Gruppentheorie

Begriff und Bedeutung

Die Gruppentheorie untersucht Gruppen, also algebraische Strukturen, mit denen sich Rechenregeln und Symmetrien einheitlich beschreiben lassen. Anschaulich kann eine Gruppe aus den Symmetrien eines Objekts bestehen; die Verknüpfung ist dann das Hintereinanderausführen dieser Symmetrien. Beispielsweise bilden die Drehungen, die ein regelmäßiges n-Eck auf sich selbst abbilden, eine Gruppe mit n Elementen.

Formal ist eine Gruppe ein Paar (G,*), wobei G eine Menge und * eine zweistellige innere Verknüpfung : G × G → G, (a,b) ↦ ab ist. „Innere Verknüpfung“ bedeutet, dass zwei Elemente aus G stets wieder ein eindeutig bestimmtes Element aus G ergeben. Zusätzlich gelten die Gruppenaxiome:

• Assoziativität: Für alle a,b,c ∈ G gilt (ab)c = a(bc).
• Neutrales Element: Es gibt ein e ∈ G mit ae = ea = a für alle a ∈ G.
• Inverses Element: Zu jedem a ∈ G gibt es ein a⁻¹ ∈ G mit aa⁻¹ = a⁻¹a = e.

Die Abgeschlossenheit ist bereits darin enthalten, dass * eine Abbildung von G × G nach G ist. Gilt zusätzlich ab = ba für alle a,b ∈ G, heißt die Gruppe abelsch oder kommutativ. Andernfalls ist sie nichtabelsch.

Gruppen sind grundlegend für viele Bereiche der Mathematik. Ringe, Körper, Moduln und Vektorräume besitzen eine Gruppenstruktur mit zusätzlichen Eigenschaften. In Physik und Chemie dienen Gruppen besonders zur Beschreibung von Symmetrien; die eng verwandte Darstellungstheorie macht Gruppen dabei durch lineare Abbildungen untersuchbar.

Beispiele und Schreibweisen

Ein wichtiges Beispiel einer abelschen Gruppe ist (ℤ,+): Die ganzen Zahlen werden addiert, 0 ist das neutrale Element und −a das Inverse von a. Auch die rationalen Zahlen ohne 0 bilden mit der Multiplikation eine abelsche Gruppe; das neutrale Element ist 1 und das Inverse von a ist 1/a. Die 0 muss ausgeschlossen werden, weil „1/0“ nicht definiert ist.

Weitere Beispiele sind die Kleinsche Vierergruppe und die triviale Gruppe, die nur aus dem neutralen Element besteht; beide sind abelsch. Die symmetrische Gruppe ist für n > 2, die alternierende Gruppe für n > 3 und die Diedergruppe für n > 2 nichtabelsch. Auch die Quaternionengruppe ist nichtabelsch. Die Diedergruppe besteht aus den Drehungen und Spiegelungen, die ein regelmäßiges n-Eck auf sich selbst abbilden, mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung.

Bei multiplikativer Schreibweise wird * als Multiplikation aufgefasst und häufig weggelassen. Das neutrale Element heißt dann 1, das Inverse a⁻¹ und die n-malige Verknüpfung aⁿ = a·a·…·a. Bei additiver Schreibweise verwendet man +, meist für kommutative Gruppen. Das neutrale Element heißt dann 0, das Inverse −a und die n-malige Addition na = a+a+…+a.

Auch invertierbare Funktionen, genauer Bijektionen einer Menge auf sich selbst, bilden mit ihrer Hintereinanderausführung eine im Allgemeinen nichtkommutative Gruppe. Dafür schreibt man häufig ∘; das neutrale Element ist die identische Abbildung id.

Ordnung, Untergruppen und zyklische Gruppen

Die Ordnung einer Gruppe ist die Kardinalität |G| ihrer Trägermenge, bei einer endlichen Gruppe also ihre Elementanzahl.

Eine Teilmenge H ⊆ G heißt Untergruppe, wenn (H,*) mit derselben Verknüpfung selbst eine Gruppe ist; man schreibt H ≤ G. Nach dem Satz von Lagrange teilt die Ordnung jeder Untergruppe H einer endlichen Gruppe G die Gruppenordnung |G|. Hat G Primzahlordnung, besitzt G deshalb nur die trivialen Untergruppen {e} und G selbst.

Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn es ein Element a gibt, sodass jedes Gruppenelement als Potenz aⁿ mit n ∈ ℤ geschrieben werden kann. Das Element a heißt dann erzeugendes Element.

Die Ordnung eines Elements a ist die kleinste positive natürliche Zahl n, für die aⁿ = e gilt, also die n-malige Verknüpfung von a mit sich selbst das neutrale Element ergibt. Dann heißt a ein Element endlicher Ordnung oder Torsionselement. Gibt es kein solches n, hat a unendliche Ordnung. Die Ordnung eines Elements ist zugleich die Ordnung der von ihm erzeugten Untergruppe. Daher ist in einer endlichen Gruppe jede Elementordnung endlich und nach dem Satz von Lagrange ein Teiler von |G|.

Der Gruppenexponent ist die kleinste positive Zahl n, für die aⁿ = e für jedes Gruppenelement a gilt.

Nebenklassen, Normalteiler und Faktorgruppen

Zu einer Untergruppe H ≤ G und einem Element a ∈ G heißt aH = {ah | h ∈ H} die Linksnebenklasse von H nach a. Entsprechend ist Ha = {ha | h ∈ H} die Rechtsnebenklasse. Nebenklassen sind Äquivalenzklassen und zerlegen G in disjunkte Teilmengen. Die Mengen aller Links- beziehungsweise Rechtsnebenklassen werden mit G/H = {gH | g ∈ G} beziehungsweise H\G = {Hg | g ∈ G} bezeichnet. Nebenklassen können außerdem als Bahnen, also als Mengen erreichbarer Elemente, einer Gruppenoperation verstanden werden.

Sind K und H Untergruppen, lautet die (K,H)-Doppelnebenklasse zu a KaH = {kah | k ∈ K, h ∈ H}.

Eine Untergruppe H heißt Normalteiler von G, geschrieben H ◁ G, wenn für jedes a ∈ G die Gleichheit aH = Ha gilt. In einer abelschen Gruppe ist jede Untergruppe ein Normalteiler. Auch der Kern jedes Gruppenhomomorphismus ist ein Normalteiler.

Ist H ein Normalteiler, lässt sich auf G/H eine Verknüpfung durch (a₁H)(a₂H) = (a₁a₂)H definieren. Sie ist wohldefiniert, also unabhängig davon, welche Repräsentanten a₁ und a₂ aus den Nebenklassen gewählt werden. Mit dieser Verknüpfung bildet G/H die Faktorgruppe. Sie kann als vergröbertes Abbild der ursprünglichen Gruppe verstanden werden. Ist H kein Normalteiler, können verschiedene Repräsentanten unterschiedliche Ergebnisse liefern.

Einfache Gruppen und Zauberwürfel

Eine nichttriviale Gruppe heißt einfach, wenn ihre einzigen Normalteiler die triviale Gruppe und sie selbst sind. Alle Gruppen von Primzahlordnung sind einfach. Endliche einfache Gruppen gelten als Grundbausteine endlicher Gruppen. Seit 1982 sind sie vollständig klassifiziert: Jede endliche einfache Gruppe gehört entweder zu einer der 18 Familien oder zu einer der 26 Ausnahmegruppen, den sporadischen Gruppen.

Rubiks Zauberwürfel veranschaulicht eine endliche nichtabelsche Gruppe. Die Gruppenelemente sind mögliche einzelne oder zusammengesetzte Züge; die Verknüpfung ist ihre aufeinanderfolgende Ausführung. Eine Würfelkonfiguration lässt sich durch Permutationsfunktionen für die Positionen der Steine und Vektoren für deren Ausrichtung beschreiben. Die Gruppenordnung entspricht der Zahl möglicher Konfigurationen.

Beim 2×2×2-Zauberwürfel ergeben acht permutierbare Ecksteine, drei Ausrichtungen der acht Ecksteine und 24 mögliche Gesamtdrehungen des Würfels 8!·3⁷ ÷ 24 = 3 674 160 Konfigurationen. Beim 3×3×1-Würfel sind es 12!/(12−4)! · 4⁴ = 3 041 280 Konfigurationen. Die Würfelgruppen sind nichtabelsch, weil die Reihenfolge der Züge die entstehende Konfiguration beeinflusst.

Anwendungen in Chemie und Physik

In der Chemie werden Symmetrieoperationen wie Einheitselement, Spiegelung, Drehung, Inversion und Drehspiegelung zu Punktgruppen zusammengefasst. Sie beschreiben, wie die Atompositionen eines Moleküls in seiner Gleichgewichtskonformation auf sich selbst abgebildet werden können.

In der Quantenchemie kann Gruppentheorie den Rechenaufwand verringern, weil etwa ein Hamiltonoperator dieselbe Symmetrie wie sein System besitzt. Sie hilft bei der Beschreibung symmetrieadaptierter Linearkombinationen aus Atomorbitalen (SALKs oder Liganden-Gruppen-Orbitale) in der MO- und Ligandenfeldtheorie sowie bei der Theorie der Erhaltung der Orbitalsymmetrie, insbesondere den Woodward-Hoffmann-Regeln.

In der Spektroskopie lassen sich IR- und Raman-Eigenschaften sowie das Vorhandensein von Quadrupol- und Octopolmomenten aus der Charaktertafel eines Moleküls ablesen. In der NMR-Spektroskopie sind Protonen, die durch Spiegelung ineinander übergehen, chemisch äquivalent und zeigen dieselbe chemische Verschiebung. Ein permanentes elektrisches Dipolmoment können nur Moleküle ohne jegliche Symmetrie oder mit Symmetrien der Punktgruppen Cₙᵥ, Cₙ oder Cₛ besitzen. Moleküle ohne Drehspiegelachse Sₙ sind chiral und damit optisch aktiv, beispielsweise Bromchloriodmethan. Moleküle mit einer Spiegelachse sind dagegen nicht optisch aktiv, auch wenn sie chirale Zentren enthalten. In der Kristallographie werden Kristallstrukturen in 230 mögliche Raumgruppen eingeordnet.

In der Quantenmechanik erscheinen Symmetriegruppen als Gruppen unitärer oder antiunitärer Operatoren. Die Eigenvektoren einer maximalen abelschen Untergruppe bilden eine physikalisch wichtige Basis für Zustände mit wohldefinierter Energie, wohldefiniertem Impuls, Drehimpuls oder wohldefinierter Ladung. In der Festkörperphysik bilden beispielsweise die Zustände eines Kristalls mit fest gewählter Energie einen Darstellungsraum seiner Symmetriegruppe.