Integralexponentialfunktion

Wesen und Bedeutung

Die Integralexponentialfunktion, auch Exponentialintegral genannt, ist eine nicht-elementare infinitesimalanalytische Funktion. Ihre Ableitung ist die kardinalische Exponentialkehrwertfunktion und damit elementar darstellbar. Die Funktion beschreibt insbesondere Stammfunktionen von Produkten aus Exponentialfunktionen und gebrochen rationalen Funktionen sowie Stammfunktionen der Kehrwerte einiger Logarithmusfunktionen.

Definition und grundlegende Beziehungen

Das Exponentialintegral Ei(x) ist definiert durch

Ei(x) = ∫₋∞ˣ eᵗ/t dt = −∫₋ˣ^∞ e⁻ᵗ/t dt.

Da 1/t bei t = 0 divergiert, ist dieses Integral für x > 0 als cauchyscher Hauptwert zu verstehen. Eine wichtige Reihendarstellung lautet

Ei(x) = γ + ln|x| + Σₖ₌₁^∞ xᵏ/(k! · k),

wobei ln den natürlichen Logarithmus und γ die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

Eng verwandt ist der Integrallogarithmus li(x). Für 0 < x ≠ 1 gilt

li(x) = Ei(ln x).

Abgewandelte Integralexponentialfunktionen

Die Funktion E₁(x) verwendet einen anderen Integrationsbereich und kann in mehreren gleichwertigen Formen geschrieben werden:

E₁(x) = exp(−x) ∫₀^∞ exp(−tx)/(t+1) dt = ∫₁^∞ e⁻ᵗˣ/t dt = ∫ₓ^∞ e⁻ᵗ/t dt.

Sie kann als Erweiterung der Integralexponentialfunktion auf negative reelle Werte aufgefasst werden, denn Ei(−x) = −E₁(x).

Eine weitere verwandte Funktion ist Ein(x). Sie ist eine ganze Funktion und erfüllt

Ein(x) = ∫₀¹ [1 − exp(−tx)]/t dt = ∫₀ˣ (1 − e⁻ᵗ)/t dt.

Ihre Reihendarstellungen sind

Ein(x) = Σₙ₌₁^∞ [x²ⁿ⁻¹/((2n−1)!(2n−1)) − x²ⁿ/((2n)!(2n))]

und gleichwertig

Ein(x) = Σₖ₌₁^∞ (−1)ᵏ⁺¹xᵏ/(k!k).

Zwischen den Funktionen bestehen die Beziehungen

Ei(x) = γ + ln|x| − Ein(−x)

und

E₁(x) = −γ − ln|x| + Ein(x).

Verallgemeinerung mit der unvollständigen Gammafunktion

Das Integralexponential ist ein Spezialfall der unvollständigen Gammafunktion. Die verallgemeinerte Funktion Eₙ(x) wird durch

Eₙ(x) = xⁿ⁻¹ Γ(1−n,x)

definiert. Alternativ gilt für Re(x) > 0

Eₙ(x) = ∫₁^∞ e⁻ˣᵗ/tⁿ dt.

Damit werden die genannten Integralexponentialausdrücke in eine Familie von Funktionen mit dem Parameter n eingeordnet.

Integralhyperbelfunktionen

Durch arithmetische Mittelungen von Exponentialintegralausdrücken entstehen die Integralhyperbelfunktionen Shi(x) und Chi(x). Für Shi gilt

Shi(x) = ½ Ein(x) − ½ Ein(−x)

sowie die Integraldefinition

Shi(x) = ∫₀¹ sinh(tx)/t dt = ∫₀ˣ sinh(t)/t dt.

Für Chi gelten die Beziehungen

Chi(x) = ½ Ei(x) + ½ Ei(−x)

und

Chi(x) = γ + ln|x| − ½ Ein(x) − ½ Ein(−x).

Die Integraldefinition von Chi lautet

Chi(x) = γ + ln|x| + ∫₀¹ [cosh(tx) − 1]/t dt

= γ + ln|x| + ∫₀ˣ [cosh(t) − 1]/t dt.