Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie – einfach erklärt

Grundidee und Aufbau

David Hilbert legt die euklidische Geometrie im dreidimensionalen Raum axiomatisch und formalistisch fest. Ausgangspunkt sind drei Arten von Dingen: Punkte, Geraden und Ebenen. Dazu kommen drei grundlegende Beziehungen: „liegen“, „zwischen“ und „kongruent“. Diese Begriffe werden nicht durch Eigenschaften außerhalb des Systems erklärt, sondern ausschließlich durch ihre Verbindung in den Axiomen implizit definiert. Entscheidend ist also, dass ein System von Dingen die Axiome erfüllt; die Bezeichnungen könnten grundsätzlich auch anders gewählt werden.

Das Axiomensystem besteht aus 21 Axiomen in fünf Gruppen: Verknüpfung beziehungsweise Inzidenz (I), Anordnung (II), Kongruenz (III), Parallelen (IV) und Stetigkeit (V). Die axiomatische Methode macht es möglich, die logische Struktur der Geometrie zu untersuchen, indem man einzelne Axiome verändert oder weglässt.

Lässt man das Parallelenaxiom weg, erhält man die absolute Geometrie. In einer elliptischen Geometrie gibt es keine Parallelen; in einer hyperbolischen Geometrie gibt es durch einen Punkt außerhalb einer Geraden beliebig viele Parallelen. Die hyperbolische Geometrie erfüllt die Axiomgruppen I–III und V, die elliptische Geometrie I, II und V sowie eine schwächere Version der Kongruenzaxiome (III).

Inzidenz: Punkte, Geraden und Ebenen

Die Axiome der Gruppe I definieren die Beziehung des „Liegens“, heute Inzidenz genannt. Die Schreibweise „P inzidiert g“ wird formal als P I g angegeben.

I.1: Zwei voneinander verschiedene Punkte P und Q bestimmen stets eine Gerade g.
I.2: Irgend zwei voneinander verschiedene Punkte einer Geraden bestimmen diese Gerade.
I.3: Auf einer Geraden gibt es stets wenigstens zwei Punkte; in einer Ebene gibt es stets wenigstens drei nicht auf einer Geraden gelegene Punkte.
I.4: Drei nicht auf ein und derselben Geraden liegende Punkte P, Q, R bestimmen stets eine Ebene.
I.5: Irgend drei Punkte einer Ebene, die nicht auf ein und derselben Geraden liegen, bestimmen diese Ebene.
I.6: Liegen zwei Punkte P und Q einer Geraden g in einer Ebene α, so liegt jeder Punkt von g in α.
I.7: Haben zwei Ebenen α und β einen Punkt P gemeinsam, so haben sie wenigstens noch einen weiteren gemeinsamen Punkt Q.
I.8: Es gibt wenigstens vier nicht in einer Ebene gelegene Punkte.

Die Axiome I.1–I.3 heißen ebene Axiome, I.4–I.8 räumliche Axiome. Aus ihnen folgt unter anderem: Zwei verschiedene Geraden schneiden sich in genau einem Punkt oder überhaupt nicht. Zwei verschiedene Ebenen schneiden sich in genau einer Geraden oder überhaupt nicht. Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade schneiden sich in genau einem Punkt oder überhaupt nicht. Außerdem bestimmen eine Gerade und ein nicht auf ihr liegender Punkt eine Ebene; ebenso bestimmen zwei verschiedene, sich schneidende Geraden eine Ebene.

Anordnung und Zwischenliegen

Die Gruppe II definiert „zwischen“ als Beziehung zwischen drei verschiedenen Punkten, die auf einer Geraden liegen. Die Axiome lauten:

II.1: Wenn B zwischen A und C liegt, so liegt B auch zwischen C und A.
II.2: Zu zwei Punkten A und C gibt es stets wenigstens einen Punkt B zwischen A und C und wenigstens einen Punkt D, sodass C zwischen A und D liegt.
II.3: Unter beliebigen drei Punkten einer Geraden gibt es stets genau einen Punkt, der zwischen den beiden anderen liegt.
II.4 (Axiom von Pasch): Seien A, B, C drei nicht in gerader Linie gelegene Punkte und a eine Gerade in der Ebene ABC, die keinen dieser drei Punkte trifft. Wenn a durch einen Punkt der Strecke AB geht, so geht sie auch entweder durch einen Punkt der Strecke BC oder durch einen Punkt der Strecke AC.

Eine Strecke AB wird als die Menge aller Punkte definiert, die zwischen A und B liegen. Die Strecken AB und BA sind dabei identisch. Das Axiom von Pasch ist für die wissenschaftsgeschichtliche Entwicklung bedeutsam, weil es bei Euklid nicht vorkommt.

Aus den Inzidenz- und Anordnungsaxiomen folgt, dass zwischen zwei gegebenen Punkten einer Geraden stets unendlich viele weitere Punkte liegen. Die Punkte einer Geraden liegen also dicht. Jede Gerade kann genau auf zwei Weisen geordnet werden: Ein Punkt C liegt genau dann zwischen A und B, wenn A < C < B oder B < C < A gilt.

Weiterhin teilt jede Gerade sowie jeder in einer Ebene gelegene, sich nicht selbst schneidende Streckenzug eine Ebene in zwei Gebiete. Jede Ebene teilt den Raum ebenfalls in zwei Gebiete.

Kongruenz von Strecken, Winkeln und Dreiecken

Die Gruppe III definiert Kongruenz, also Gleichheit beziehungsweise bei Strecken Gleichheit der Länge. Das Zeichen dafür ist ≡.

III.1: Sind A und B Punkte auf einer Geraden a und A′ ein Punkt auf derselben oder einer anderen Geraden a′, so kann man auf einer gegebenen Seite von a′ von A′ aus stets einen Punkt B′ finden, sodass AB ≡ A′B′ gilt. Jede Strecke kann somit von jedem Punkt aus abgetragen werden.
III.2: Wenn AB ≡ A′B′ und AB ≡ A″B″ gilt, dann gilt A′B′ ≡ A″B″. Die Kongruenz ist damit transitiv; zusammen mit der beweisbaren Reflexivität AB ≡ AB und Symmetrie A′B′ ≡ AB ist sie eine Äquivalenzrelation.
III.3: Sind AB und BC sowie A′B′ und B′C′ jeweils Strecken ohne gemeinsame Punkte auf ihren Geraden und gilt AB ≡ A′B′ sowie BC ≡ B′C′, dann gilt auch AC ≡ A′C′. Beim Zusammenfügen oder Addieren von Strecken bleibt Kongruenz erhalten.

Ein Winkel ist ein ungeordnetes Paar von Halbgeraden, die von einem gemeinsamen Punkt S ausgehen und nicht zu derselben Geraden gehören. Zwischen ∠(h,g) und ∠(g,h) wird daher nicht unterschieden. Nach dieser Definition gibt es weder überstumpfe noch gestreckte Winkel. Das Innere eines Winkels besteht aus den Punkten der aufgespannten Ebene, die mit jeder der beiden Halbgeraden auf der gleichen Seite der jeweils anderen Halbgeraden liegen. Ein Winkel umfasst stets weniger als eine Halbebene.

III.4: Ein Winkel ∠(h,g) kann in einer gegebenen Ebene an einen gegebenen Halbstrahl h′ nach einer gegebenen Seite eindeutig abgetragen werden. Es gibt genau einen Halbstrahl g′, für den ∠(h,g) ≡ ∠(h′,g′) gilt und dessen innere Punkte auf der vorgegebenen Seite liegen. Außerdem gilt jeder Winkel als mit sich selbst kongruent.
III.5: Aus ∠(h,g) ≡ ∠(h′,g′) und ∠(h,g) ≡ ∠(h″,g″) folgt ∠(h′,g′) ≡ ∠(h″,g″). Zusammen mit der Selbstkongruenz folgen Transitivität und Symmetrie der Winkelkongruenz.
III.6: Für Dreiecke ABC und A′B′C′ gilt aus AB ≡ A′B′, AC ≡ A′C′ und ∠BAC ≡ ∠B′A′C′ auch ∠ABC ≡ ∠A′B′C′ und ∠ACB ≡ ∠A′C′B′.

III.6 ist der Kongruenzsatz „sws“ (Seite-Winkel-Seite), den Hilbert als Axiom setzt. Die übrigen Kongruenzsätze und die Addierbarkeit von Winkeln lassen sich daraus beweisen. Man kann eine mit der Kongruenz verträgliche < -Beziehung für Winkel definieren. Ein Nebenwinkel wird in naheliegender Weise festgelegt; ein rechter Winkel ist ein Winkel, der zu seinem Nebenwinkel kongruent ist. Daraus folgt, dass alle rechten Winkel zueinander kongruent sind.

Parallelen und Stetigkeit

Das Parallelenaxiom IV, auch Euklidisches Axiom genannt, lautet: Zu einer beliebigen Geraden g und einem Punkt P außerhalb von g gibt es in der durch g und P bestimmten Ebene höchstens eine Gerade g′, die durch P verläuft und g nicht schneidet. Dass mindestens eine solche Gerade existiert, folgt bereits aus den Axiomen I–III und dem daraus hergeleiteten Satz vom Außenwinkel. Diese eindeutig bestimmte Gerade heißt die Parallele zu g durch P.

Ein äquivalentes Axiom besagt: Schneiden zwei Geraden a und b eine dritte Gerade c nicht, obwohl alle drei in derselben Ebene liegen, so schneiden sich a und b auch untereinander nicht. Aus I–IV folgt, dass die Winkelsumme in jedem Dreieck zwei Rechte beträgt. Zusammen mit dem Archimedischen Axiom V.1 ist dieser Winkelsummensatz äquivalent zum Parallelenaxiom. Unter diesen Voraussetzungen kann man das Parallelenaxiom auch durch die Aussage ersetzen: Es existiert ein Rechteck.

Das Archimedische Axiom V.1 (Axiom des Messens) sagt: Sind AB und CD beliebige Strecken, so gibt es eine natürliche Zahl n, sodass das n-malige Hintereinanderabtragen von CD von A aus auf dem durch B gehenden Halbstrahl über B hinausführt. Jede noch so kleine Strecke kann also durch hinreichend häufiges Aneinandersetzen jede noch so große Strecke übertreffen. Es gibt nach dieser Forderung keine „unendlich kleinen“ oder „unendlich großen“ Strecken; die natürlichen Zahlen reichen aus, um Strecken hinsichtlich größer, kleiner oder gleich zu vergleichen.

Das Axiom der linearen Vollständigkeit V.2 besagt: Zu den Punkten einer Geraden können bei Erhalt ihrer Anordnungs- und Kongruenzbeziehungen keine weiteren Punkte hinzugefügt werden, ohne Grundeigenschaften der linearen Anordnung und Kongruenz aus I–III oder das Axiom V.1 zu verletzen. Die euklidische Geometrie ist damit die größtmögliche Geometrie, die den vorhergehenden Axiomen entspricht, und vollständig in einem Sinn, der mit der Vollständigkeit der reellen Zahlen vergleichbar ist. Daraus folgt der Vollständigkeitssatz: Das System aus Punkten, Geraden und Ebenen kann bei Erhaltung sämtlicher Axiome nicht durch zusätzliche Elemente erweitert werden.

Ohne V.1 ist diese Forderung nicht erfüllbar; jede Geometrie, die I–IV, aber nicht V.1 erfüllt, kann noch durch zusätzliche Elemente erweitert werden. Solche Erweiterungen heißen Nichtstandard-Systeme. V.2 ist ebenfalls unentbehrlich, lässt sich also nicht aus I–V.1 ableiten. Ein großer Teil der euklidischen Geometrie kann jedoch auch ohne V.2 entwickelt werden.

Modelle, Widerspruchsfreiheit und Unabhängigkeit

Hilbert zeigte die relative Widerspruchsfreiheit seines Systems: Wenn sich die reellen Zahlen widerspruchsfrei begründen lassen, gilt dies auch für sein Axiomensystem. Als Modell dient die analytische Geometrie des R³. Ihre Punkte sind Tripel reeller Zahlen; Geraden und Ebenen werden als lineare Punktmengen, also als Nebenklassen ein- beziehungsweise zweidimensionaler Unterräume, aufgefasst. Inzidenz bedeutet in diesem Modell mengentheoretisches Enthaltensein. Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge im Sinne des euklidischen Abstands besitzen.

Hilberts Ziel war außerdem, dass kein Axiom aus den übrigen logisch beweisbar ist. Um die Unabhängigkeit eines Axioms A nachzuweisen, gibt man ein Modell beziehungsweise ein „System von Dingen“ an, in dem alle anderen Axiome gelten, A jedoch nicht. Ein solches Modell kann nicht existieren, wenn A eine logische Folge der übrigen Axiome wäre.

Die Axiome der Gruppen I und II sind jeweils untereinander unabhängig; Gleiches gilt für die Axiome der Gruppe III. Die Unabhängigkeit der Gruppen III, IV und V von den übrigen sowie die Unabhängigkeit von V.1 und V.2 wird durch geeignete Modelle gezeigt. Insbesondere ist III.5 beziehungsweise der Inhalt des Kongruenzsatzes „sws“ unentbehrlich. Die Unabhängigkeit von IV folgt aus der Existenz nichteuklidischer Geometrien, die von V.1 aus der Existenz von Nichtstandard-Systemen und die von V.2 beispielsweise aus einer analytischen Geometrie über dem Körper der reellen algebraischen Zahlen.

Schließlich ist eine Geometrie, die Hilberts gesamtes Axiomensystem erfüllt, bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. In der Sprache der linearen Algebra ist sie ein affiner Raum, dessen Vektorraum der Verschiebungen ein dreidimensionaler euklidischer Vektorraum ist, also isomorph zu (R³, ⟨·,·⟩) mit einem Skalarprodukt.