Euler-Mascheroni-Konstante

Definition und mathematische Bedeutung

Die Euler-Mascheroni-Konstante γ ist eine wichtige mathematische Konstante, die besonders in der Zahlentheorie und Analysis vorkommt. Sie ist definiert als Grenzwert der Differenz zwischen der n-ten harmonischen Zahl Hₙ und dem natürlichen Logarithmus:

γ = limₙ→∞ (Hₙ − ln n) = limₙ→∞ (∑ₖ₌₁ⁿ 1/k − ln n).

Dabei ist Hₙ = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n und ln der natürliche Logarithmus. Eine weitere Definition lautet

γ = ∫₁∞ (1/⌊x⌋ − 1/x) dx,

wobei ⌊x⌋ die Abrundungsfunktion bezeichnet.

Der Zahlenwert beginnt mit

γ = 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495 …

Ob γ rational oder irrational ist, ist bis heute ungeklärt. Ebenso weiß man nicht, ob γ algebraisch oder transzendent ist; häufig wird zumindest die Irrationalität vermutet. Aus der Kettenbruchentwicklung wurden untere Schranken für positive ganze Zahlen p und q gewonnen, falls γ = p/q gelten sollte. Aus 475.006 Teilnennern folgt beispielsweise q > 10²⁴⁴·⁶⁶³.

Im Unterschied zu π oder zu Quadratwurzeln aus rationalen Zahlen tritt γ nicht in endlichen elementargeometrischen Problemen auf. Sie erscheint jedoch bei technischen Problemen, die auf harmonische Summen führen, etwa beim Schwerpunktproblem des freitragenden Auslegers oder bei der optimalen Erhöhung von Sitzreihen in Theatern und Kinos.

Konvergenz und grundlegende Abschätzung

Die Existenz der Konstante lässt sich mit einer konvergenten Reihe zeigen. Wegen ln(n+1) − ln(n) → 0 darf im definierenden Grenzwert ln(n+1) anstelle von ln(n) verwendet werden. Dadurch entsteht die Teleskopsumme

γ = ∑ₖ₌₁∞ [1/k − ln((k+1)/k)].

Für jedes k gilt

1/k − ln((k+1)/k) = (1/k)∫₀¹ x/(x+k) dx.

Durch Abschätzung des Integranden erhält man

1/[2k(k+1)] ≤ 1/k − ln((k+1)/k) ≤ 1/(2k²).

Die Reihe konvergiert daher nach dem Majorantenkriterium. Außerdem gilt wegen

∑ₖ₌₁∞ 1/[k(k+1)] = ∑ₖ₌₁∞ (1/k − 1/(k+1)) = 1

und wegen des Basler-Problems die elementare Schranke

1/2 ≤ γ ≤ π²/12.

Zusammenhang mit Zetafunktion und Gammafunktion

Die Euler-Mascheroni-Konstante ist eng mit speziellen Funktionen verbunden. Für die Gammafunktion Γ und die Digamma-Funktion ψ gilt

Γ′(1) = ψ(1) = −γ.

Mit der Riemannschen Zetafunktion ζ(s) erhält man außerdem

limₛ→1 (ζ(s) − 1/(s−1)) = γ.

Weitere Grenzwertdarstellungen sind

lim_z→0 {Γ(z) − 1/z} = lim_z→0 {ψ(z) + 1/z} = −γ,

lim_z→0 (1/z){1/Γ(1+z) − 1/Γ(1−z)} = 2γ

und

lim_z→0 (1/z){1/ψ(1−z) − 1/ψ(1+z)} = π²/(3γ²).

γ erscheint auch in Reihenentwicklungen spezieller Funktionen, unter anderem beim Integrallogarithmus, bei Besselfunktionen und in der Weierstraßschen Darstellung der Gammafunktion.

Integrale und ihre Beweisideen

Für γ gibt es zahlreiche äquivalente bestimmte Integrale. Wichtige Beispiele sind

γ = −∫₀¹ ln(−ln x) dx,

γ = −∫₀∞ e⁻ˣ ln x dx,

γ = ∫₀∞ [1/(eˣ−1) − 1/(x eˣ)] dx,

γ = ∫₀¹ [1/ln x + 1/(1−x)] dx,

γ = 1/2 + ∫₀∞ 2x/[(x²+1)(e²πx−1)] dx,

γ = ∫₀∞ [eˣ E₁(x) − 1/(x+1)] dx

und

γ = ∫₀∞ [1/(x(x+1)) − e⁻ˣ/x] dx.

Weitere Darstellungen lauten

γ = 2∫₀∞ [e⁻ˣ² − e⁻ˣ]/x dx,

∫₀∞ e⁻ˣ ln²x dx = π²/6 + γ²

sowie

∫₀∞ e⁻ˣ² ln x dx = −(√π/4)(γ + 2 ln 2).

Die Beweise verwenden unterschiedliche Standardmethoden. Eine Zetafunktionssumme wird durch Vertauschen zweier Summationen und durch die integrierte alternierende geometrische Reihe gewonnen:

γ = ∑ₙ₌₁∞ [ζ(2n)/(2n) − ζ(2n+1)/(2n+1)].

Für das Integral mit eˣ−1 wird die Entwicklung der Exponentialfunktion eingesetzt. Dabei verwendet man die Debye-Identität

∫₀∞ xᵐ/(eˣ−1) dx = m! ζ(m+1).

Das Integral −∫₀∞ e⁻ˣ ln x dx folgt aus einer Stammfunktion und der Regel von de l’Hospital. Weitere Integrale werden durch Substitution, den Satz von Fubini, die Abel-Plana-Summenformel oder die Mellin-Transformation hergeleitet.

Die komplementäre Integralexponentialfunktion E₁ ist definiert durch

E₁(x) = e⁻ˣ ∫₀∞ e⁻ˣʸ/(y+1) dy,

und erfüllt E₁′(x) = −e⁻ˣ/x. Allgemein gilt

∫₀∞ e⁻ᵃˣ/(b x+c) dx = (1/b)eᵃᶜ/ᵇ E₁(ac/b).

Parameter, Reihen, Produkte und Verallgemeinerungen

Für jedes k > 0 gelten die Parameterintegrale

γ = ∫₀∞ [1/(xᵏ+1) − e⁻ˣ] dx/x

und

γ = ∫₀∞ [1/(kx+1) − e⁻ᵏˣ] dx/x.

Ihre Unabhängigkeit vom positiven Parameter folgt unter anderem aus

∫₀∞ [1/(xᵛ+1) − 1/(xʷ+1)] dx/x = 0

für positive v und w.

J. Sondow gab unter anderem die Doppelintegraldarstellungen

γ = ∫₀¹∫₀¹ (x−1)/[(1−xy) ln(xy)] dx dy

und

γ = ∫₀¹∫₀¹ (1−xʸ)/(1−x) dx dy.

Die alternierende Entsprechung ist

ln(4/π) = ∑ₙ₌₁∞ (−1)ⁿ⁻¹ [1/n − ln((n+1)/n)].

Außerdem gilt mit N₁(n) und N₀(n), der Anzahl der Einsen beziehungsweise Nullen in der Binärdarstellung von n,

∑ₙ₌₁∞ [N₁(n)+N₀(n)]/[2n(2n+1)] = γ

und

∑ₙ₌₁∞ [N₁(n)−N₀(n)]/[2n(2n+1)] = ln(4/π).

Zu den Produktdarstellungen gehören

eᵞ = limₙ→∞ [1/ln n] ∏_{p≤n, p prim} (1−1/p)⁻¹

und

(6/π²)eᵞ = limₙ→∞ [1/ln n] ∏_{p≤n, p prim} (1+1/p).

Eine schnell konvergierende Kummersche Reihe lautet

∑ₙ₌₁∞ [ζ(2n+1)−1]/[(2n+1)2²ⁿ] = 1 + ln 2 − ln 3 − γ = 0,0173192269903… .

Die Vacca-Formel und eine ähnliche Formel von Viggo Brun liefern alternierende Reihen mit der Abrundungs- beziehungsweise Aufrundungsfunktion:

γ = ∑ₖ₌₁∞ (−1)ᵏ/k · ⌊ln k/ln 2⌋.

Eine wichtige Verallgemeinerung sind die Stieltjes-Konstanten

γₙ := limₘ→∞ [∑ₖ₌₁ᵐ lnⁿ(k)/k − lnⁿ⁺¹(m)/(n+1)], n=0,1,2,… .

Für n=0 erhält man γ = γ₀. Mit der kontinuierlichen Fakultätsfunktion Π(x) = Γ(x+1) gilt

γx + ln[Π(x)] = ∑ₙ₌₁∞ [x/n − ln(1+x/n)].

Die Weierstraßsche Produktdarstellung lautet

Π(x) = Γ(x+1) = e⁻ᵞˣ ∏ₙ₌₁∞ [(1+x/n)⁻¹ eˣ⁄ⁿ].

Berechnete Dezimalstellen und offene Fragen

Die Zahl der bekannten Dezimalstellen wurde mit verbesserten Berechnungsmethoden stark erhöht. Leonhard Euler berechnete 1734 sechs Dezimalstellen, davon fünf gültige, und 1735 insgesamt 16 Stellen, davon 15 gültige. Lorenzo Mascheroni veröffentlichte 1790 32 Dezimalstellen, von denen 30 als gültig angegeben wurden; die Stellen 20 bis 22 waren jedoch wegen eines vermuteten Schreibfehlers falsch. Spätere Neuberechnungen korrigierten dies.

Weitere wichtige Rekorde sind 20.700 gültige Stellen durch Richard P. Brent im Jahr 1976, 1.000.000 Stellen durch Thomas Papanikolaou 1997, 7.286.255 Stellen durch Xavier Gourdon 1998 und 108.000.000 Stellen durch Xavier Gourdon und Patrick Demichel 1999. Am 7. September 2023 waren mindestens 1.337.000.000.000 dezimale Nachkommastellen bekannt.

Trotz dieser enormen numerischen Kenntnis bleibt die arithmetische Natur von γ offen: Es ist weiterhin nicht bewiesen, ob die Konstante rational oder irrational, algebraisch oder transzendent ist.