Schlussfolgerung

Begriff und Bedeutung

Eine Schlussfolgerung ist in der Logik ein Zusammenhang zwischen Aussagen. Der Begriff wird in drei eng verwandten Bedeutungen verwendet:

• Ein logischer Schluss oder ein Argument besteht aus einer oder mehreren wahrheitsfähigen Aussagen, den Prämissen oder Annahmen, und einer weiteren Aussage, der Konklusion. Prämissen können beispielsweise Axiome oder wissenschaftliche Hypothesen sein. Wörter wie „deshalb“, „darum“, „also“, „folglich“ oder „auf Grund dessen“ kennzeichnen häufig den Übergang zur Konklusion.

• „Schlussfolgerung“ kann auch nur die Konklusion selbst bezeichnen. Sie heißt ebenfalls Conclusio oder Schlusssatz.

• Der Ausdruck kann außerdem das Ergebnis eines meist schrittweisen Nachdenkens oder eines Beweises meinen. Dabei können auch unbewusste kulturelle, soziale oder religiöse Hintergrundannahmen eine Rolle spielen.

Die Unterscheidung zwischen korrekten und inkorrekten Folgerungen ist für die Logik zentral; Logik kann als Wissenschaft vom korrekten Folgern verstanden werden. Der logische Schluss wird mit dem Folgepfeil notiert. In Informatik und Statistik wird teilweise das Wort „Inferenz“ verwendet. In der Informatik bezeichnet es häufig speziell Schlussfolgerungen, die eine Inferenzmaschine automatisiert und computergestützt zieht.

Deduktion, Induktion und Abduktion

Bei der vereinfachten Darstellung A ⇒ B ist A die Bedingung oder Subsumtion, B der Fall beziehungsweise die Konsequenz und A ⇒ B die Regel. Eine Subsumtion ordnet einen einzelnen Fall einer allgemeinen Regel unter. Drei Arten des logischen Schließens unterscheiden sich danach, welche Bestandteile als Prämissen dienen und welcher Bestandteil daraus gefolgert wird:

• Deduktion: Schluss von Regel und Subsumtion auf den Fall.

• Induktion: Schluss von Fall und Subsumtion auf eine Regel.

• Abduktion: Schluss von Regel und Fall auf eine Subsumtion.

In aussagenlogischer oder syllogistischer Betrachtung geht es dabei um das Verhältnis zwischen einer allgemeinen Regel, einem oder mehreren festgestellten Fällen und der Einordnung eines Falls unter die Regel. In der traditionellen Syllogistik betreffen die Aussagen das Verhältnis zwischen Oberbegriff, Mittelbegriff und Unterbegriff. Bei einer kausalen Deutung entsprechen die drei Elemente ungefähr Gesetz, Startbedingung und Wirkung.

Nur die Deduktion ist logisch zwingend: Sind ihre Prämissen wahr, muss auch die Konsequenz wahr sein. Induktion und Abduktion können zwar naheliegende Ergebnisse liefern, sind aber häufig nicht eindeutig und garantieren nicht, dass aus wahren Prämissen eine wahre Konsequenz folgt.

Bei der Abduktion besteht eine besondere Schwierigkeit darin, die passende Regel als zweite Prämisse auszuwählen. Bei der Induktion muss geklärt werden, über welche Eigenschaft generalisiert wird und ob die entstehende Regel einen inhaltlich sinnvollen Zusammenhang herstellt. Die im Artikel genannte allgemeine Regel gilt zudem nur „ceteris paribus“, also unter sonst gleichen Bedingungen.

Beispiel zu den Schlussarten

Das Verhältnis der drei Schlussarten lässt sich am Beispiel eines PKW zeigen:

• Deduktion: Regel: „Wenn man bei einem PKW auf die Bremse tritt, verlangsamt sich die Fahrt.“ Subsumtion: „Bei diesem PKW wird auf die Bremse getreten.“ Daraus folgt der Fall: „Dieser PKW verlangsamt seine Fahrt.“

• Induktion: Fall: „Dieser PKW verlangsamt seine Fahrt.“ Subsumtion: „Bei diesem PKW wird auf die Bremse getreten.“ Daraus wird die allgemeine Regel gewonnen: „Wenn man bei einem PKW auf die Bremse tritt, verlangsamt sich die Fahrt.“ Für eine gelungene Induktion muss angenommen werden, dass der PKW als PKW gemeinsamen Regeln und Funktionsmechanismen unterliegt und die Beobachtung nicht nur für ein bestimmtes Modell gilt.

• Abduktion: Fall: „Dieser PKW verlangsamt seine Fahrt.“ Regel: „Wenn man bei einem PKW auf die Bremse tritt, verlangsamt sich die Fahrt.“ Daraus wird als mögliche Subsumtion geschlossen: „Bei diesem PKW wird auf die Bremse getreten.“ Dieser Schluss ist nicht zwingend, weil für das Verlangsamen auch eine andere Erklärung denkbar sein kann.

Gültigkeit von Schlussfolgerungen

In einer ersten Annäherung ist eine Schlussfolgerung korrekt oder gültig, wenn es unmöglich ist, dass ihre Prämissen wahr, ihre Konklusion aber falsch ist. Kurz formuliert: „Aus Wahrem folgt nur Wahres.“ Die Gültigkeit betrifft dabei die Form des Schlusses, nicht die tatsächliche Wahrheit seiner Aussagen.

Das Argument mit den Prämissen „Alle Menschen sind Bayern“ und „Sokrates ist ein Mensch“ sowie der Konklusion „Sokrates ist Bayer“ ist gültig, obwohl eine Prämisse und die Konklusion tatsächlich falsch sind. Wären nämlich beide Prämissen wahr, müsste auch die Konklusion wahr sein. Bei einem gültigen Schluss mit wahren Prämissen ist daher auch die Konklusion wahr. Ist mindestens eine Prämisse falsch, kann die Konklusion dagegen wahr oder falsch sein. So besitzt das gültige Argument „Alle Menschen sind Griechen“, „Sokrates ist ein Mensch“, also „Sokrates ist Grieche“ eine falsche Prämisse, aber eine wahre Konklusion.

Die Formel „Aus Wahrem folgt nur Wahres“ lässt unterschiedliche Deutungen zu. Umstritten sein kann etwa, ob aus „Es regnet nicht nicht“ gültig „Es regnet“ folgt oder ob aus „Alle Schweine sind rosa“ die Aussage „Es gibt rosa Schweine“ folgt. Die Bewertung hängt unter anderem davon ab, wie Ausdrücke wie „nicht“ und „alle“ verstanden werden.

Eine genauere Prüfung unterscheidet logische und nicht-logische Ausdrücke. Logische Ausdrücke sind Junktoren wie „und“, „oder“ und „nicht“, die Aussagen verknüpfen, sowie Quantoren. Allquantoren sind beispielsweise „für alle“, „alle“ und „jede/r“; Existenzquantoren sind „für manche“, „einige“ und „es gibt“. Alle übrigen Ausdrücke heißen nicht-logisch. Ein Argument ist gültig, wenn jede Ersetzung seiner nicht-logischen Ausdrücke, welche die Prämissen wahr macht, auch die Konklusion wahr macht.

Aus „Alle Griechen sind sterblich“ und „Sokrates ist ein Grieche“ folgt daher gültig „Sokrates ist sterblich“: Es gibt keine passende Ersetzung der nicht-logischen Ausdrücke, bei der beide Prämissen wahr und die Konklusion falsch wäre. Um die Ungültigkeit eines Arguments nachzuweisen, genügt dagegen ein Gegenbeispiel dieser Art. Aus „Einige Bayern sind Münchner“ und „Einige Bayern sind Schwabinger“ folgt nicht gültig „Einige Münchner sind Schwabinger“. Ersetzt man „Schwabinger“ durch „Nürnberger“, bleiben die Prämissen wahr, während die Konklusion falsch wird. Dass die ursprünglichen drei Aussagen tatsächlich wahr sein können, macht die Schlussform nicht gültig.

Formale Logik und Schlussverfahren

Die formale Logik untersucht Gültigkeit mit exakt definierten Sprachen. Natürlichsprachliche Aussagen werden wegen der Komplexität und Mehrdeutigkeit natürlicher Sprache in formale Aussagen übersetzt. Für diese formalen Objekte wird eine Ableitbarkeitsbeziehung definiert, meist mit dem Zeichen ⊢. Sie soll ausdrücken, wann eine formale Aussage aus anderen formalen Aussagen hergeleitet werden kann.

Bei der Formalisierung treten unterschiedliche Auffassungen davon hervor, was als gültige Folgerung gelten soll. Deshalb gibt es mehrere, nicht gleichwertige Ableitbarkeitsbegriffe. Besonders häufig sind der klassische und der intuitionistische Ableitbarkeitsbegriff. Sie beruhen auf unterschiedlichen Verständnissen logischer Ausdrücke wie „und“, „oder“ und „nicht“ sowie auf unterschiedlichen Wahrheitsbegriffen.

Ein Ableitbarkeitsbegriff wird durch Schlussregeln und gegebenenfalls durch Axiome festgelegt. Ein formales System aus solchen Schlussregeln und Axiomen heißt Kalkül. In der Informatik können Inferenzmaschinen formale Schlussfolgerungen automatisiert ziehen.

Schlussverfahren werden auch in verschiedenen Fachgebieten und Methoden eingesetzt. Genannt werden der Justiz-Syllogismus, das probabilistische Schließen und das nichtmonotone Schließen.