x³/3 + x⁵/5 − x⁷/7 + … (allgemein Σ (−1)^k · x^(2k+1)/(2k+1)). Sie konvergiert genau für |x| ≤ 1 und x ≠ ±i. Für den Arkuskotangens am Entwicklungspunkt x = ∞ gilt: arccot x = 1/x − 1/(3x³) + 1/(5x⁵) − …, konvergent für x ≥ 1 (bzw. x ≤ −1 mit dem Wert arccot x − π). Für |x| > 1 kann man den Arkustangens mit der Funktionalgleichung arctan x = sgn(x)·π/2 − arctan(1/x) auf Argumente mit |x| < 1 zurückführen oder die π-freie Formel arctan x = 2·arctan(x/(1+√(1+x²))) verwenden, deren mehrfache Anwendung das Argument beliebig verkleinert und die Konvergenz beschleunigt. Auch schnell und wurzelfrei konvergieren für alle reellen x Reihen mit Zentralbinomialkoeffizienten CBC(n) = (2n)!/(n!)², z. B. arctan(x) = Σ (2x)^(2n−1)/(n·CBC(n)·(x²+1)^n). Für den Arkuskotangens gilt analog: arccot x = (2 − sgn(x))·π/2 − arccot(1/x). Das Additionstheorem des Arkustangens lautet für xy < 1: arctan x + arctan y = arctan((x+y)/(1−xy)); für xy > 1 bzw. xy = 1 sind Korrekturen um ±π bzw. ±π/2 nötig, weil der Arkustangens nur Werte zwischen −π/2 und π/2 annimmt. Entsprechendes gilt für den Arkuskotangens. Beispiel: arctan(1/2) + arctan(1/3) = arctan(1) = π/4. Allgemein gilt arctan x + arccot x = π/2. Mit der abkürzenden Schreibweise x ⊕ y = (x+y)/(1−xy) lassen sich zahlreiche Identitäten herleiten, z. B. arctan(1/n) + arctan(1/(4n³+3n)) = 2·arctan(1/(2n)).

Berechnung von π und Anwendung bei Koordinatenumrechnung

Mit x = 1 in der Taylorreihe erhält man die Leibniz-Formel π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + …, die aber nur extrem langsam konvergiert. John Machin verwendete 1706 die Formel π/4 = 4·arccot 5 − arccot 239 und berechnete damit die ersten 100 Nachkommastellen von π; diese Formel konvergiert linear und wird auch heute noch benutzt. Ein Beispiel von Carl Størmer (1896) ist π/4 = 44·arccot 57 + 7·arccot 239 − 12·arccot 682 + 24·arccot 12943. Solche Formeln entsprechen Gleichheiten von Real- und Imaginärteil Gaußscher Zahlen, z. B. (5+i)⁴·(239−i) = (1+i)·114244. Beim Arkustangens zur Umrechnung kartesischer in polare Koordinaten genügt der einfache Ausdruck φ = arctan(y/x) nicht, weil die Bildmenge des Arkustangens nur eine Periodenlänge von π umfasst. Eine geometrische Lösung liefert der halbe Winkel: φ = 2·arctan(y/(r+x)) mit r = √(x²+y²); diese Formel versagt nur, wenn r + x = 0 (singulärer Fall x = y = 0 bzw. φ = ±π für x < 0). Viele Programmiersprachen und Tabellenkalkulationen bieten deshalb eine erweiterte Funktion arctan2(x, y) mit zwei Argumenten, die den Polarwinkel modulo 2π in allen vier Quadranten, z. B. im Intervall ]−π, π], zurückgeben kann. Für Anwendungen, in denen die Lösung von x = tan y möglichst nahe an einem gegebenen Wert η liegen soll, gibt es den Arkustangens mit Lageparameter: y = arctan_η x := arctan x + π·rni((η − arctan x)/π), wobei rni zur nächstgelegenen ganzen Zahl rundet.

Ableitungen, Integrale und komplexe Darstellung

Die Ableitungen sind: (arctan x)' = 1/(1+x²) und (arccot x)' = −1/(1+x²). Standardisierte Integraldarstellungen sind z. B. arctan(x) = ∫₀ˣ dt/(t²+1) und arccot(x) = ∫ₓ^∞ dt/(t²+1). Unbestimmte Integrale: ∫ arctan(x) dx = x·arctan(x) − ½·ln(1+x²) + C und ∫ arccot(x) dx = x·arccot(x) + ½·ln(1+x²) + C. Der Arkustangens besitzt eine Integralidentität mit der Gaußschen Fehlerfunktion: arctan(x) = ∫₀^∞ √π·exp(−y²)·erf(xy) dy; mit x = 1 lässt sich daraus das Integral der Gaußschen Glockenkurve beweisen (∫₀^∞ exp(−x²) dx = ½·√π). Es gibt auch eine Integralidentität mit dem natürlichen Logarithmus (nach James Harper, 2003); als Grenzwert für x → ∞ folgt ∫₀¹ artanh(y)/y dy = π²/8, womit sich das Basler Problem lösen lässt. Für den kardinalisierten Arkustangens ist das Arkustangensintegral Ti₂(x) = ∫₀ˣ arctan(y)/y dy die Stammfunktion (ein Polylogarithmus); bekanntester Wert ist die Catalansche Konstante: Ti₂(1) = β(2) = G. Im Komplexen gilt arctan z = (1/2i)·ln((1+iz)/(1−iz)) in der zweifach geschlitzten Ebene; ferner gilt arctan(iz) = i·artanh(z) und arccot(iz) = −i·arcoth(z), was die Verwandtschaft mit den Areafunktionen zeigt. Wichtig für die symbolische Integration: Für D = b² − 4ac < 0 ist eine Stammfunktion von 1/(ax²+bx+c) gleich (2/√(4ac−b²))·arctan((2ax+b)/√(4ac−b²)).

Näherungsformeln und Summenreihen

Zur näherungsweisen Berechnung des Arkustangens (maximale Abweichung unter 0,005 Radiant) gilt: arctan x ≈ x/(1+0,28x²) für |x| ≤ 1, arctan x ≈ π/2 − x/(x²+0,28) für x > 1 und arctan x ≈ −π/2 − x/(x²+0,28) für x < −1. Eine weitere Berechnungsmöglichkeit bietet der CORDIC-Algorithmus. Für den Arkuskotangens bei sehr großem x gilt näherungsweise arccot x ≈ 3x/(3x²−1). Einige Summenreihen mit Arkustangens divergieren, z. B. Σ arctan(1/n) = +∞ (vergleichbar mit der harmonischen Reihe). Andere konvergieren, z. B. Σ arctan(1/n²) ≈ 1,42474177842998 (zum Vergleich: Σ 1/n² = π²/6 ≈ 1,644934066848). Über den Fibonacci-Zahlen gilt Σ arctan(1/f₂ₙ₋₁) = π/2, da für alle natürlichen n die Beziehung arctan(1/f₂ₙ) = arctan(1/f₂ₙ₊₁) + arctan(1/f₂ₙ₊₂) besteht. Summenreihen mit Arkustangens beschreiben auch Funktionen, z. B. die Gudermannfunktion: gd(x) = Σ {2·arctan(2x/((4n−3)π)) − 2·arctan(2x/((4n−1)π))}. Hinweis: Die Wikipedia-Artikelabschnitte zu mehreren dieser Identitäten sind laut Artikel nicht hinreichend mit Belegen ausgestattet.