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Integrallogarithmus
Der Integrallogarithmus ist eine analytische Funktion auf den reellen Zahlen x ≥ 0 , x ≠ 1 {\displaystyle x\geq 0,\;x\neq 1} {\displaystyle x\geq 0,\ …
Inhalt4 Abschnitte
Bedeutung und Grundidee
Der Integrallogarithmus ist eine analytische Funktion für reelle Zahlen x≥0 mit x≠1; häufig wird nur der Bereich x>1 betrachtet. Er ist wichtig, weil er eng mit der Dichte der Primzahlen verbunden ist und im Primzahlsatz als asymptotische Vergleichsgröße für die Primzahlfunktion dient. Außerdem hat er Anwendungen in der Quantenfeldtheorie und bei der Lösung der Laplace-Gleichung in Halbleitern.
Seine besondere Schwierigkeit liegt bei x=1: Dort wird ln t gleich 0, sodass der Integrand 1/ln t eine Singularität besitzt. Bei einer der gebräuchlichen Definitionen liegt bei x=1 außerdem ein Verzweigungspunkt vor.
Definitionen
Eine übliche Definition lautet
li(x)=∫₀ˣ dt/ln t.
Für x>1 muss dieses Integral wegen der Singularität bei t=1 als cauchyscher Hauptwert verstanden werden:
li(x)=lim(ε→0⁺) [∫₀^(1−ε) dt/ln t + ∫_(1+ε)ˣ dt/ln t].
Eine zweite, nur für x>1 verwendete Definition verschiebt die Funktion um eine Konstante:
Li(x)=li(x)−li(2)=∫₂ˣ dt/ln t.
Die beiden Definitionen unterscheiden sich also nur um li(2). Für ihre wichtige Rolle als asymptotische Vergleichsgröße im Primzahlsatz ist dieser Unterschied nicht entscheidend.
Werte, Darstellungen und Integrale
Wichtige Werte sind li(0)=0, li(1)=−∞ und li(μ)=0. Dabei ist μ=1,45136 92348 83381 05028… die Ramanujan-Soldner-Konstante. Weiter gilt
li(2)=1,04516 37801 17492 78484… .
Mit der Integralexponentialfunktion Ei besteht die Beziehung li(x)=Ei(ln x). Daraus folgt die Reihendarstellung
li(x)=γ+ln|ln x|+Σ(k=1 bis ∞) (ln x)^k/(k·k!),
wobei γ=0,57721 56649 01532 86060… die Euler-Mascheroni-Konstante ist.
Durch eine lineare Substitution erhält man li(x)=x∫₀¹ dt/ln(xt). Für x>1 ist auch hier wegen der Singularität bei t=1/x der cauchysche Hauptwert nötig. Weitere Beziehungen sind
∫₀ˣ li(t) dt=x·li(x)−li(x²)
für x≥0, x≠1, sowie
∫₀¹ li(t)t^(p−1) dt=−(1/p)ln(p+1)
für p>−1 und p≠0. Daraus folgen als Sonderfälle ∫₀¹ li(t)dt=−ln 2 für p=1 und ∫₀¹ li(t)t^(−1)dt=−1 im Grenzfall p=0. Außerdem gilt
∫₀¹ li(t^(−1))t dt=∫₁^∞ li(t)t^(−3)dt=0.
Die Golomb-Dickman-Konstante ist λ=∫₀¹ e^(li(x))dx=0,62432 99885 43550 87099… . Sie wird bei Abschätzungen zur Länge des längsten Zyklus einer zufälligen Permutation und zur Größe des größten Primfaktors einer Zahl verwendet.
Verhalten für große x
Für große x lässt sich der Integrallogarithmus durch
li(x)=0!·x/ln x+1!·x/ln²x+2!·x/ln³x+3!·x/ln⁴x+…
approximieren. Dies ist eine asymptotische Entwicklung, keine konvergente Reihe: Zunächst nähert die Summe den tatsächlichen Wert an, später entfernt sie sich wieder von ihm. Die beste Approximation wird nach ungefähr ln x Gliedern erreicht. Danach wachsen die Summanden wieder, weil die Fakultäten k! immer stärker wirken.