Gruppe (Mathematik)

Grundidee und Bedeutung

Eine Gruppe ist eine Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung, die je zwei Elementen ein drittes Element derselben Menge zuordnet. Diese Verknüpfung erfüllt drei Gruppenaxiome: das Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements und die Existenz eines inversen Elements.

Gruppen sind ein zentrales Konzept der Algebra und werden in der Gruppentheorie untersucht. Sie beschreiben insbesondere Symmetrien. Die Symmetriegruppe eines geometrischen Objekts besteht aus den Abbildungen, die das Objekt unverändert lassen, wobei die Hintereinanderausführung dieser Abbildungen die Verknüpfung ist. Beispiele für Anwendungen sind Lie-Gruppen als Symmetriegruppen des Standardmodells der Teilchenphysik, Punktgruppen zur Untersuchung molekularer Symmetrien in der Chemie und Poincaré-Gruppen für Symmetrien der speziellen Relativitätstheorie.

Das Konzept entstand aus Évariste Galois’ Untersuchungen von Polynomgleichungen in den 1830er Jahren und war um 1870 als mathematischer Begriff etabliert. Zur Untersuchung von Gruppen verwendet man unter anderem Untergruppen, Faktorgruppen, einfache Gruppen und Darstellungen. Die endlichen einfachen Gruppen wurden 1983 klassifiziert; sie spielen für Gruppen eine ähnliche grundlegende Rolle wie Primzahlen für natürliche Zahlen.

Definition, Schreibweisen und wichtige Begriffe

Formal ist eine Gruppe ein geordnetes Paar (G,*), bestehend aus einer Menge G und einer inneren zweistelligen Verknüpfung * auf G:

• : G × G → G, (a,b) ↦ a*b.

Für alle a,b,c ∈ G gilt:

• Assoziativität: (ab)c = a(bc).
• Neutrales Element: Es gibt ein eindeutiges e ∈ G mit ae = ea = a für alle a ∈ G.
• Inverses Element: Zu jedem a ∈ G gibt es ein eindeutiges a⁻¹ ∈ G mit aa⁻¹ = a⁻¹a = e.

Eine Gruppe ist damit ein Monoid, in dem jedes Element ein Inverses besitzt. Die Axiome können auch in einer formal schwächeren, aber gleichwertigen Form angegeben werden: Es gibt ein linksneutrales Element e mit ea=a, und zu jedem a ein Linksinverses b mit ba=e. Daraus folgen auch die rechtsseitigen Eigenschaften.

Als algebraische Struktur kann eine Gruppe als Quadrupel (G,,e,⁻¹) beschrieben werden: G besitzt eine assoziative zweistellige Verknüpfung, ein neutrales Element e als nullstellige Verknüpfung und die einstellige Inversenbildung. Es gilt ea=a und a⁻¹*a=e.

Eine Gruppe heißt abelsch oder kommutativ, wenn zusätzlich ab=ba für alle Elemente a und b gilt. Andernfalls heißt sie nicht-abelsch oder nicht-kommutativ.

Die Verknüpfung wird häufig multiplikativ mit · geschrieben. Dann heißt das neutrale Element Einselement und wird mit 1 bezeichnet; Potenzen werden durch aⁿ und a⁰=1 geschrieben, außerdem gilt a⁻ⁿ=(a⁻¹)ⁿ. In abelschen Gruppen ist auch die additive Schreibweise üblich: Das neutrale Element heißt Nullelement 0, das inverse Element zu a heißt −a, und eine n-fache Summe wird als n·a geschrieben. Ist die Verknüpfung eindeutig, schreibt man oft nur G.

Die Gruppenordnung |G| ist die Mächtigkeit der Gruppe. Bei einer endlichen Gruppe G={a₁,a₂,…,aₙ} ist sie die Anzahl n der Elemente. Die Ordnung eines Elements g ist definiert als ord(g):=min({n∈ℕ | gⁿ=e}∪{∞}). Genau das neutrale Element hat Ordnung 1. Für endliche Gruppen gilt außerdem ord(g) | |G| für jedes g∈G.

Ein Wort ist ein Produkt g₁^ε¹g₂^ε²⋯gₙ^εⁿ der Länge n≥0, wobei die gᵢ Gruppenelemente und εᵢ=±1 sind; Elemente dürfen sich wiederholen. Wiederholte Faktoren können durch Potenzen zusammengefasst werden.

Beispiele und wichtige Gruppentypen

Das grundlegende Beispiel ist die additive Gruppe der ganzen Zahlen ℤ={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}. Sie ist unter der Addition abgeschlossen, denn die Summe zweier ganzer Zahlen ist wieder ganzzahlig. Für a,b,c∈ℤ gilt (a+b)+c=a+(b+c). Das neutrale Element ist 0, weil 0+a=a+0=a gilt. Zu jeder Zahl a gibt es das inverse Element −a mit a+(−a)=(−a)+a=0. Diese Gruppe ist abelsch.

Mit der Multiplikation bilden die ganzen Zahlen dagegen keine Gruppe, weil beispielsweise das inverse Element zu 2 die Zahl 1/2 wäre, die nicht zu ℤ gehört. Die rationalen Zahlen ℚ und die reellen Zahlen ℝ bilden mit der Addition Gruppen. Mit der Multiplikation bilden ℚ ohne 0 und ℝ ohne 0 Gruppen.

Die triviale Gruppe besteht aus genau einem Element e. Dieses Element ist notwendigerweise das neutrale Element, und es gilt e*e=e; damit sind auch die übrigen Gruppenaxiome erfüllt.

Eine zyklische Gruppe ist eine Gruppe, deren Elemente als Potenzen eines Elements a, des Erzeugers oder der Primitivwurzel, dargestellt werden können: …,a⁻³,a⁻²,a⁻¹,e=a⁰,a,a²,a³,…. In additiver Schreibweise entsprechen dem die Vielfachen …,−a−a,−a,0,a,a+a,…. Die additive Gruppe ℤ ist zyklisch und besitzt 1 als Primitivwurzel. Sie hat unendlich viele Elemente.

Die n-ten komplexen Einheitswurzeln bilden mit der Multiplikation eine endliche zyklische Gruppe. Sie besteht aus allen komplexen Zahlen z, die zⁿ=1 erfüllen, und hat n Elemente. Diese können als Eckpunkte eines regulären n-Ecks dargestellt werden. Für n=6 entspricht die Multiplikation mit z einer Drehung des Polygons um 60° gegen den Uhrzeigersinn. Zwei zyklische Gruppen mit jeweils n Elementen sind isomorph. Daher sind alle unendlich großen zyklischen Gruppen isomorph zur Gruppe (ℤ,+).

Die symmetrische Gruppe Sₙ besteht aus allen Permutationen, also Vertauschungen, einer n-elementigen Menge. Ihre Verknüpfung ist die Komposition ∘, ihr neutrales Element die identische Abbildung. Sₙ ist endlich und hat die Ordnung n!. Für n≥3 ist sie nicht-abelsch.

Folgerungen aus den Gruppenaxiomen

Aus der Definition ergeben sich mehrere grundlegende Eigenschaften:

• Eine Gruppe ist unter ihrer Verknüpfung abgeschlossen.
• Das neutrale Element ist eindeutig. Sind e und f beide neutral, dann gilt ef=f wegen der Neutralität von e und ef=e wegen der Neutralität von f; also e=f.
• Es gilt die Kürzungsregel: Aus ab=ac oder ba=ca folgt jeweils b=c. Man multipliziert beispielsweise ab=ac von links mit a⁻¹ und erhält b=c.
• Deshalb ist die Verknüpfungstafel einer endlichen Gruppe ein lateinisches Quadrat: In jeder Zeile und jeder Spalte kommt jedes Gruppenelement genau einmal vor.
• Die Gleichung ax=b besitzt die eindeutige Lösung x=a⁻¹b. Die Gleichung xa=b besitzt die eindeutige Lösung x=ba⁻¹.
• Das inverse Element ist eindeutig bestimmt. Außerdem gilt e⁻¹=e und (a⁻¹)⁻¹=a.
• Für das Inverse eines Produkts gilt (ab)⁻¹=b⁻¹a⁻¹. Die Reihenfolge der Faktoren kehrt sich dabei um.

Strukturerhaltende Abbildungen und Gruppenprodukte

Ein Gruppenhomomorphismus ist eine Abbildung φ:G→H zwischen den Gruppen (G,·) und (H,*) mit φ(a·b)=φ(a)*φ(b) für alle a,b∈G. Sie erhält also die Gruppenverknüpfung. Ist φ zusätzlich bijektiv, heißt sie Gruppenisomorphismus; dann sind G und H isomorph und besitzen dieselbe Gruppenstruktur in unterschiedlicher Darstellung. Mit Gruppenhomomorphismen als Morphismen bildet die Klasse aller Gruppen die Kategorie Grp oder Gr.

Zu jeder Gruppe (G,·) gibt es eine Gegengruppe Gᵒᵖ mit derselben Grundmenge, aber vertauschter Verknüpfung: a∘b:=b·a. Für abelsche Gruppen stimmt die Gegengruppe mit der ursprünglichen Gruppe überein. Außerdem gilt (Gᵒᵖ)ᵒᵖ=G. Ein Antihomomorphismus G→H ist ein Homomorphismus G→Hᵒᵖ beziehungsweise Gᵒᵖ→H.

Wichtige Gruppenprodukte sind:

• Das direkte Produkt verwendet das kartesische Produkt der Trägermengen und die komponentenweise Verknüpfung.
• Das semidirekte Produkt verallgemeinert das direkte Produkt, indem eine Gruppe auf der anderen operiert; es kann auch aus einem Normalteiler und einer Untergruppe entstehen.
• Das Kranzprodukt ist ein spezielles semidirektes Produkt.
• Das Komplexprodukt zweier Untergruppen entsteht durch paarweise Verknüpfung ihrer Elemente und ist auch für beliebige Teilmengen sinnvoll.
• Das freie Produkt ist das kategorielle Koprodukt in der Kategorie der Gruppen.
• Beim amalgamierten Produkt werden Elemente einer gemeinsamen Untergruppe im freien Produkt miteinander verschmolzen.