Syllogismus

Grundaufbau des kategorischen Syllogismus

Ein Syllogismus ist ein deduktiver Schluss aus genau zwei Prämissen und einer Konklusion. Die Prämissen heißen Obersatz und Untersatz; die Konklusion ist die daraus notwendige Schlussfolgerung. Im kategorischen oder assertorischen Syllogismus sind alle drei Aussagen kategorische Urteile: Sie setzen jeweils zwei Begriffe in eine bestimmte bejahende oder verneinende Beziehung.

Insgesamt kommen drei Begriffe vor:

• Der Oberbegriff P (terminus major) steht im Obersatz und ist Prädikat der Konklusion.
• Der Unterbegriff S (terminus minor) steht im Untersatz und ist Subjekt der Konklusion.
• Der Mittelbegriff M (terminus medius) kommt in beiden Prämissen, aber nicht in der Konklusion vor. Er verbindet Ober- und Unterbegriff.

Beispiel: „Kein Rechteck ist ein Kreis. Alle Quadrate sind Rechtecke. Also ist kein Quadrat ein Kreis.“ Rechteck ist der Mittelbegriff, Quadrat der Unterbegriff und Kreis der Oberbegriff. Gleichbedeutend ist die Formulierung „Kreis kommt keinem Rechteck zu. Rechteck kommt allem Quadrat zu. Also kommt Kreis keinem Quadrat zu.“

Die Begriffe Subjekt und Prädikat werden dabei syllogistisch verwendet und sind nicht unbedingt mit dem grammatischen Subjekt und Prädikat identisch. Aristoteles formulierte Syllogismen häufig als Wenn-dann-Sätze; in der traditionellen Darstellung werden sie als Folge von drei Aussagen wiedergegeben. Ob Aristoteles damit Argumente oder zusammengesetzte Einzelsätze meinte, ist bis heute strittig. Die beiden Lesarten lassen sich jedoch ineinander überführen.

Aussagetypen, Existenz und Distribution

Für kategorische Urteile werden vier Typen unterschieden. Die Buchstaben stammen von den lateinischen Wörtern „affirmo“ (ich bejahe) und „nego“ (ich verneine):

• A: allgemein bejahend – „Alle S sind P“ bzw. „P kommt allem S zu“; Kurzform SaP.
• E: allgemein verneinend – „Kein S ist P“ bzw. „P kommt keinem S zu“; Kurzform SeP.
• I: partikulär bejahend – „Einige S sind P“; Kurzform SiP.
• O: partikulär verneinend – „Einige S sind nicht P“; Kurzform SoP.

Quantität bezeichnet, ob eine Aussage allgemein oder partikulär ist. Qualität bezeichnet, ob sie bejahend oder verneinend ist. A und E sind allgemeine, I und O partikuläre Aussagen; A und I sind bejahend, E und O verneinend.

Im logischen Quadrat bestehen unter der Voraussetzung, dass die Subjekte nicht leer sind, sechs wichtige Beziehungen. A und O sowie I und E stehen jeweils in kontradiktorischem Gegensatz: Sie können weder gleichzeitig wahr noch gleichzeitig falsch sein. A und E bilden einen konträren Gegensatz: Sie können nicht beide wahr, aber beide falsch sein. I und O bilden einen subkonträren Gegensatz: Sie können nicht beide falsch, aber beide wahr sein. Außerdem folgt aus A die entsprechende I-Aussage und aus E die entsprechende O-Aussage. Diese Folgerungen heißen traditionell Subalternation.

Die klassische Syllogistik setzt bei Allaussagen gewöhnlich voraus, dass es tatsächlich Gegenstände des Subjektbegriffs gibt. „Alle S sind P“ bedeutet dann „Es gibt S, und alle davon sind P“; „Keine S sind P“ bedeutet „Es gibt S, und keine davon sind P“. „Einige S sind P“ und „Einige S sind nicht P“ enthalten ebenfalls die Voraussetzung, dass es S gibt. Diese Existenzaussage gilt meist als Präsupposition, nicht als Bestandteil des Urteils. Je nach Interpretation können auch nicht leere Prädikate vorausgesetzt werden; darüber besteht keine einheitliche Auffassung.

Distribution bedeutet, dass ein Begriff in einer Aussage auf alle Gegenstände bezogen wird, auf die er zutrifft. Im A-Urteil ist das Subjekt, nicht aber das Prädikat distribuiert; im E-Urteil sind beide distribuiert; im I-Urteil keiner; im O-Urteil nur das Prädikat.

Gültigkeitsregeln und Figuren

Die traditionellen Regeln prüfen Qualität, Quantität und Distribution. Sie sind ein einfaches, teilweise redundantes Regelwerk aus dem Spätmittelalter und gehören nicht in dieser Form zur antiken aristotelischen Syllogistik.

Regeln der Qualität:

• Mindestens eine Prämisse muss bejahend sein: Aus zwei verneinenden Aussagen folgt nichts.
• Sind beide Prämissen bejahend, muss auch die Konklusion bejahend sein.
• Ist eine Prämisse verneinend, muss auch die Konklusion verneinend sein.

Regeln der Quantität:

• Mindestens eine Prämisse muss allgemein sein; aus zwei partikulären Prämissen folgt kein gültiger Syllogismus.
• Wenn eine Prämisse partikulär ist, darf die Konklusion nicht allgemein sein.

Regeln der Distribution:

• Der Mittelbegriff muss mindestens einmal distribuiert vorkommen.
• Jeder Begriff, der in der Konklusion distribuiert ist, muss auch in einer Prämisse distribuiert sein.

Die Stellung des Mittelbegriffs in den Prämissen bestimmt die vier Figuren. Der Obersatz enthält P und M, der Untersatz S und M, die Konklusion immer S und P. Die Reihenfolge der Prämissen ist für die Gültigkeit unerheblich, traditionell wird aber zuerst der Obersatz genannt.

• 1. Figur: M–P; S–M; Schluss S–P.
• 2. Figur: P–M; S–M; Schluss S–P.
• 3. Figur: M–P; M–S; Schluss S–P.
• 4. Figur: P–M; M–S; Schluss S–P.

Beispiel der ersten Figur: „Alle Menschen sind sterblich. Alle Griechen sind Menschen. Also sind alle Griechen sterblich.“

Modi und gültige Schlussformen

Da jede der drei Aussagen den Typ A, E, I oder O haben kann, gibt es pro Figur 4 × 4 × 4 = 64 Kombinationen. Bei vier Figuren entstehen insgesamt 64 × 4 = 256 Syllogismentypen. Davon gelten traditionell 24 als gültig und 232 als nicht gültig. Ein Modus wird durch drei Buchstaben bezeichnet: Die ersten beiden geben die Typen der Prämissen, der dritte den Typ der Konklusion an. A–I–I bedeutet beispielsweise: allgemein bejahende erste Prämisse, partikulär bejahende zweite Prämisse und partikulär bejahende Konklusion.

Die gültigen Modi werden mit Merkwörtern bezeichnet:

• 1. Figur: Barbara, Celarent, Darii, Ferio, Barbari, Celaront.
• 2. Figur: Baroco, Cesare, Camestres, Festino, Camestrop, Cesaro.
• 3. Figur: Bocardo, Darapti, Datisi, Disamis, Felapton, Ferison.
• 4. Figur: Bamalip, Calemes, Dimatis, Fesapo, Fresison, Calemop.

Die Vokale des Merkworts geben die Typen von Obersatz, Untersatz und Konklusion an. Die Konsonanten verweisen auf die Rückführung auf einen Modus der ersten Figur und auf die dazu nötigen Umformungen. Modi mit B am Anfang werden auf Barbara, mit C auf Celarent, mit D auf Darii und mit F auf Ferio zurückgeführt. Die Tradition kennt unterschiedliche Versionen der Merkwörter.

Die starken Modi haben eine allgemeine Konklusion (A oder E), die schwachen Modi eine partikuläre Konklusion (I oder O), die sich direkt aus der starken Konklusion ergibt. So folgt aus Barbara „Alle Münchner sind Bayern; alle Schwabinger sind Münchner; also sind alle Schwabinger Bayern“ im schwachen Barbari nur „… also sind einige Schwabinger Bayern“. Solche schwachen Modi benötigen je nach Fall zusätzliche Voraussetzungen über die Nichtleerheit bestimmter Begriffe.

Typische gültige Beispiele sind:

• Barbara: „Alle Rechtecke sind Vierecke. Alle Quadrate sind Rechtecke. Also sind alle Quadrate Vierecke.“
• Celarent: „Kein Rechteck ist ein Kreis. Alle Quadrate sind Rechtecke. Also ist kein Quadrat ein Kreis.“
• Darii: „Alle Quadrate sind Rechtecke. Einige Rhomben sind Quadrate. Also sind einige Rhomben Rechtecke.“
• Ferio: „Kein Säugetier atmet mit Kiemen. Einige Wassertiere sind Säugetiere. Also atmen einige Wassertiere nicht mit Kiemen.“

Darapti setzt voraus, dass der Mittelbegriff nicht leer ist; Felapton und Fesapo setzen ebenfalls die Existenz des Mittelbegriffs voraus. Bamalip setzt voraus, dass sein Subjekt nicht leer ist.

Reduktion auf die erste Figur

Aristoteles betrachtete die erste Figur als die vollkommene Figur. Die Modi der übrigen Figuren können durch Schlussregeln und einfache Umformungen auf Barbara, Celarent, Darii oder Ferio zurückgeführt werden. Die Konsonanten der Merkwörter kodieren diese Schritte.

Bei der einfachen Umwandlung (conversio simplex) werden Subjekt und Prädikat vertauscht. Sie ist nur bei E- und I-Aussagen gültig: Aus „Keine Schweine sind Schafe“ folgt „Keine Schafe sind Schweine“; aus „Einige Griechen sind Philosophen“ folgt „Einige Philosophen sind Griechen“. Für A- und O-Aussagen ist sie nicht zulässig.

Bei der Umwandlung durch Einschränkung (conversio per accidens) werden ebenfalls Subjekt und Prädikat vertauscht, zugleich wird eine allgemeine Aussage zu einer partikulären: A wird zu I, E wird zu O. Aus „Alle Schweine sind rosa“ wird so „Einige rosa Dinge sind Schweine“, aus „Keine Schweine sind Schafe“ wird „Einige Schafe sind keine Schweine“. Diese Umwandlung setzt die erforderliche Existenz voraus.

Der Buchstabe s im Merkwort zeigt eine einfache Umwandlung an, p eine Umwandlung durch Einschränkung. m verlangt die Vertauschung der Prämissen. Diese Vertauschung darf erst nach den erforderlichen Umwandlungen ausgeführt werden. Steht s oder p am Wortende, bezieht sich die Anweisung in der hier dargestellten Tradition auf die Konklusion des Zielsyllogismus der ersten Figur. Andere Autoren verwenden abweichende Regeln und verzichten häufig auf diesen Sonderfall; dadurch lassen sich Bamalip und Camestrop in der dargestellten Form nicht reduzieren.

Baroco und Bocardo enthalten ein c im Wortinneren und werden durch indirekten Beweis (reductio ad absurdum) reduziert. Dazu nimmt man die A-Prämisse und das kontradiktorische Gegenteil der Konklusion an. Daraus wird ein Barbara-Syllogismus gebildet, dessen Konklusion der ursprünglichen O-Prämisse widerspricht. Weil die Annahme des Gegenteils zu einem Widerspruch führt, muss die ursprüngliche Konklusion gelten.

Moderne Einordnung und wesentliche Formen

Die Syllogistik war der Kern der antiken Logik des Aristoteles und der traditionellen Logik bis ins 19. Jahrhundert. Durch die Integration der Logik in die Mathematik, insbesondere im Gefolge von George Boole und Gottlob Frege, wurde sie als Haupttechnik der Logik abgelöst. Jan Łukasiewicz rekonstruierte Aristoteles’ Logik später axiomatisch; an diese Arbeit schloss die neuere Forschung an, unter anderem mit Günther Patzigs Darstellung von 1959. Zwischen aristotelischer und traditioneller Syllogistik bestehen jedoch zahlreiche logisch-semantische Unterschiede.

Aus moderner Sicht lassen sich klassische Syllogismen als Teil der monadischen Prädikatenlogik oder als Mengenbeziehungen darstellen. Dabei entspricht „Alle S sind P“ der Beziehung S ⊆ P mit S ≠ ∅ und in der Prädikatenlogik ∀x(Sx → Px) bei ∃xSx. „Keine S sind P“ entspricht S ∩ P = ∅ bei S ≠ ∅ und ∀x(Sx → ¬Px) bei ∃xSx. „Einige S sind P“ entspricht S ∩ P ≠ ∅ beziehungsweise ∃x(Sx ∧ Px). „Einige S sind nicht P“ entspricht S ⊄ P beziehungsweise ∃x(Sx ∧ ¬Px).

Die klassische Syllogistik kann nur Quantoren behandeln, die mit dem Subjekt einer Aussage verbunden sind. Quantoren an Objektstelle, etwa in „Sokrates kennt alle Athener“, sind in diesem System nicht behandelbar; dies wurde erst durch Freges mathematische Funktionen in der Logik möglich. Die moderne Formalisierung ist umstritten, besonders wegen möglicher verlorener Existenzpräsuppositionen und der nicht einfachen Übertragung des logischen Quadrats.

Durch die Äquivalenzen XeY genau dann, falls YeX, und XiY genau dann, wenn YiX, können mehrere Modi identifiziert werden. Werden außerdem die schwachen Modi gestrichen, bleiben acht wesentlich verschiedene Syllogismen: Barbara, Darii, Felapton, Ferio, Camestres, Celarent, Bocardo und Baroco.